双曲线导学案及答案

1、第二讲双曲线（2课时）班级姓名【考试说明】1. 了双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、）2.理解数形结合的思想.3. 了解双曲线的简单应用.【知识聚焦】（必须清楚、必须牢记）1 .双曲线定义平面内与两个定点Fi , F2的等于常数（小于| F1F2I）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做_，两焦点间的距离叫做 _集合 P= Mil MF1 |MF1| = 2a, | FiF2| = 2c,其中 a, c 为常数且a0, c0.（1）当时，P点的轨迹是双曲线；（2）当时，P点的轨迹是两条射线；当时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x

2、2 = 1 (a0, b0) a ba b = 1 (a0，b0)图形yF申歹性质范围对称性顶点渐近线离心率实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长 |A1A2|= ;线 段B1B2叫做双曲线的虚轴， 它的长|B1B2|=; a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c 的关系c2=(ca0, cb0)3实轴和目等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率是双曲线为等轴双曲线的充要条件，且等轴双曲线两条渐近线互相垂直.一般可设其方程为 x22=入（入工0）.2 2 2 2-一x y一x y4. 巧设双曲线方程（1）与双曲线孑一書=1 （ a0, b0）有共同渐近线的方程可表示为gt （ t丰

3、0）.2 2（2）过已知两个点的双曲线方程可设为x + y = 1 （ mi0, b0）的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（）A. 5C.D. 22. （2015 安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=2 X的是(22 yA . x2 = 1 B.42X2-分 12X 2Dy y2= 12014级高三理科数学导学案平面解析几何编制：高春芳审阅：厉强2xk满足0k0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 .5. （教材改编）经过点A（3， 1），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 .2 26. 设双曲线X2 9= 1（a0）的渐近线方程为3X2y= 0，则a的值为（）

4、a 9A.4 B.3C.2D.12 2 2 2nxyyx7（ 2013 湖北）已知0 e 0, b0)的一条渐近线平行于直线I : y = 2x+ 10,双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.2202x2y “3x23y2,3x3y2 *B.一 1C.1D.-12052510010025总结反思1变式题(1)(2015 课标全国n )已知双曲线过点(4 , - 3)，且渐近线方程为y =歹，则该双曲线的标准方程为5设椭圆C的离心率为-5-,焦点在X轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆 C的两个焦点的距离的差的绝对值13等于8，则曲线C2的标准方程为探究点三双曲线的几何性质2

5、 2x y例3(1)过双曲线2= 1( a0,a bb0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A与另一条渐近线交于点B,若FB= 2FA则此双曲线的离心率为A. 2B.D.2014级高三理科数学导学案平面解析几何编制：高春芳审阅：厉强(2015 山东)平面直角坐标系xOy中，双曲线2XC： -2 a2y2十=1( a0, b0)的渐近线与抛物线 C2： x = 2py(p 0)交于点0, A, B若AOAB勺垂心为C2的焦点，贝U G的离心率为总结反思2 2x y变式题(1)(20 15 重庆)设双曲线-2= 1(a0, b0)的右焦点是F,左，右顶点分别是 A, A,过F作AA的垂a b

6、线与双曲线交于 B, C两点，若AB丄AC,则该双曲线的渐近线的斜率为()1A + _ 2B.乎C. 1D土 2(2015 湖北)将离心率为e1的双曲线C的实半轴长a和虚半轴长b(a b)同时增加n(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b, e1 b 时，e1e2；当i ae2C.对任意的a,b, &e2D.当 ab 时，e1e2；当I ab 时，e10)的离心率等于2，直线y= kx 1与双曲线E的右支交于 A, B两点.求k的取值范围;若|AB = 6 ,3,点C是双曲线上一点，且 3C= n(OAOB，求k, m的值.总结反思变式题已知双曲线C的两个焦点

7、分别为% 2,0) , F2(2 , 0)，双曲线 C上一点 P 到 F1,F2的距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程;l的方程; 经过点M2,1)作直线l交双曲线C的右支于A, B两点，且M为AB的中点，求直线已知定点G(1,2)，点D是双曲线 C右支上的动点，求| DF| + | DG的最小值.【课后作业】1. （2015 广东）已知双曲线 C:2y=1的离心率5e = 4,且其右焦点为F2（5,0），则双曲线C的方程为（）B.C.2 2x yD. = 1342设直线I过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直,与C交于A, B两点，|AE|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为

8、（）A. 2B.3 . （2014 江西）过双曲线2 X C:2g蒼=1的右顶点作X轴的垂线，与 C的一条渐近线相交于点 A若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点（O为坐标原点则双曲线C的方程为（）22x yA. = 1 B.41222x y -=179C.2XD.124 . (2015 课标全国I)已知MX0,y）是双曲线C：y = 1上的一点，F1,F2是C的两个焦点，若IMF MFb0）的长轴长、短轴长、焦距成等比数列,a1离心率为22x ye1；双曲线 吕一忌=1 ( a20, b?0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2.则e等于（C.6.已知F为双曲线C：2

9、2x - = 1的左焦点,P, Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的 2倍，点A（5 , 0）在线段PQ上，则 PQF勺周长为2 27.已知双曲线魚一3m= 1的一个焦点是（0,2）2 2，椭圆 m= 1的焦距等于4,则n=&若点0和点F( 2,0)分别为双曲线?一y 2 2 2 2 2= 1(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP- FP的a取值范围为.2x9. (2014 浙江)设直线x 3y+ mt= 0( m 0)与双曲线 孑yb2=1(a0, b0)的两条渐近线分别交于点A, B 若点 F(m,0)满足| PA = | PB，则该双曲线的离心率是 2X 210 .已

10、知椭圆C的方程为丁+ y = 1,双曲线C2的左、右焦点分别是 C的左、右顶点，而 C2的左、右顶点分别是 G的4左、右焦点. 求双曲线G的方程；若直线l :y = kx + ,：2与双曲线G恒有两个不同的交点 A和B,且0A- OB2(其中O为原点)，求k的取值范围.双曲线参考答案【基础回眸】21 .答案 A解析 由题意得 b= 2a,又 a + b = C, 5 a2 = cl /. e = g= 5, e= 5.22. 答案 A解析 由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x2 4 = 1的渐近线方程为y =2x，故选A.2 23. 答案 A解析 因为0k0)，其渐近线方程为y=叹，即 my=

11、 x，不妨选取右焦点v3m 3，7 m vF( Q3m 3, 0)到其中一条渐近线 x心尸0的距离求解，得 d=正5. x y = 1解析设双曲线的方程为x2y2 = 1(a0)，把点A(3, 1)代入，得a2= 8,故所求方程为x y = 1. 88a a88 =羽.寸16. C解：由双曲线方程可知渐近线方程为y=二x，又a0,可知a= 2.故选C.a17. D解：易知双曲线 C实轴长为2cos 0，虚轴长为2sin 0，焦距为2,离心率为；双曲线C实轴长为2sin 0 ,COS 01n虚轴长为2sin 0 tan 0 ,焦距为2tan 0，离心率为，又0 0 0,解得 入 V 2人十2 人

12、十1或入一1.【典例精讲】2例 1 1.x 2 2 2双曲线的标准方程为6436=1或占-36 y = 1（x w 1） 2.B81. 解析 如图所示，设动圆 M与圆C及圆C2分别外切于 A和B根据两圆外切的条件，得 |MC |AC| =|MA, |MC |BC| =|MB ,因为 | MA = | MB，所以 | MC T AC| = | MC | BC| ,即|MC |MC = |BC| |AC| = 2,所以点M到两定点 G、C2的距离的差是常数且小于 | CC2| = 6.又根据双曲线的定义，得动点 M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大，与 C的距离小），2其中a= 1, c=

13、3b2= 8.故点M的轨迹方程为 x2 y = 1（x0).9 m- 28 n= 1,72m- 49 n= 1,1m= 一,75解得丄 n= 25.2 2双曲线的标准方程为卷-75=1.孑一b2= 1 或? R= 1(a0, b0).由题意知，2b= 12,2.A解：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y= bx与直线y= 2x十10平行， - = 2.又双曲线的一个焦点在直线Iaa上，一 2c + 10= 0, c= 5. a2+ b2= c2= 25将b = 2a代入上式得 a2= 5, b2= 20,故双曲线的方程为 X 吕=1.5202 2 2x 2x y变式答案(1)4 y = 1话一

14、9 = 1解析(1)由双曲线渐近线方程为1 一y = qX,可设该双曲线的标准方程为2X 2-y =入(入工0)，已知该双曲线过点 (4 ,42,3)，所以(叮3) 2=入，即入2一X 2=1,故所求双曲线的标准方程为-y = 1.(2)由题意知椭圆G的焦点坐标为Fi( 5,0) , F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则| PF| |PF2| = 8.由双曲线的定义知:a= 4, b= 3.故曲线C2的标准方程为2 2 232= 1.即卷一吕=1.例3答案 (1)CI解析 (1)如图，T FB= 2FA A为线段BF的中点，/ 2=7 3.b又/ 1=z2, / 2=6o,a=tan 60

15、 =3,2“ b、2, e = 1 + ( ) = 4, e= 2.a(2)由题意，不妨设直线 OA的方程为y = x，直线OB勺方程为y=bx.由aby=孑,2X = 2py,2b得 x = 2p ?, a22pb2pb- x =, y= aa22pb 2pbp A a, a .设抛物线C2的焦点为F,则F 0, 22pb2 p 匚a 2 . kAF=.2pba AFX OB 二 kAF koB= 1,2pb2 p孑-22pbabb =1,/b2 = 4.设C的离心率为e,贝U e2= $=a 4ab2 一a =1+ 4=59344. e= 2变式答案(1)C(2)B(1)如图，双曲线g订=

16、1的右焦点F( c, 0)，左，右顶点分别y0/22为 Ai( a,0), A2( a, 0),易求 Be, a , Cc,a贝y kAzC=- , kAB=a eb2 得(1 k)x + 2kx 2=0.(*)a又AB与AC垂直,a+ eb2a则有 kA1B- kA?C= 1,即a+ eb2b4a .a2=1 , 2a ee a22b1,. a = b,即卩a= b,渐近线斜率k=- = 1.ae1=、疋,e =、/爲.不妨令耳，化简得?鶉n0),得bman, 得 ba时，有abm即ee2；当ba时，有b1,2 2A = 2k 4 1 k X 2 0,k1,即,2k 2,所以1k ,2故k的

17、取值范围是k|1 k ,；2由(*)得Xl + X22k2k2 1 , X1X2=p-k2 1, /-I AB =p 1 + F .X1 + X22 4X1X2=1 + ：12 = 6 3 ,555整理得 28k4 55k2+ 25= 0, k2= 7或 k2= 4，又 1k| GF| + 2 = 5 + 2,故 | DF| + | DG 的最小值为 Q5 + 2.【必做题】1. C解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为c 5222e=a= 4 所以 c= 5, a = 4, b2= c2 a2 = 9,所以所求双曲线方程为216 9 =1，故选 C.2. 答案 B22解析设双曲

18、线的标准方程为 ?一 = 1(a0, b0)，由于直线过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线I的方程222. 4x y22 cb为：x = c 或 x = c,代入2= 1 得 y= b(二1) = 2,a ba a y = E，故| AB = 2b，依题意 2b = 4a,aaa.2 2 2bc a2= 2 , 2a a=e2 1 = 2,. e= ,3.x = a,由by = ax，2 2 ,； a 4 2+ b 2= 4，即(a 4)2 + b2= 16.而 a2+ b2= 16 ,二 a= 2, b= 2 3.二双曲线 C 的方程为扌一1.4答案 A解析 由题意知 a=2, b= 1,

19、 c = 3,. Fi( 一工；3, 0) , F2(j3, 0), MF= ( ;3 xo, yo) , MF= ( J3 xo, yo) .t MF MF0, ( -; 3 xo)(打3 xo) + yo0,即xo 3 + yS0. t点 Mxo, yo)在双曲线上,2XO222yo = 1, 即 卩 xo= 2+ 2yo,2+ 2yo 3+ yo0,椭圆的焦距为4,所以c2= n 1 = 4或1 n= 4，解得n= 5或一 3(舍去).2&答案 3 + 2 3,+口 解析 由条件知a2+ 1= 22 = 4,. a2= 3,.双曲线方程为 专y2= 1,2 22 x 22 2x设 P点坐标为(x, y)，则 (x, y), FP= (x + 2, y) , t y = 1, OP- FP= x + 2x + y = x + 2x+ 1 437=x2+ 2x 1= 3(x+ 3)2 4 又T x 3( P为右支上任意一点),P FP3+ 2 .3.9.答案2 2双曲线丰一討1的渐近线方程为bb丄 y=?,y= x.由 aaam bm3b a 3