（北京专用）2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性课件文

1、第二节导数与函数的单调性2总纲目录教材研读函数的导数与单调性的关系考点突破考点二利用导数求函数的单调区间考点二利用导数求函数的单调区间考点一利用导数判断（证明）函数的单调性考点三已知函数的单调性求参数的范围考点三已知函数的单调性求参数的范围3函数的导数与单调性的关系函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,(1)若f (x)0,则f(x)在这个区间内单调递增 ;(2)若f (x)0,则f(x)在这个区间内单调递减 ;(3)若f (x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数 .教材研读教材研读41.已知函数f(x)的导函数f (x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则f(x)的图

2、象可能是() D5答案答案 D由题图可知,当xx1时,由导函数f (x)=ax2+bx+c0,知相应的函数f(x)在该区间上单调递减;当0 x0知相应的函数f(x)在该区间上单调递增.62.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+)答案答案 D由f(x)=(x-3)ex,得f (x)=(x-2)ex,令f (x)0,得x2,故f(x)的单调递增区间是(2,+).D73.下列函数中,在(0,+)上为增函数的是()A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xexC.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x答案答案 B对于A

3、,易得f(x)=sin 2x的单调递增区间为(kZ);对于B, f (x)=ex(x+1),当x(0,+)时, f (x)0,函数f(x)=xex在(0,+)上为增函数;,44kkB对于C, f (x)=3x2-1,令f (x)0,得x或x0,得0 x0).令g(x)=x3+x2-x+1,则g(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),令g(x)=(3x-1)(x+1)0,得x,令g(x)=(3x-1)(x+1)0,得0 x0,所以g(x)在(0,+)上恒大于零,于是,当x(0,+)时, f (x)=ex0恒成立,所以当a=-1时,函数f(x)在(0,+)上为增函数.10,31,3131

4、322273221xxxx方法技巧方法技巧用导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤求f (x).确定f (x)在(a,b)内的符号.作出结论:f (x)0时为增函数;f (x)0时为减函数.提醒提醒研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.1-1已知函数f(x)=ax3+x2(xR)在x=-处取得极值.(1)确定a的值;(2)若函数g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.43解析解析(1)对f(x)求导得f (x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得极值,所以f =0,即3a+2=-=0,解得a=.(2)由(1)得g(x)=ex,故g

5、(x)=ex+ex=ex=x(x+1)(x+4)ex.434316943163a 83123212xx2322xx3212xx3215222xxx12令g(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4.当x-4时,g(x)0,故g(x)为减函数;当-4x0,故g(x)为增函数;当-1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)为增函数.综上知,g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.典例典例2已知函数f(x)=xln x.(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间;(3)若对于任意x,都有f(x)ax-1,求

6、实数a的取值范围.1,ee考点二利用导数求函数的单调区间考点二利用导数求函数的单调区间解析解析(1)因为函数f(x)=xln x,所以f (x)=ln x+x=ln x+1,f (1)=ln 1+1=1.又因为f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=x-1.(2)函数f(x)=xln x的定义域为(0,+),由(1)可知, f (x)=ln x+1.令f (x)=0,解得x=.f(x)与f (x)在区间(0,+)上的变化情况如下:1x1exf (x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增10,e1e1,e所以,f(x)的单调递增区间是;f(x)的单调递减区间是.(

7、3)当xe时,“f(x)ax-1”等价于“aln x+”.令g(x)=ln x+,x,则g(x)=-=,x.当x时,g(x)0,所以g(x)在区间(1,e)上单调递增.而g=-ln e+e=e-11.5,1,e10,e1e1x1x1,ee1x21x21xx1,ee1,1e1,1e1eg(e)ln e+=1+0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f (x)0,得x0,所以f(x)的单调增区间为(0,+).(2)f (x)=(x-a+1)ex.令f (x)=0,得x=a-1.所以当a-11,即a2时,在1,2上, f (x)0恒成立, f(x)单调递增;当a-12,即a3时,在1,

8、2上, f (x)0恒成立, f(x)单调递减;当1a-12,即2a0, f(x)单调递增.综上,无论a为何值,当x1,2时, f(x)的最大值都为f(1)或f(2).f(1)=(1-a)e, f(2)=(2-a)e2,f(1)-f(2)=(1-a)e-(2-a)e2=(e2-e)a-(2e2-e).所以当a=时, f(1)-f(2)0, f(x)max=f(1)=(1-a)e.当a=时, f(1)-f(2)0, f(x)max=f(2)=(2-a)e2.222eeee2e 1e 1222eeee2e 1e 1考点三已知函数的单调性求参数的范围考点三已知函数的单调性求参数的范围典例典例3 (2

9、016北京海淀期中)已知函数f(x)=x3+x2+ax+1,曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线为l.(1)若直线l的斜率为-3,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间-2,a上是单调函数,求实数a的取值范围.13解析解析(1)因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)经过点(0,1),又f (x)=x2+2x+a,所以f (0)=a=-3,所以f (x)=x2+2x-3.令f (x)=0,解得x1=-3,x2=1.当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:x(-,-3)-3(-3,1)1(1,+)f (x)+0-0+f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间为

10、(-,-3),(1,+),单调递减区间为(-3,1).(2)当函数f(x)在区间-2,a上单调递减时, f (x)0对x-2,a恒成立,即f (x)=x2+2x+a0对x-2,a恒成立,所以即解得-3a0.又-2a,所以-2a0.当函数f(x)在区间-2,a上单调递增时, f (x)0对x-2,a恒成立,只要f (x)=x2+2x+a在-2,a上的最小值大于或等于0即可,易知函数f (x)=x2+2x+a图象的对称轴为x=-1, ( 2)0, ( )0,ffa22( 2)2 ( 2)0,20,aaaa 当-2a-1时, f (x)在-2,a上的最小值为f (a),即f (a)=a2+3a0,解

11、得a0或a-3,此种情形不成立.当-1a时, f (x)在-2,a上的最小值为f (-1),即f (-1)=1-2+a0,解得a1.综上,实数a的取值范围是-20(或f (x)0(或f (x)min0时,若函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,求k的取值范围.1x解析解析(1)函数f(x)的定义域为x|x0.f (x)=k-+=.当k0时,令f (x)0,解得0 x1,此时函数f(x)为单调递增函数;令f (x)1,此时函数f(x)为单调递减函数.当k0时,当1时,令f (x)0,解得0 x1,此时函数f(x)为单调递增函数;令f (x)0,解得x1,即0k0,解得0 x,此时函数f(x)为单调递增函数;令f (x)0,解得1x,此时函数f(x)为单调递减函数.综上所述,当k0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间