【精品推荐】球面几何 选修3-3 2.5球面多边形的内角和与欧拉公式

1、旧知回顾旧知回顾 上节我们主要讨论了球面上三角形上节我们主要讨论了球面上三角形的全等判定定理在这基础上，我们可的全等判定定理在这基础上，我们可以了解到，球面几何有很多应用以了解到，球面几何有很多应用导入新课导入新课 用球面多边形的内角和公式证明用球面多边形的内角和公式证明拓扑学中的著名公式拓扑学中的著名公式欧拉公式就欧拉公式就是一个重要的应用是一个重要的应用 本讲我们首先在球面三角形的基础本讲我们首先在球面三角形的基础上介绍球面多边形，然后推导球面多上介绍球面多边形，然后推导球面多边形的内角和公式，最后用球面多边边形的内角和公式，最后用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式形的内角和公式证明欧拉公

2、式O1A2A3A4A5A6A教学目标教学目标 1在熟悉球面三角形的基础上充分在熟悉球面三角形的基础上充分理解球面多边形的定义；掌握其内角和理解球面多边形的定义；掌握其内角和公式公式 2熟悉简单多面体的欧拉公式熟悉简单多面体的欧拉公式1通过球面多边形的学习，理解和掌握球通过球面多边形的学习，理解和掌握球面多边形的概念和其内角和公式面多边形的概念和其内角和公式 2培养通过已学过球面三角形的知识，推培养通过已学过球面三角形的知识，推导出球面多边形的内角和公式导出球面多边形的内角和公式1通过球面三角形与球面多边形的比较，通过球面三角形与球面多边形的比较，能够体会数学中由简到繁的思想，有利于理解能够体会

3、数学中由简到繁的思想，有利于理解和掌握和掌握 2通过课堂学习培养敢于结合以前所学知通过课堂学习培养敢于结合以前所学知识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解解球面多边形的定义、内角和公式，以及对球面多边形的定义、内角和公式，以及对欧拉公式的初步应用欧拉公式的初步应用 欧拉公式的推导欧拉公式的推导教学重难点教学重难点一、球面多边形及其内角和公式一、球面多边形及其内角和公式 与先学平面三角形再学平面多与先学平面三角形再学平面多边形一样，我们在球面三角形的基边形一样，我们在球面三角形的基础上，引进球面多边形的概念础上，引进球面多边形的概念图图 6-16-1A1A

4、6A2A3A4A5O 我们知道，在平面上，我们知道，在平面上，n(n3)条收尾相接且条收尾相接且互不相交的线段围成的封闭图形叫做互不相交的线段围成的封闭图形叫做n边边形类似地，如图形类似地，如图6-1中，在球面上有中，在球面上有n个点：个点：A1，A2,A3,. . . An，且任意三点不在同一个大圆，且任意三点不在同一个大圆上，经过这上，经过这n个点中任意两点做大圆，首尾顺个点中任意两点做大圆，首尾顺次相接劣弧次相接劣弧A1A2,A2A3,. . .An-1An 如果这些劣弧互不相交，那么就把这些如果这些劣弧互不相交，那么就把这些劣弧组成的封闭图形叫劣弧组成的封闭图形叫球面球面n边形边形记为

5、球记为球面面n边形边形A1A2A3. . .An-1An .点点A1，A2，. . .，An称为球面称为球面n边形的边形的顶点顶点，A1，A2，. . .，An称为球面称为球面n边形的边形的内角内角 类似平面凸多边形，如果球面类似平面凸多边形，如果球面n边形边形A1A2A3. . .An-1An总在它的每一条边所在大总在它的每一条边所在大圆的半个球面内，那么这个球面多边形圆的半个球面内，那么这个球面多边形称为称为球面凸球面凸n边形边形我们重点研究球面凸我们重点研究球面凸n多边形多边形 在平面几何中，我们知道平面多边形在平面几何中，我们知道平面多边形的内角和为的内角和为(n-2)，单位球面上球面

6、三角形，单位球面上球面三角形ABC的面积的面积S =（A+B+C-），因此得到），因此得到球面三角形的内角和为球面三角形的内角和为S + 我们大胆猜想，单位球面上，球面我们大胆猜想，单位球面上，球面n（n3）边形的内角和等于（）边形的内角和等于（n-2）+S,其其中中S为球面为球面n边形的面积事实上猜测是正边形的面积事实上猜测是正确的确的那么下面的结论是成立的那么下面的结论是成立的 设单位球面上的设单位球面上的n(n3)边形边形A1A2. . .An-1An的的n个个内角分别为内角分别为A1,A2. . .An ，其弧度数分别为，其弧度数分别为A1,A2. . .An，S为这个球面为这个球面n

7、边形的面积，则边形的面积，则 A1+A2+.+An=（n-2）+S 分析：分析：当当n=3时，就是球面三角形的时，就是球面三角形的面积公式，结论显然成立当面积公式，结论显然成立当n=4时，如时，如图图6-2，我们总可以把两个不相邻的顶点，我们总可以把两个不相邻的顶点用大圆弧连接起来，由于这两个不相邻的用大圆弧连接起来，由于这两个不相邻的顶点都在一个大圆的半个球面内，所以这顶点都在一个大圆的半个球面内，所以这段圆弧是劣弧，因此这段劣弧把球面四边段圆弧是劣弧，因此这段劣弧把球面四边形分为两个球面三角形，而这两个球面三形分为两个球面三角形，而这两个球面三角形面积的和等于球面四边形的面积，依角形面积的

8、和等于球面四边形的面积，依次类推，便可得到球面次类推，便可得到球面n边形的面积公式，边形的面积公式，进而得到球面进而得到球面n边形的内角和公式边形的内角和公式图图 6-26-2A1A6A2A3A4A5O 你能把这个证明过程写出来吗？你能把这个证明过程写出来吗？二、简单多面体的欧拉公式二、简单多面体的欧拉公式 为什么可以用球面多边形的内角和公为什么可以用球面多边形的内角和公式证明简单多面体的欧拉公式呢？两者之式证明简单多面体的欧拉公式呢？两者之间有什么样的联系？间有什么样的联系？ 为了解决这个问题，我们首先回顾简为了解决这个问题，我们首先回顾简单多面体的欧拉公式单多面体的欧拉公式 我们知道，我们

9、知道，多面体多面体是由若干个平面多边是由若干个平面多边形围成的封闭几何体，如果一个多面体在形围成的封闭几何体，如果一个多面体在它的每一个面所在的平面的同一侧，那么它的每一个面所在的平面的同一侧，那么这个多面体称为这个多面体称为凸多面体凸多面体 如果把多面体想象成由橡皮膜组成如果把多面体想象成由橡皮膜组成的，对这个橡皮膜充气，如果能变成一的，对这个橡皮膜充气，如果能变成一个球面，就把这样的多面体叫做个球面，就把这样的多面体叫做简单多简单多面体面体 如果用如果用V 表示简单多面体的顶点数，表示简单多面体的顶点数，E 表表示简单多面体的棱数，示简单多面体的棱数，F表示简单多面体的面表示简单多面体的面

10、数，通过计算，得出：数，通过计算，得出： VE F=2这个结论被称为简单多面体欧拉公式三、用球面多边形的内角和公式证明欧三、用球面多边形的内角和公式证明欧 拉公式拉公式 从橡皮变换角度看，简单多面体与球从橡皮变换角度看，简单多面体与球等价，简单多面体的表面与球面等价这等价，简单多面体的表面与球面等价这时，我们大胆想象，橡皮膜变成球后，组时，我们大胆想象，橡皮膜变成球后，组成简单多面体的每个面的各条边可以与球成简单多面体的每个面的各条边可以与球面多边形建立一定的联系面多边形建立一定的联系 下面我们给出欧拉公式的证明下面我们给出欧拉公式的证明 欧拉公式欧拉公式 如果用如果用V 表示简单多面体的表示

11、简单多面体的顶点数，顶点数，E 表示简单多面体的棱数，表示简单多面体的棱数，F表表示简单多面体的面数，那么：示简单多面体的面数，那么： VEF=2. 证明：证明：我们设想简单多面体我们设想简单多面体 的表面是由橡的表面是由橡皮膜围成的，所以它是可以任意变形的，它的各皮膜围成的，所以它是可以任意变形的，它的各个棱长可以任意伸长、缩短或弯曲个棱长可以任意伸长、缩短或弯曲 在多面体在多面体 中吹入足够的空气，使中吹入足够的空气，使它变成一个单位球面它变成一个单位球面 ，在变形中，保，在变形中，保证橡皮膜不被吹破，这样，简单多面体证橡皮膜不被吹破，这样，简单多面体 的一个顶点变成单位球面的一个顶点变成

12、单位球面 的一个点，的一个点， 的一条棱变成的一条棱变成 上的一段曲线，此时上的一段曲线，此时 的各边变成的各边变成 上的一个上的一个“网络网络” 调整调整“网络网络”，使其上的每一条曲线都，使其上的每一条曲线都变成变成 上的一段大圆弧，那么简单多面体上的一段大圆弧，那么简单多面体 就变成整个球面就变成整个球面 ，且，且 的一个面变成的一个面变成 上的上的多边形，多边形， 的顶点数、棱数、面数与的顶点数、棱数、面数与 上的顶上的顶点数、棱数、面数完全相同点数、棱数、面数完全相同.这样就只研究这样就只研究 上的顶点数、棱数、面数的关系就行了上的顶点数、棱数、面数的关系就行了 把的各面编号：把的各

13、面编号：1，2，F， 的第一的第一个面变成个面变成 的第一个球面多边形，设此球面的第一个球面多边形，设此球面多边形有多边形有 条边，它的内角的弧度数分别条边，它的内角的弧度数分别为为 ，其面积为，其面积为 ，由球面多，由球面多边形的内角和公式得：边形的内角和公式得： (1)1n1S112n11 + +L+ =(n -2)+S112n , ,同理，同理， 的第二个面变成的第二个面变成 的第二个球面的第二个球面多边形，设此球面多边形有多边形，设此球面多边形有 条边，它的条边，它的内角的弧度数分别为内角的弧度数分别为 ，其面积，其面积为为 ，由球面多边形的内角和公式得：，由球面多边形的内角和公式得：

14、 (2)2n12,2n 2S212n22 + +=(n -2)+S 的第的第F个面就变成个面就变成 的第的第F个球面多边形，个球面多边形，设此球面多边形有设此球面多边形有 条边，它的内角弧度数条边，它的内角弧度数分别为分别为 ，其面积为，其面积为 ，由球面，由球面多边形的内角和公式得：多边形的内角和公式得： (F)FnF12n , ,FnSF12nFF + + = (n -2)+S 将这将这F个式子相加个式子相加,左边就是球面上左边就是球面上F个多个多边形的内角和边形的内角和,即围绕每个球面多边形的顶点即围绕每个球面多边形的顶点球面多边形内角的和球面多边形内角的和,而每个顶点处球面多边而每个顶

15、点处球面多边形的内角和为形的内角和为 ,由于球面上由于球面上“网络网络”的的“顶顶点点”数与数与 的顶点数是相同的，均为的顶点数是相同的，均为 ，因，因此相加后，左边此相加后，左边= .2V2 V另一方面另一方面,右边右边 .F1122FnFFjjj=1j=1Fjj=1= (n -2)+ S +(n -2)+ S +(n -2)+ S= n -2F +S= n -2F + S其中其中 ，S表示球面的面积，那么表示球面的面积，那么 , 而而 表示球面上表示球面上F个球面多边形变数总和的个球面多边形变数总和的2倍，即倍，即 Fjj= 1S =S= 4j 1FjnFjj=1n = 2E 因此，因此， 即即2=2-2+4 ,VEF= - +2 .V E F 这个证明是法国数学家勒让德首先给出的，这个证明是法国数学家勒让德首先给出的，简单多面体的欧拉公式是拓扑学中的重要公式，简单多面体的欧拉公式是拓扑学中的重要公式，证明说明了球面几何与拓扑学有着紧密的联系证明说明了球面几何与拓扑学有着紧密的联系 1. 请构造一个四边相等，四角