5 质点动力学-2

1、1、功、功(work) 功是能量转换的功是能量转换的量量度；度；功是力在空间的累功是力在空间的累积积效应效应（1 1）恒力的功）恒力的功功是标量，有正负。功是标量，有正负。cosWFrFr Fr 0090 ,0W0090180 ,0W090 ,0W, 力作正功力作正功, 力作负功力作负功, 力不作功力不作功恒力，曲线运动恒力，曲线运动-怎样？怎样？cosdWF drFdr（2 2）变力的功）变力的功质点在变力质点在变力 作用下沿曲线作用下沿曲线L L从从a 运动到运动到b b，计算力，计算力 所作的功。所作的功。FFrd F 在在a、b上任取位移元上任取位移元 ， 在在 上的上的元功元功为为(

2、elementary work)Frdrd若若 在在a、b上连续作用，则从上连续作用，则从a到到b b，变力变力 的的总功总功FFbaWdWF drabLocosFrarabbridridWdW元功元功 : : 即图中小矩形的面积即图中小矩形的面积功的几何意义 力曲线下的面积力曲线下的面积 () () LxyzLxyzLWF drF iF jF kdxidyjdzkF dxF dyF dz在直角坐标系中，在直角坐标系中，kFjFiFFzyxkdzjdyidxrd所以所以该积分与路径该积分与路径 L 有关。所以有关。所以功是一个过程量解：解：00FF xiF yjdddrxiyjdWFr总功：一

3、质点做圆周运动，有一力 作用于质点，在质点由原点至P(0，2R)点过程中，力 作的功 A = ？0FFxiyjF020000ddRF xxF yy202F RxyOPRdr00dFrF xdxF ydy元功：（3 3）合力的功）合力的功12nLLWF drFFFdrLnLLrdFrdFrdF2112nWWWW即：合力的功等于各分力的功的代数和。即：合力的功等于各分力的功的代数和。物体受几个力作用时，合力的功物体受几个力作用时，合力的功(4) (4) 功率功率(power)(4) (4) 功率功率(power)WPt0limtWdWPtdt W = J/sdWF drPFdtdtv(表征作功快慢

4、程度的物理量表征作功快慢程度的物理量)瞬时功率等于力和速度的标积。瞬时功率等于力和速度的标积。2112yyWmgdymgymgy 质点在重力作用下质点在重力作用下, , 沿曲线从沿曲线从a到到b , , 计算重力的功。计算重力的功。 在在a、b上任取上任取位移元位移元 , ,重力重力 在在 上的上的元功元功为为rdrdG从从a到到b重力的重力的总功总功重力作功与重力作功与路径无关路径无关()dWG drmg jdxidy jmgdy y1y2abyxrdG恒力，曲线运动恒力，曲线运动2122121122xxWdWkxdxkxkx x2box1mxamxF质点在弹力作用下质点在弹力作用下, ,

5、从从a 到到 b , , 计算弹计算弹力的功。力的功。ikxF在在a、b上上( (x处处) )任取任取位移元位移元 idxrdrd , 上作用于质点的力 ， 在在 上的元功上的元功rdFdWF drkxi dxikxdx 从从a到到b, 弹力的弹力的总功总功弹力作功也弹力作功也与路径无关与路径无关xdx变力，直线运动变力，直线运动mpmEk22122v单位单位：J(theorem of kinetic energy)babbaaddrWF drmdrmddtdtvvvvbaabmmdmvvvvvv222121外力对物体作功，对物体运动外力对物体作功，对物体运动状态的改变带来什么结果？状态的改变

6、带来什么结果？bvaavbvFrd即：合外力对质点所作的功等于质点动能的增量即：合外力对质点所作的功等于质点动能的增量 质点动能定理质点动能定理功是功是过程量过程量，而动能是，而动能是状态量状态量。221122bbakbkaaWF drmmEEvv动能定理由牛顿第二定律导出，只适用于惯性参考系，动能也动能定理由牛顿第二定律导出，只适用于惯性参考系，动能也与参考系有关。与参考系有关。例例4 4 一条长度为一条长度为L L，总质量为，总质量为 m m 的柔软链条，放在桌面上靠的柔软链条，放在桌面上靠边处，其中一端下垂，长度为边处，其中一端下垂，长度为a (a L) ,) ,链条与桌面的滑链条与桌面

7、的滑 动摩擦系数为动摩擦系数为 。设开始时链条静止。求。设开始时链条静止。求: :(1) (1) 链条离开桌边过程中，摩擦力以及重力所作的功；链条离开桌边过程中，摩擦力以及重力所作的功； (2) (2) 链条离开桌边时的速率。链条离开桌边时的速率。 aydyoy解: (1) 建立坐标系如图建立坐标系如图. . 当链条当链条下滑的长度为下滑的长度为y时时, , 链条受到的链条受到的摩擦力摩擦力f 和重力和重力G分别为分别为: :gyLLmf)(ygLmG 链条由链条由y处再下滑长度处再下滑长度 , , 摩擦力摩擦力f 和重力和重力G的元功分别为的元功分别为: :dy()fmdWLy gdyL G

8、mdWygdyL链条全部滑离桌边过程中链条全部滑离桌边过程中, , 摩擦力和重力的总功分别为摩擦力和重力的总功分别为2()()2LffammWdWLy gdyg LaLL 22()2LGGammgWWygdyLaLL (2) 链条离开桌边时的速率由动能定理求得链条离开桌边时的速率由动能定理求得102GfWWm2v)(222aLLmg22)(aLgLm2vm21)()(222aLaLLgv解得解得: :aydyoy2121()yyWmgdymgymgy 1 1、保守力、保守力y1y2abyxrdG21222111()22xxWkxdxkxkx x2box1mxamxFrrMmGF3000321b

9、baarrrrMmWGr dsG Mmdrrr rdrrdssdrcosabarbrdr 设设M 不动不动, 质点质点m在在M 的引力的引力作用下作用下, , 沿曲线从沿曲线从a 到到 b , , 计算计算万有引力的功。万有引力的功。 在在a、b上任取上任取位移元位移元 ， 上作用于上作用于m的引力的引力 sdsdsd 在在 上的上的元功元功F03mMdWF dsGr dsr 从从a到到b b, , 的总功的总功Frrdrmsd )(tr)d(ttrrdrdcosddrrrrrr d0002()()barrbadrMmMmWG MmGGrrr 万有引力的功也与路径无关。万有引力的功也与路径无关

10、。 重力、弹力、万有引力有一共同特点重力、弹力、万有引力有一共同特点-作功的值与作功的值与路径无关，只与始末位置有关。称这些力为路径无关，只与始末位置有关。称这些力为保守力保守力。0rdF保保守力的数学判据保守力的数学判据00321bbaarrrrMmWGr dsG Mmdrrr 重力、弹力、万有引力作功的结果重力、弹力、万有引力作功的结果21()Wmgymgy 重222111()22Wkxkx 弹00()()baMmMmWGGrr 引左边是保守力的功，右边是两个与物体位置有关的函数的差左边是保守力的功，右边是两个与物体位置有关的函数的差的负值。的负值。势能势能)(PE功是能量变化的量度。什么

11、能量？功是能量变化的量度。什么能量？bPbPaPaWF drEEE 保PdWdE 注意：注意：0PMmEGr bPaaEFdr保 若取若取 b点为势能零点点为势能零点 ，则质点在保守力场中任意一，则质点在保守力场中任意一点点 a 的势能为：的势能为：0PbE02MmFGr PEmgh212PEkxGmgFk x （1 1）质点系动能定理质点系动能定理ff m2m11F2F内力内力系统内质点间的相互作用力，系统内质点间的相互作用力，质点系内质点间的内力总是成对出现，质点系内质点间的内力总是成对出现，必有必有0iiFf内外力外力系统外的物体对系统内任一系统外的物体对系统内任一质点的作用力质点的作用

12、力0kikiiiWWEE外内动能定理运用于系统内第动能定理运用于系统内第 i 个质点个质点若系统内有若系统内有n个质点，对所有质点求和，有个质点，对所有质点求和，有0kikiiiWWEE 外内ff 1F2F1m2m0kikiiiWWEE 外内或简写为或简写为0kkWWEE外内即：即：所有外力对质点系作的功和内力对质点系作的功之和等于所有外力对质点系作的功和内力对质点系作的功之和等于质点系总动能的增量。这个结论称为质点系总动能的增量。这个结论称为质点系的动能定理。质点系的动能定理。质点系动能定理表明：质点系动能定理表明：内力可以改变系统的总动能。内力可以改变系统的总动能。0kkWWEE外内 质点

13、系相互作用的内力可能是保守内力，也可能是非保守内质点系相互作用的内力可能是保守内力，也可能是非保守内力。力。质点系动能定理重写为质点系动能定理重写为0kkWWWEE外保内非保内0()PPWEE 保内（2 2）质点系功能原理）质点系功能原理(principle of work and energy)00()()kPkPWWEEEE外非保内代入并整理得：代入并整理得：kPEEE令称为称为机械能机械能 质点系的功能原理质点系的功能原理0WWEE外非保内则则（3 3）机械能守恒定律机械能守恒定律 (law of conservation of mechanical energy) 即：如果一个系统只有

14、保守内力作功，非保守内力和一切外力即：如果一个系统只有保守内力作功，非保守内力和一切外力都不作功，那么系统的总机械能保持不变。都不作功，那么系统的总机械能保持不变。 机械能守恒定律机械能守恒定律00WW外非保内，。则。则0EE 00kPkPEEEE常量注意：系统机械能守恒有条件，条件就是：系统机械能守恒有条件，条件就是：00WW外非保内，00kPkPEEEE常量 解：解：(1) 质点的速度由牛顿第二定律求得质点的速度由牛顿第二定律求得例例1 质量为质量为m的质点在指向圆心的平方反比力的质点在指向圆心的平方反比力 的的作用下作用下, ,作半径为作半径为r 的圆周运动的圆周运动,(1),(1)求质

15、点的速度求质点的速度v; (2); (2)若取若取距圆心无限远处为势能的零点距圆心无限远处为势能的零点, ,计算该质点的机械能计算该质点的机械能E. .2/rkFrmrk22voFmrmrkv(2) 质点的机械能质点的机械能rkrkrkdrrkmEEErPk222122vmamgmgcossin)cos(singLaL2220v例例2 2 如图如图, ,设小车与斜面的摩擦系数为设小车与斜面的摩擦系数为 , ,问小车应以多大问小车应以多大的初速度的初速度 才能在关闭发动机后冲上长为才能在关闭发动机后冲上长为L L , ,倾角为倾角为 的斜的斜坡坡. .0vGNf解解1：用牛顿第二定律求解用牛顿第

16、二定律求解 视小车为质点视小车为质点, , 它受三个它受三个力作用力作用, , 如图如图. . )cos(singL20v取沿斜面向上的方向为正取沿斜面向上的方向为正, , 由牛顿第二定律由牛顿第二定律20210vmLmgmg)cossin(GNf解解2：用质点动能定理求解用质点动能定理求解 取取小车小车+ +地球为系统地球为系统, , 重力成为内力重力成为内力, ,且为保守内力且为保守内力, , 斜面的支承力斜面的支承力( (外力外力) )不作功不作功, , 系统内无非保守内力作功系统内无非保守内力作功. .21kkWEE)cos(singL20v解解3：用质点系功能原理求解用质点系功能原理求解)()(cos021020vmmghLmgGNf 取过斜面底为重力势能零点取过斜面底为重力势能零点; ; 由系统功能原理由系统功能原理21WWEE外非保内)cos(singL20vsinLh 例例3 在光滑的水平面上，水平放置一固定的半圆形屏障，有在光滑的水平面上，水平放置一固定的半圆形屏障，有一质量为一质量为 m 的滑块以初速度的滑块以初速度 v0 沿切线方向进