ch2-3分段线性插值

1、 牛顿插值法回顾).(.)()()(:10102010 nnnxxxxaxxxxaxxaaxN构造多项式构造多项式是是待待定定系系数数其其中中.,210naaaa),.2 , 1 , 0()(:nkfxNkkn 使其满足使其满足? ka思考题思考题 一、牛顿插值公式的基本思路一、牛顿插值公式的基本思路商商）阶阶均均差差（均均差差也也称称为为差差的的为为kxf)(111021010,.,.,., kkkkkkxxxxxfxxxxfxxxf121020210 xxxxfxxfxxxf ,:二二阶阶均均差差.,)()()(,20000的一阶（均差）的一阶（均差）关于点关于点为函数为函数称称定义定义k

2、kkkxxxfxxxfxfxxf-= 三、新概念三、新概念_均差及其性质均差及其性质均差计算表均差计算表一阶均差一阶均差二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差四阶均差四阶均差kx)(kxf0 x1x2x3x4x5x)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf)(4xf)(5xf,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,54xxf,210 xxxf,321xxxf,432xxxf,543xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,5432xxxxf,43210 xxxxxf,54321xxxxxf牛顿插值公式)()(,)(,)(,)()(100102100100 nnnxxxxxxfx

3、xxxxxxfxxxxfxfxN nkkkxxxf00)(, 三、三、NewtonNewton插值多项式的结构插值多项式的结构 为为常常数数，称称为为步步长长。为为已已知知，这这里里上上的的值值在在等等距距节节点点设设函函数数hxffnkkhxxxfykkk)(, 1 , 0)(0 差差分分及及其其性性质质引引入入记记号号1 kkkfff2121)2()2( kkkkkffhxfhxff .)(向向后后差差分分及及中中心心差差分分为为步步长长的的向向前前差差分分，处处以以在在分分别别称称为为hxxfk定义定义kkkfff 1 五、差五、差 分分xhhkx1 kx1 kx21 kx21 kxhk

4、f kf kf 分分别别称称为为，符符号号 向前差分算子，向前差分算子，分算子分算子向后差分算子及中心差向后差分算子及中心差差 分:二二阶阶差差分分.2.1212kkkkkkffffff 二阶中心差分为二阶中心差分为,21212 kkkfff 阶阶差差分分为为一一般般地地可可定定义义 m.;111111 kmkmkmkmkmkmffffff差 分有有多多项项式式代代入入牛牛顿顿插插值值将将,1!1,knnnkkfhnxxf )()(!)(! 2)(1)()(,)(,)()(110010202000110100100 nnnnnnxxxxxxhnfxxxxhfxxfhfxxxxxxxxxfxxx

5、xfxfxN 六、等距节点插值公式六、等距节点插值公式则上式变形为则上式变形为若令若令,0thxx 002000!) 1() 1(! 2) 1()(fnntttfttftfthxNnn 此公式为牛顿此公式为牛顿向前向前插值公式，其余项为插值公式，其余项为),()()!1()() 1()()()!1()()(011101nnnnnnxxfhnntttxxxxxxnfxR 等距节点插值公式计算各阶差分，可列表进行计算各阶差分，可列表进行04132234403122330212201100432fffffxffffxfffxffxfxfffffxkkkkkk 等距节点插值公式)()(,)(,)(,)

6、()(1011211xxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxNnnnnnnnnnnnnn nnnnnnfnntttfttftfthxN !) 1() 1(! 2) 1()(20类似有牛顿类似有牛顿向后向后插值公式插值公式得得：作作变变换换)01( tthxxn等距节点插值公式差分表：差分表：44434244433323332222211100432fffffxffffxfffxffxfxfffffxkkkkkk 等距节点插值公式 已知已知f(x)=sinx的函数表如下的函数表如下，分别用分别用Newton向向前前、向后插值公式求向后插值公式求sin0.57891的近似值的近似值。 x

7、0.4 0.5 0.6 0.7Sinx 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422例例2.4等距节点插值公式解解: :按按下下表表计计算算取取, 7 . 0, 6 . 0, 5 . 0, 4 . 03210 xxxx)2)(1(! 3)1(21)2)(1(! 300083. 000563. 007958. 064422. 07 . 0)1(200480. 008521. 056464. 06 . 009001. 047943. 05 . 0138942. 04 . 0sin ttttttttttttxfxiii三阶差分三阶差分二阶差分二阶差分一阶差分一阶差分)2)(1(!

8、3)1(21)2)(1(! 300083. 000563. 007958. 064422. 07 . 0)1(200480. 008521. 056464. 06 . 009001. 047943. 05 . 0138942. 04 . 0sin ttttttttttttxfxiii三三阶阶差差分分二二阶阶差差分分一一阶阶差差分分NewtonNewton向前插值公式为向前插值公式为等距节点插值公式7891. 11 . 0/ )4 . 057891. 0(0 hxxt54711. 000083. 062109. 07891. 07891. 100480. 027891. 07891. 17891

9、. 109001. 038942. 0)57891. 0(57891. 0sin3 N00083. 06)2)(1(00480. 02) 1(09001. 038942. 0)(03 ttttttthxN等距节点插值公式Newton向后插值公式为向后插值公式为00083. 0! 3)2)(1(00563. 0! 2)1(07958. 064422. 0)(43 ttttttthxN2109. 11 . 07 . 057891. 04 hxxt643102sin)2109. 1()2109. 0(7891. 07891. 1! 4)1 . 0()57891. 0( R误误差差为为等距节点插值公式

10、当插值点当插值点x x接近数据表头时，一般用向前插值公式，接近数据表头时，一般用向前插值公式，而当插值点而当插值点x x接近数据表尾时，则采用向后插值公式。接近数据表尾时，则采用向后插值公式。54711. 000083. 067891. 0)2109. 0()2109. 1(00563. 02)2109. 0()2109. 1(2109. 107958. 064422. 057891. 0sin 等距节点插值公式第三节第三节 分段线性插值法分段线性插值法插值法 分段线性插值法的一般理论分段线性插值法的一般理论 分段线性插值多项式的构造分段线性插值多项式的构造分段线性插值余项和误差估计分段线性插

11、值余项和误差估计简单的分段高次插值多项式简单的分段高次插值多项式 一般来说，高次插值多项式是不妥当的，从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍入误差的增大，从而引起计算失真。因此，实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。 那么如何提高插值精度呢？ 采用分段插值是一种办法。分段线性插值法 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线连所谓分段线性插值就是通过插值点用折线连接起来逼近接起来逼近)(xfnnyyybxxxa1010,上上的的函函数数值值为为：设设已已知知节节点点 使使其其满满足足：构构造造插插值值函函数数)(x是是线线性性函函数数在在每每个个小小区区间间上上)(),.,

12、(,)(),.,()()(xnixxniyxiiii210221011 则称则称 (x)是是f(x)在在a ,b上的分段线性插值多项式。上的分段线性插值多项式。 一、分段线性插值的概念一、分段线性插值的概念)()(11111 iiiiiiiiiixxxyxxxxyxxxxx 分段表达式分段表达式Lagrange插值多项式插值多项式二、分段线性插值多项式的构造二、分段线性插值多项式的构造xjxj-1xj+1x0 xn 其其它它0,)(101010 xxxxxxxxl计算量与n无关;n越大，误差越小.一般表达式一般表达式 njjjxlyx0)()( 其其它它0,)(111nnnnnnxxxxxxx

13、xl 其它其它0,)(111111iiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxl分段线性插值多项式的构造余项余项定理定理：设设f(x)在在a,b上有二阶连续导数上有二阶连续导数f(x) ，则则)(max),(max,8)()()(1102xfMxxhMhxxfxRbxaiini 其其中中 分段线性插值多项式的构造证明：由证明：由Lagrange Lagrange 余项公式，当余项公式，当xxi, xi+1时时! 2)()()()()(1 iixxxxfxRxxf )(max8)(4)(2)()(12121xfxxxxfxRiixxxiiii 04)()2()(21211 iiiiiix

14、xxxxxxxx4)()(max2111 iiiixxxxxxxxxii分段线性插值多项式的构造证毕。证毕。MhxfxxxRbaxiixxxiini8)(max8)(max)(,221101 都都有有对对任任意意分段线性插值多项式的构造例例：设设 -1 x 1(1)将将-1，1 10 等份等份，用分段线性插值近似用分段线性插值近似计计f(-0.96)。(2)将将-1，1 n 等份等份，用分段线性插值近似计算用分段线性插值近似计算,问如何选择步长问如何选择步长h可使近似计算误差可使近似计算误差R10-4?22511)(xxf 8 . 01)1(2941. 0)8 . 0(1923. 02 . 0

15、1)8 . 0(2 . 08 . 0)1()( xxxxfxfx 解解：(1)插值节点为插值节点为xi=-1+ i/5 (i=0,1,10),h=1/5因为因为 -0.96-1,-0.8,取此区间为线性插值区间取此区间为线性插值区间，其上的插值函数其上的插值函数为为例例5.5分段线性插值多项式的构造所以所以f(-0.96) (-0.96)=0.04253(2)插值节点为插值节点为xi=-1+ ih (i=0,1,n),h=(b-a)/2=2/n由分段线性插值的余项估计由分段线性插值的余项估计： |f(x)- (x) |=|R(x)| Mh2/81|)251(175|50| )(|)251(50)(32222 xxxfxxxf028.010125.0)()(max4211 hhxRxfMx分段线性插值多项式的构造分段二次插值分段二次插值即即：选取跟节点选取跟节点x最近的三个节点最近的三个节点xi-1,xi, xi+1进行二次插值进行二次插值，即在区间即在区间