全等三角形证明判定方法分类总结

1、【知识要点】全等三角形(一)SSSACD的面积.1全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形.2 全等图形的性质：(1) 全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等(2) 全等图形的面积相等3 全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形(1)表示方法：两个三角形全等用符号“也”来表示，读作“全等于”如ABC与DEF全等，记作 ABC也DEF(2) 符号“也”的含义：“s”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就 是形状相同，大小也相等，这就是全等.(3) 两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫 做对应边，互相重合的角叫做对应角.(4)证两个三角形全

2、等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例2.如图,ABC也 DEF ,度数及CF的长.A 50 ,BC 9cm,CE 5cm，求 EDF 的例 3.如图，已知：AB=AD AC=AE BC=DE 求证： BAE CADD4.全等三角形的判定(一)：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS.例 4.如图 AB=DE BC=EF AD=CF 求证:(1) ABC 也 DEF(2)AB ABC 中 C 90 , DE ABABD和 CDB A ABDFBABCABC 60 心 ABDA BEA35 BAD 85 35 60 80 ABC DEF ACD BCEB-B 30,

3、 DCE第BBAEB第8题图BAD ABC第 DER CAE互DBD第6题图acf DE第9题题图A与E互余 B与BAe 第3山题Acf 110,ad 9cmcdD互余25cm D ABC与 ABD ABCAF=CD ,ABDEBEBCEF求证ABCABD ABC CDA 贝U AD的长是(D 、无法确定A 、 7cm B 、 5cm C 、 8cm【例2】如图，已知：点 D E在BC上，且BD=CE2.如图， ABC也DCEA 48 , E 62 ,点B、C E在同一直线上,AD=AE/仁/ 2,由此你能得出哪些结论给出证明则 ACD的度数为(A 、 48、38C 、110D 、623如图,

4、ABC也DEFAF=2cm,CF=5cm 则 AD=4.如图,ABE也ACD,A 100 , B 25 ,求 BDC 的度数.【例3】如图已知：AE=AF AB=AC / A=60 Z B=24,求/ BOE的度数.【例4】 如图，B, C, D在同一条直线上， ABC ADE是等边三角形,求证： CE=AC+D；/ ECD=60 .E【例5】如图，已知 ABC BDE均为等边三角形。求证：BD CD=ADD【巩固练习】1 .在ABC中，若AB=A B , AC=AC，还要加一个角的条件，使 ABC ABC，那么你加的条件是()A . Z A=Z A B. / B=Z B C. / C=Z C

5、 D. / A=Z B2 .下列各组条件中，能判断厶 AB3A DEF的是()A . AB=DE BC=EF CA=CD =CD ; Z C=Z F; AC=EFC . CA=CDZ B=Z E=DE ; BC=EF两个三角形周长相等3 阅读理解题：如图：已知 AC, BD相交于 O, OA=OB 0C=0D.那么 AODW BOC全等吗请说明理由 ABCM BAD全等吗请说明理由.小明的解答： OA=OB 11 OD=OC SAS * AODA BOC5.如图，AE是 BAC的平分线，AB=AC(1 )若D是AE上任意一点，则 ABDA ACD说明理由(2)若D是AE反向延长线上一点，结论还

6、成立吗请说明理由而厶 BAD= AOD+ ADB ABC= BOC/ AOB所以 ABCA BAD(1 )你认为小明的解答有无错误；(2)如有错误给出正确解答；AB6 .如图，已知 AB=AC EB=EC请说明BD=CD勺理由4.如图，点 C是AB中点，CD/ BE,且CD=BE试探究 AD与CE的关系。全等三角形（二）作业1 如图，已知 AB=AC AD=AE BF=CF 求证： BDF 也 CEF。4.已知：如图 1 , AD/ BC, AE=CF AD=BC E、F在直线 AC上 ,求证：DE/ BF。2.如图， ABC BDF为等腰直角三角形。求证： （1） CF=AD （ 2） CE

7、L AD。C3.如图，AB=AC AD=AE BE和CD相交于点 O, AO的延长线交 BC于点F。 求证：BF=FG6、已知，如图A F、C D四点在一直AF=CD AB 证:BD=CE11、已知如图，F在正方形 ABCD的边BC边上，E在AB 的延长线上，FB= EB AF交CE于 G 求/ AGC的度数.8 如图，正方形 ABCD勺边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG(1) 观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。(2) 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形若存在，请说出旋转过程, 若不存在，说明理由。9、已知：如图,AD是BC上的中线，且DF=DE求证：B

8、E/ CF.10、已知C为AB上一点， ACN和 BCM是正三角形.求证：(1) AM=BN(2)求/ AFN大小。12、如图， ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.(1) 观察图形，猜想 AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在 ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题 中猜想的结论是否仍然成立若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由【知识要点】ASA公理:如图，在AB全等三角形（三）ASA有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.ABC与

9、DEF中DEABC DEF (ASA)ASA公理推论（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.【典型例题】【例1】下列条件不可推得ABC和A B C全等的条件是（)A、ab=a b,AA,C1CB、AB= AB,ac=A c , BC=B1 1CC、AB= AB,ac=A c ,B1BD、AB= AB,AA,B1BAD例2 】已知如图，D, ABDE, AB/ DE ,求证:BC=EFE C F【例3】【例4】明之.【例5】如图，AB=ACBC，求证:已知如图,如图，12,34，点P在AB上，可以得出 PC=PD马试证3 , AC=AE 求证：DE=BC【例6】如图， A

10、 D, 12 , AC, BD相交于O,求证：AB=CDOA=OD9、 已知：如图，AB=AC , AD=AE , 求证： OBDA OCE【巩固练习】B（图1）ABDCFNC1FBCBCC1BE,A AB10、已知：如图，AB=CD , AD=BC ,O 为BD中点，过 O作直线分别与 DA BCD,D,BADACBDBC,EODFOBAOECOFe c的延长线交于 E、F.求证：OE=OF2,AFCDAEDADE,BAECADCAE ABCDCA ABD,ACBAC,AD10cm abcBCACDABD证： EDNA CDNA EMN11、如图在A ABCDA DBC中 , /仁/ 2 ,

11、 / 3=Z 4 , P是BC上任意一点.求证:PA=PD.交于C , AB和EF交于O ,求证：/仁/2.B12、已知：如图，四边形ABCD中，AD / BC , F是AB的中点，DF交CB延长 线于 E , CE=CD .求证：/ ADEN EDC13、已知：如图,OA=OE , OB=OF , 直线FA与BE0说明理由.全等三角形(四)强化训练1、如图， ABC是等边三角形，点 D、E、F分别是线段 AB、BC、CA上的点，(1) 若AD BE CF，问 DEF是等边三角形吗试证明你的结论；(2) 若厶DEF是等边三角形，问 AD BE CF成立吗试证明你的结论.C2、如图所示，已知/

12、仁/ 2, EF丄AD于 P,交BC延长线于 M,求证：2/ M=(Z ACB-/ B)4、已知：如图， ABC中,ABC 45 , CD且BE AC于E，与CD相交于点F, H是BC边的中点，连结 DH与BE相交于点G .1(1)求证：BF AC ; (2)求证：CE BF ；2AB 于 D , BE 平分 ABC ,3、AABC中，/ A=90, AB=AC D为 BC中点，E、F 分别在AC AB上，且DE丄DF,试判断DE、DF的数量关系，并AF5、如图，点0是等边 ABC内一点， AOB 110, BOC.将 BOC绕点C按顺时针方向旋转 60得厶ADC，连接OD .(1)求证：AC

13、OD是等边三角形；C(2) 当150时，试判断 AOD的形状，并说明理由；(3) 探究：当为多少度时， AOD是等腰三角形7、过等腰直角三角形直角顶点 A作直线AM平行于斜边BC,在AML上取点D,使BD=BCA且DB与 AC所在直线交于 E,求证：CD=CE过A作AF丄BC于F,过D作DGL BC于G 贝U DG=AF=1/2BC=1/2B,在 Rt BDG中, DG=1/2BD =/ DBC=30 = / BDCM BCD=1/2(180 -30 )=75 ，即/ EDC=75/ DECh DBC# BCA=30 +45 =75/-Z EDCM DEC =CD=CE10、已知：如图，点 D

14、在厶ABC的边CA的延长线上，点 E在BA的延长线上，CFEF分别是Z ACB Z AED的平分线，且Z B=30，Z D=40，求Z F的度数。BM& Rt ABC, AB=AC,BM!中线，AD丄 BM交 BC于 D,求证：Z AMBZ CMDM9、如图，已知 ABC是等边三角形，Z BDC= 120o，说明AD=BD+C的理由。11、等边三角形ABC和等边三角形DEC D在AC边上。延长 BD交CE延长线于 N延长AE交BC延长线于求证：CM=CN易证 BCDA ACE 所以Z DBCZ EAC再证 BCNA ACM (ASA) CM=CN12、操作：如图， ABC是正三角形， BDC是

15、顶角/ BDC= 120。的等腰三角形, 以D为顶点作一个60角，角的两边分别交 AB AC边于M N两点，连接 MN探 究：线段BM MN NC之间的关系，并加以证明.14、(涉及相似三角形)若 P为 ABC所在平面上一点，且APB BPC CPA 120，则点P叫做 ABC的费马点.如图，在锐角 ABC外侧作等边 ACB 连结BB 。求证：BB 过 ABC的费马点P，且BB =PA PB PC .13、如图等边厶ABC和等边 CDE点P为射线BC动点，角 APK=60 , PK交直线CD于 Ko(1) 试探索AP、PK之间的数量关系;15、如图，ABC是等腰直角三角形，/ C= 900,点

16、M,N分别是边AC和BC的中点，点D在射线 BM上,且BD= 2BM,点E在射线 NA上,且NE= 2NA求证：BD丄DE.B N C(2) 当点P运动到BC延长线上时，上题结论是否依然成立为什么。第五章全等三角形拓展延伸例2:在厶ABC中，/ BAC=90 , AB=AC AE是过点A的直线,分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角） 放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形 全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初 中里面一个非常常见而又重要的方法。例1:已知AE既是/ BAC的平分线，也是/ BDC的平分线,BCLAE, CELAE如果CE

17、=5 BD=11请你求出DE的长度。思路：抓住题目中所给的一组相等线段 AB=AC进行分析,对 它们的位置进行分析，发现 AB AC分别位于一个Rt中，所以 尝试着去找条件，去说明它们所在的两个 Rt 全等。那么：已经存在了两组等量关系：AB=AC直角=直角.可以求证厶 ABDA ACE试说明AB=AC思路：AB在厶ABD中,人。在厶ACD中,要说明AB=AC尝试说明 ABD与 ACD全等。1. 观察图形发现两个三角形存在公共边AD2. 题目所给条件可以得到两组角相等，3. 再根据三个条件的位置，利用 ASA可得三角形全等4. 再利用全等三角形的对应边相等，得到 AB=AC练习1.小明说：“三角形一边的两