弹性力学一点的应变状态

1、1-1 1-1 弹性力学研究内容弹性力学研究内容1-2 1-2 弹性力学基本假定弹性力学基本假定1-3 1-3 弹性力学几个基本概念弹性力学几个基本概念1-4 1-4 弹性力学问题的提法弹性力学问题的提法1-1 1-1 弹性力学研究内容弹性力学研究内容一一. . 研究内容研究内容材力材力: : （内容）杆件在外力或温度作用下的应力、变形、材料（内容）杆件在外力或温度作用下的应力、变形、材料 的宏观力学性质、破坏准则等。的宏观力学性质、破坏准则等。 结力结力: :（内容）杆件系统（杆系结构）在外力或温度作用下（内容）杆件系统（杆系结构）在外力或温度作用下的应力、变形、位移等变化规律。的应力、变形

2、、位移等变化规律。 （任务）解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。（任务）解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。 （任务）解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。（任务）解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。 弹力弹力: :（内容）弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、（内容）弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。位移等分布规律。 （任务）解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。（任务）解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。 二二. . 弹性力学与材力、结力课程的区别弹性力学与材力、结力课程的区别材力：材力：1. 1. 研究对象研究对象杆件（直杆、小曲率杆）杆件（直杆、小曲率杆）结力：结力：杆件系统（

3、或结构）杆件系统（或结构）弹力：弹力：一般弹性实体结构：一般弹性实体结构：三维弹性固体、板状结构、杆件等三维弹性固体、板状结构、杆件等2. 2. 研究方法研究方法材力：材力：借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然后由静力学、几何关系、物理方程三设等，然后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。方面进行分析。结力：结力：与材力类同。与材力类同。弹力：弹力：仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了材力中的大部分假定。析，放弃了材力中的大部分假定。如：梁的弯曲问题如：梁的弯曲问题弹性力学结果弹性力

4、学结果材料力学结果材料力学结果当当 l h 时，两者误差很小时，两者误差很小如：变截面杆受拉伸如：变截面杆受拉伸 弹性力学以微元体弹性力学以微元体为研究对象，建立方程为研究对象，建立方程求解，得到弹性体变形求解，得到弹性体变形的一般规律。所得结果的一般规律。所得结果更符合实际。更符合实际。3. 3. 数学理论基础数学理论基础材力材力结力结力 常微分方程（常微分方程（4 4阶，一个变量）。阶，一个变量）。弹力弹力 偏微分方程（高阶，二、三个变量）。偏微分方程（高阶，二、三个变量）。数值解法：能量法（变分法）、差分法、有数值解法：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。限单元法等。三三. . 与其

5、他力学课程的关系与其他力学课程的关系 弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩土力学、振动理论、弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩土力学、振动理论、有限单元法等课程的基础。有限单元法等课程的基础。1-2 1-2 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定一一. . 连续性假定连续性假定 整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。空隙。 该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻合该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻合较好；研究物体的微观力学性质时不适用。较好；研究物体的微观力学性质时不适用。作用：作用： 使得使得 、 、u 等量表示

6、成坐标的连续函数。等量表示成坐标的连续函数。( , , )x y z( , , )uu x y z( , , )x y z并保证各量的极限，如并保证各量的极限，如存在。存在。如如d0ddlimdssss二二. . 线弹性假定线弹性假定 假定物体完全服从胡克（假定物体完全服从胡克（Hooke）定律，应力与应变）定律，应力与应变间成线性比例关系（正负号变化也相同）。间成线性比例关系（正负号变化也相同）。比例常数比例常数 弹性常数（弹性常数（E、）脆性材料脆性材料 一直到破坏前，都可近似为线弹性的；一直到破坏前，都可近似为线弹性的；塑性材料塑性材料 比例阶段，可视为线弹性的。比例阶段，可视为线弹性的

7、。三三. . 均匀性假定均匀性假定作用：作用： 可使求解方程线性化可使求解方程线性化 假定整个物体是由同一种材料组成假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性的，各部分材料性质相同。质相同。作用：作用：弹性常数（弹性常数（E、 ）不随位置坐标而变化；不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。取微元体分析的结果可应用于整个物体。四四. . 各向同性假定各向同性假定 假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。作用：作用：弹性常数（弹性常数（E、 ）不随坐标方向而变化；不随坐标方向而变化；金属金属 上述假定符合较好；上述假定符合较

8、好；木材、岩石木材、岩石 上述假定不符合，称为各向异性材料；上述假定不符合，称为各向异性材料；符合上述符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。个假定的物体，称为理想弹性体。五五. . 小变形假定小变形假定 假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小物体的原来的尺寸。位移远远小物体的原来的尺寸。1,1作用：作用：建立方程时，可略去高阶微量；建立方程时，可略去高阶微量；可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。使求解的方程线性化。使求解的方程线性化。1-3 1-3 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念

9、一一. . 外力外力体力、面力（材力：集中力、分布力。）1. 1. 体力体力VF 弹性体内单位体积上所受的外力。弹性体内单位体积上所受的外力。0limVFfV 体力分布集度体力分布集度（矢量）（矢量）xyzOijkxfyfzfxyzff if jf kfx、fy、fz为体力矢量在坐标轴上的投影，为体力矢量在坐标轴上的投影，称为体力分量。称为体力分量。单位：单位： N/m3kN/m3说明：说明：(1)(1) 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数(2)(2) 的形式是任意的的形式是任意的( (如重力、磁场力、惯性力等如重力、磁场力、惯性力等) )(3)(3) fx、fy、fz 的正负号由坐标方

10、向确定的正负号由坐标方向确定ff2. 2. 面力面力 作用于物体表面单位面积上的外力作用于物体表面单位面积上的外力SF0limSFfS 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzOijkxfyfzfxyzff if jf k fx、 fy 、 fx 为面力矢量在坐标轴上的投为面力矢量在坐标轴上的投影，称为面力分量。影，称为面力分量。单位：单位：1N/m2 =1Pa ( (帕帕) )1MN/m2 = 106Pa = 1MPa ( (兆帕兆帕) )说明：说明：(1)(1) f 是坐标的连续分布函数；是坐标的连续分布函数；(2)(2) f 的加载方式是任意的；的加载方式是任意的；(3) (3)

11、的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。xfyfzf二二. . 应力应力1. 1. 一点应力的概念一点应力的概念内力内力(1) 物体内部分子或原子间的相互作用力物体内部分子或原子间的相互作用力;(2) 由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.SCP0limCSNCFpS(1) P点的内力面分布集度点的内力面分布集度(2) 应力矢量应力矢量:P点的点的应力应力的极限方向的极限方向F由外力引起的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度应力分量应力分量N(法线法线)NN法向分量法向分量N 正应力正应力切向分量切向分量N 切应力切应力单位单位:与面

12、力相同与面力相同MPa (兆帕)应力关于坐标连续分布应力关于坐标连续分布( , , )Nx y z( , , )Nx y zNpFC2. 2. 一点的应力状态一点的应力状态 通过一点通过一点P 可作无穷多个截面，各个截面上应力状况的可作无穷多个截面，各个截面上应力状况的集合集合 称为称为一点的应力状态一点的应力状态x面的应力：面的应力：,xxyxz y面的应力：面的应力：,yyxyzz面的应力：面的应力：,zzxzy 根据空间的三维性，用三个特殊截面来代表。即通过一根据空间的三维性，用三个特殊截面来代表。即通过一点点P 可作三个相互垂直的截面，该三个截面上应力状况的集可作三个相互垂直的截面，该

13、三个截面上应力状况的集合就完整地代表了合就完整地代表了P点的应力状态点的应力状态1）P 点的位置点的位置 P(x，y，z)2）C 截面的方位截面的方位 N(l1，l2，l3)3） 的数值大小的数值大小P点全应力的完整意义：点全应力的完整意义：共九个分量共九个分量用矩阵表示：用矩阵表示：xxyxzyxyyzzxzyz 其中，只有其中，只有6个量独立。个量独立。xyxyyxyzzy切应力互等定理应力符号的意义：应力符号的意义：zxxz第第1个下标个下标 x ，表示表示 所在面的法线方向；所在面的法线方向；第第2个下标个下标 y ，表示表示 的方向的方向.应力正负号的规定：应力正负号的规定：正应力正

14、应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。切应力切应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx用微元体表示：用微元体表示：与材力中切应力与材力中切应力 正负正负号规定的区别：号规定的区别：xyxyxyxyxyyxxy规定使得单元体顺时转的规定使得单元体顺时转的剪应力剪应力 为正，反之为负。为正，反之为负。xyyx 在用应力莫尔圆时必须用此规定在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题求解问题xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzxx

15、yzOP线应变：线应变：rdsrdsd0ddlimdrssss称为称为 P 点沿点沿 r 方向上的方向上的线应变线应变角应变：角应变：srsrrsrsrs称为称为 P 点在点在 rs 方向上的方向上的角应变角应变三三. . 变形变形1. 1. 一点变形的度量一点变形的度量工程应变的定义工程应变的定义变形变形 物体的形状改变物体的形状改变线元长度的改变线元长度的改变两线元间夹角的改变两线元间夹角的改变应变的正负：应变的正负：线应变：线应变： 伸长时为正，缩短时为负伸长时为正，缩短时为负角应变：角应变： 夹角变小时为正，变大时为负夹角变小时为正，变大时为负152021/3/10 过过 P 点所有方

16、向上的线应变和角应变的集合称为点所有方向上的线应变和角应变的集合称为P点的应点的应变状态变状态过过 P 点可有无穷多个方向的线元点可有无穷多个方向的线元2. 2. 一点的应变状态的描述一点的应变状态的描述 根据空间的三维性，用三个特殊方向根据空间的三维性，用三个特殊方向来代表。来代表。xyzOPrstdzdxdy 即通过一点即通过一点P 可作三个相互垂直可作三个相互垂直的线元。的线元。 该三线元长度改变（线应变）和该三线元长度改变（线应变）和线元间夹角改变（角应变）的集合就完整线元间夹角改变（角应变）的集合就完整地代表了地代表了P点的应变状态点的应变状态 根据应变定义根据应变定义三个线应变：三

17、个线应变：rxsytz三个角应变：三个角应变：rsxystyztrzx共六个分量。即该六个分量可完整描述共六个分量。即该六个分量可完整描述P点的应变状态。点的应变状态。相互垂直线元的线应变和角应变也称为相互垂直线元的线应变和角应变也称为工程正应变工程正应变和和工程切应变工程切应变写成矩阵形式写成矩阵形式112211221122xxyxzyxyyzzxzyz其中其中zxxzxyyxyzzy应变无量纲；应变无量纲；四四. . 位移位移 注：注：一点的位移一点的位移 矢量矢量应变分量均为位置坐标的函数，即应变分量均为位置坐标的函数，即( , , ),xxx y z( , , ) ,xyxyx y zxyzOwuvPP位移分量：位移分量：u x方向的位移分量；方向的位移分量；v y方向的位移分量；方向的位移分量；w z方向的位移分量。方向的位移分量。量纲：量纲：m 或 mmSS已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、 ）、约束条件等，