同济六版高等数学第四节课件

1、 4.4 有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、有理函数的积分有理函数的形式当nm时, 称这有理函数是真分式; 而当nm时, 称这有理函数是假分式. 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数: mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(, 下页上页下页铃结束返回首页 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. .1111) 1(1122223xxxxxxxx1111) 1(1122223xxxxxxxx1111) 1(1122223xxxxxxxx. 有理函数相除

2、多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和例如上页下页铃结束返回首页例1. 将下列真分式分解为部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx解解: (1) 用拼凑法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx上页下页铃结束返回首页(2) 用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x上页下页铃结束返回首页四种典型部分分式的积

3、分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp变分子为 )2(2pxM2pMN 再分项积分 上页下页铃结束返回首页提示：dxxdxx25366ln|x3|5ln|x2|C. 求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 解 例1 1 求dxxxx6532. 解 dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536(dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536(dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3d

4、xxx)2536( 分母可因式分解的真分式的不定积分 下页dxxdxx25366ln|x3|5ln|x2|C. AB1, 2A3B3, ) 3)(2()32()(23) 3)(2(3xxBAxBAxBxAxxxA6, B5. ) 3)(2()32()(23) 3)(2(3xxBAxBAxBxAxxx) 3)(2()32()(23) 3)(2(3xxBAxBAxBxAxxx, 上页下页铃结束返回首页提示： 解 例2 例 3 求dxxx2) 1(1. 解 dxxxxdxxx) 1(1111) 1(122dxxxxdxxx) 1(1111) 1(122 下页 求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分

5、解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 分母可因式分解的真分式的不定积分 222) 1(1) 1(1) 1(1) 1(1xxxxxxxxx22) 1(1111) 1(1) 1(1xxxxxxxxdxxdxxdxx2) 1(1111Cxxx11| 1|ln|lndxxdxxdxx2) 1(1111Cxxx11| 1|ln|ln. 222) 1(1) 1(1) 1(1) 1(1xxxxxxxxx222) 1(1) 1(1) 1(1) 1(1xxxxxxxxx22) 1(1111) 1(1) 1(1xxxxxxxx. 上页下页铃结束返回首页提示： 解 例3 例 2 求dxxxx3222. 解

6、 dxxxx3222dxxxxxx)3213322221(22 dxxxdxxxx321332222122 2222)2() 1() 1(332) 32(21xxdxxxxd Cxxx21arctan23) 32ln(212. dxxxx3222dxxxxxx)3213322221(22 分母是二次质因式的真分式的不定积分 首页321332221323) 22(213222222xxxxxxxxxxx321332221323) 22(213222222xxxxxxxxxxx321332221323) 22(213222222xxxxxxxxxxx. 上页下页铃结束返回首页xxxd)4)(1(2

7、2)4() 1(22xx例4. 求求.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 上页下页铃结束返回首页例5. 求求解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d

8、(1xx 注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常规方法较繁按常规方法较繁上页下页铃结束返回首页按常规方法解:1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比较系数定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步 化为部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比较系数定 A , B , C , D .第三步 分项积分 .此解法较繁 !上页下页铃结束返回首页二、可化为有理函数的积分举例 三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数. 用

9、于三角函数有理式积分的变量代换 三角函数有理式的积分 设2tanxu, 则有 下页222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx, 222222112sec2tan12sin2coscosuuxxxxx222222112sec2tan12sin2coscosuuxxxxx2222221

10、12sec2tan12sin2coscosuuxxxxx. 上页下页铃结束返回首页提示： 解 令2tanxu, 则212sinuux, 2211cosuux. 例4 例 4 求dxxxx)cos1 (sinsin1. 解 令2tanxu, 则 uxarctan2, duuuuuuuudxxxx2222212)111 (12)121 ()cos1 (sinsin1Cuuuduuu|)|ln22(21)12(212uxarctan2 duudx212. duuuuuuuudxxxx2222212)111 (12)121 ()cos1 (sinsin1 Cuuuduuu|)|ln22(21)12(2

11、12 下页上页下页铃结束返回首页 解 令2tanxu, 则212sinuux, 2211cosuux. 例4 例 4 求dxxxx)cos1 (sinsin1. 解 令2tanxu, 则 duuuuuuuudxxxx2222212)111 (12)121 ()cos1 (sinsin1Cuuuduuu|)|ln22(21)12(212duuuuuuuudxxxx2222212)111 (12)121 ()cos1 (sinsin1 Cuuuduuu|)|ln22(21)12(212 Cxxx|2tan|ln212tan2tan412. 下页上页下页铃结束返回首页说明： 并非所有的三角函数有理式

12、的积分都要通过上述代换化为有理函数的积分. 因为这种代换不一定是最简捷的代换. 请看如下积分: 令2tanxu, 则212sinuux, 2211cosuux. Cxxdxdxxx)sin1ln()sin1 (sin11sin1cosCxxdxdxxx)sin1ln()sin1 (sin11sin1cosCxxdxdxxx)sin1ln()sin1 (sin11sin1cos. 下页上页下页铃结束返回首页 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 解 简单无理函数的积分 例5 例 5 求dxxx 1. 解 设ux1, 即duuuuduuudxxx12211222Cuuduu)arctan

13、( 2)111 (22Cxx)1arctan1( 2. , 即12ux, 则 duuuuduuudxxx12211222duuuuduuudxxx12211222 Cuuduu)arctan( 2)111 (22 下页上页下页铃结束返回首页duuuduuuxdx111331121223 解 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 简单无理函数的积分 例6 例 6 求321xdx. Cuuuduuu|)1 |ln2( 3)111(32Cxxx|21 |ln23) 2(233332. Cuuuduuu|)1 |ln2( 3)111(32 下页ux32设 , 即xu32, 则 duuuduu

14、uxdx111331121223duuuduuuxdx111331121223上页下页铃结束返回首页 解 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 简单无理函数的积分 例7 例 7 求xxdx)1 (3. 设xt6, 于是dx6t5dt, 从而 dtttdttttxxdx22325316)1 (6)1 (Cttdtt)arctan( 6)111 (62Cxx)arctan( 666. dtttdttttxxdx22325316)1 (6)1 (dtttdttttxxdx22325316)1 (6)1 ( Cttdtt)arctan( 6)111 (62 下页上页下页铃结束返回首页 解 无

15、理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 简单无理函数的积分 例8 例 8 求dxxxx11. 解 设txx1, 即, 即112tx, 于是 112tx, 于是 dtttdtttttdxxxx12) 1(2) 1(1122222Ctttdtt|11|ln2)111 (22Cxxxxxx11ln12. dtttdtttttdxxxx12) 1(2) 1(1122222dtttdtttttdxxxx12) 1(2) 1(1122222 Ctttdtt|11|ln2)111 (22 结束上页下页铃结束返回首页内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .简