工程经济学例题与练习

1、第二章 资金的时间价值一、例题【例】有一笔50000元的借款，借期3年，年利率为8%试分别计算计息方式为单利和复利 时，其应归还的本利和。【解】用单利法计算：F = P(1+i n) = 50,000 x (1+8%x 3) = 62,000(元)用复利法计算：Fn=P(1+i)n=50,000 x (1+8%)3=62,(元)【例题2-3】现设年名义利率r二15%，贝U计息周期为年、半年、季、月、日、无限小时的年 实际利率为多少解：年名义利率r = 15%时，不同计息周期的年实际利率如下表年名义利率(r)计息周期年计息次数(m)计息周期利率(i = r/m)年实际利率(ieff )15%年1

2、15%半年2%季4%月12%周52%日365%无限小OO无限小%、练习(1) 假设年利率i=6%,第一年初存入银行100元，且10年中每年末均存入100元，试计算:1.到第十年末时的本利和2其现值是多少3 .其年金是多少解：首先画出现金流量图如图1所示，图1可转化为图2 JL FI；110年-11。1010001 10011图1图2那么结果为:1.A(F/A,6%,1 1)11(1 0.06) 11001497.16(元)2、A(P/A,6% ,1 0)3、P(A/P,6% ,1 0)0.061 0 06 10 1 A 100| 0.060二 100 836.01(元)1 0.06 0.061

3、0cc 1 0.06 0.06 uc/ 、836.01而113.59 (兀)1 0.06 1(2)年利率i=12%,某企业向金融机构贷款100万元。(1)假设五年后一次还清本息共应归还本息多少元(2) 假设五年内每年末归还当年利息，第五年末还清本息，五年内共还本息多少元(3)假设五年内每年末归还等额的本金和当年利息,五年内共还本息多少元(等额本金还款)(4)假设五年内每年末以相等的金额归还这笔借款,五年内共还本息多少元(等额本息还款)(5)这四种方式是等值的吗FP(1i)r1 10051 0.12176.23 (万元)(1)(2)TPi nP 125100160(万元)(3)T100i80 i

4、60 i 40i 20i 100129.67.24.82.4100136 (万元)(4)51 0 120 12err.AP(A/P,12% ,5)100527.7410.121TA527.745138.7 (万元)解:(5)(万元)以上四种方式是等值的。.某人存款1000元，8年后共得本息2000元，这笔存款的利率是多少假设欲使本息和翻两番,这笔钱应存多少年 解军：由 f p 1 i n得820001000 1 i同理，由8000 10009.05%n1 0.09051.0905 n24(年)ln8nIn 1.0905四、复利计算:(1)年利率r=12%按季计息，1000元现款存10年的本息和

5、是多少(2)年利率r=12%按月计息，每季末存款300元，连续存10年，本利和是多少(3) 年利率r=9%,每半年计息一次，假设每半年存款 600元，连续存10年，本利和是多少解：(1)1000(2)由10d 0.121 -4m1m3262.04 (元)300 -(3)由i半年3d 0.031 -3400.03030.03033.03%22774.84 (元)-009 0.045m 220F 600 1 0.045118822.85 (元)0.045五、证明:(1)(P/A,i,n )=(P/A,i, n-1)+(P/F,i, n)证明：1右式=n 1ini通分后有:n1 i 1n1 i i(

6、P/A,i, n)左式(2) P (A/P, i , n)-L(A/F , i , n) = (P-L)(A/P, i , n)+LiP为原值，L为残值的固定资产的折旧(年金)的计算证明：左式=nP#L-1irn i上式中加一个Li，减一个Li，有n1 i in1 i 1L-1Li Lin1 i in1 i 1Li i 1 i n 1n1 i 1Lin1 i in1 i 1n1 i in1 i 1LiLi=右式六.假设你从9年前开始，每月月初存入银行50元，年利率为6%按月复利计息，你连续存入71次后停止，但把本息仍存在银行。你方案从现在起一年后，租一套房子，每月月末付100元租金，为期10年

7、。试问：你的存款够支付未来10年房租吗解：1tP|1I0I70108120 121240 月50Fi月6%120.5%F 50(F/A ,i, 71)(1 i)507110.0051505010.0055452.680.005A 5452.68(A/ P,i, n)5452.681201 0.0050.005120 .1 0.0051=(元) 0即(1+IRR) 1n所以，当n趋于时，1 IRR1n1 IRR因而，当nx时，Pt IRR 1此题表示如果建设工程寿命较长，各年的净现金流量稳定且大致相等的话，工程的IRR等于Pt的倒数三.现金流量如以下列图,试求Pt与IRR、M N之间的关系。八丿

8、k0 1M M f1+1NI解：根据指标的定义，有:PtMLMAMIJBB1 a1 IRRIRR1 IRRIRR所以有IPtMAMI1IRRN M1A1IRRN M1MIRR1即PtM1IRRN M1M1NIRRN1IRR1MIRR1PtMNN - M1IRR1IRRM(1IRR) N1N -M(1IRR)N 1IRR此式说明工程建设期 M工程总寿命N、静态投资回收期Pt与内部收益率IRR之间的关系。四.假设现金流量图如下，试求证当nfx时，npv1 Pt i证明:NPVNPVP A , ic ,nn1 ic1n1 ic icncnc1 c因为所以NPVlimNPVAicicIA4A0 1n年

9、ic又因为所以 NPVA i1Pt第四章多方案的比选、例题NPV 15 2500014001010.1511010.150.152026.18(万元)【例】有4个方案互斥，现金流如下，试选择最正确方案。ic=15%工程1234现金流00-5000-8000-10000万元110年0140019002500解：因为1方案净现值为零，故取2方案为基准方案NPV20 比较方案3与2,根据现金流量差额评价原那么，应有A NPV 15 3 280005000(19001400)(P/A, 15%,10)490.62(万元)0说明方案2优于3。再比较方案2和4。A NPV 15 4 2100005000(

10、25001400)(P/A, 15%,10)520.65(万元)0说明方案4优于2。因为方案4是最后一个方案，故4是最正确方案。【例】有4个方案互斥，现金流如下，试选择最正确方案。ic=15%工程1234现金流00-5000-8000-10000万元110 年0140019002500解：同理，因为1方案净现值为零，故取2方案为基准方案。1比较方案3与2,根据现金流量差额评价原那么，应有A NPVA IRR 3 23 23000500 P A , A IRR 3 2,100得： IRF3 2 10.59% ic 15% 说明方案2优于3。再比较方案2和4。A NPV A IRR4 2 4 25

11、0001100 P A，A IRR4 2,100得: A IRR17.69%ic 15% 说明方案4优于2因为方案4是最后一个方案，故4是最正确方案。【例】4种具有相同功能的设备 A B C、D,其使用寿命均为10年，残值为0,初始投资和 年经营费如下。假设ic=10%，试选择最有利设备。4种设备的原始数据单位：万元设备ABCD初始投资30384550年经营费18解：由于功能相同，故可只比较费用；又因为各方案寿命相等，保证了时间可比，故可利用 净现值指标的对称形式一一费用现值指标 PC选优。判据是选择诸方案中费用现值最小者。解:PCA103018 P A,10%,10140.6PCB10381

12、7.7 P A,10%,10146.8PCC104514.7 P A,10%,10135.3PCD105013.2 P A,10%,10131.1所以，应该选择设备Do2经济性工学的解法第一步：按投资额由小到大排序后，先根据静态数据淘汰无资格方案。单位：万元设备投资I年经营费C R IC；I无资格万案重算 R/ I无资格万案重算fA301818300.618300.6180.6301817.7BB3838300.0375C4517.714.745380.42861814.745300.22C14.713.21813.2D50504550300.30.24第二步：从剩余方案中比选最优方案。本例中

13、仅剩A、D两种设备备选，假设用 IRR指标，那么应令 I A p , IRR, n AR 0代入数据，那么有, IRR D IRR DA ,100.2420% ic 10%故应选择设备Do【例】如果设备A B C D的投资、收益数据如下表所示，各方案寿命均为无限大。设备工程ABCD初始投资万元20304050年净收益万元试问：1假设：ic = 10%，应选哪种设备2 ic在什么区间，选择B设备最为有利解：第一步，按投资额由小到大排序后，先根据静态数据淘汰无资格方案。单位：万元所以，由 NPV=A R ( P/A , IRR , s)- I = 0，设备投资I年收益C%无资格方案 R/ AI I

14、RR排序A20AB3018%C40CD5012%因为 nx，(p/A ,i, s ) =1/i , IRR18可知，n s时的 irr=A R/ I o第二步：根据上表计算结果绘出排序图。12ic = .10%0BB D万元 IRR排序图第三步：可根据 IRR?ic，选优: 当ic = 10%时，显然 IRR0 b和 IRRb-d都符合标准，因此应选择 D设备。 根据上述准那么，12% ic d 二12%vic,不符合选中的标准。也就是说，按经济性工学应选择 IRR由大于ic转变为小于ic之前的增量方案。如1 中的B D，即D设备和2中的0B，即卩B设备。【例】有A B两种设备均可满足使用要求

15、，数据如下:设备投资I万元每年净收益万元寿命年A10004004B20005306假设有吸引力的最低投资收益率 MARR=1Q%试选择一台经济上有利的设备 解：A B寿命期不同，其现金流如下：400AA,04 年1000530016 年B I2000其最小公倍数为12年。；01V410001000530A2000400 A1000木400木匸912 年A 530 A200012NPVa1000 400 卫(10.1)41 0.1)4 0.111(1 0.1)4(10.1)8575.96(万元)NPVB61 0.1 1 2000 5306 11 0.1 0.1np482.31(万元)因为NPV

16、NPB ,又因为A工程与A工程等效；B 工程与B工程等效，故A工程优 于B工程。【例】某厂为增加品种方案，考虑了两种方案产量相同，收入可忽略不计，假定ic=15%,现金流如下：项目AB初期投资万元12501600年经营本钱万元340300残值万元100160寿命年69解：画出现金流量图100340年1250LV八16030016001第一种不成认方案未使用价值。取6年为研究期:PC a 125010.156134010.1560.15100610.152493.49(万元PC B11600万元160 6 = 2666.1(10.15 ) 300610.150.15因为PCVPCB1,此时A方案

17、优于B方案这种方法取决于对处理回2预测方案未使用价值在研究期末的价值并作为现金流入量。收预测的准确性。如果重估值有困难，一般采用回收固定资产余值。)残值PCB21601600161603964030010.15 61610.150.156400.15=2458.66 万元因为P(AP(B2,所以B方案优于A方案二、练习一.两个互斥的投资方案 A、B,基准贴现率在什么范围内应挑选方案 A在什么范围内应挑选 方案B净现金流量如下表：万案年末净现金流量(兀)01234A-1000100350600850B-10001000200200200解：首先计算出A B工程及A B差额工程的内部收益率IRRA

18、=23%IRRB=34% IRRA-B=13%( NPV=NPV)但由于这里A、B工程的投资相等，所以不能用前面的原理来选择，即用投资多的工程减 去投资少的工程，假设此时的 IRRic，贝U投资多的工程优于投资少的工程。013% 23%34%i我们可以通过画图的方式来选择。1515由上图看出：当0 ic 13% 时，选A工程当13% ic 34%时，选B工程.具有同样功能的设备 A、B,有关资料如下表；不计设备残值，假设两台设备的使用年限均为8年，贴现率为13%设备初始投资产品加工费A20万元8元/件B30万元6元/件(1) 年产量是多少时，设备 A有利(2) 假设产量为13000件/年，贴现

19、率i在什麽范围时，A设备有利(3) 假设产量为15000件/年，贴现率为13%使用年限为多长时，A设备有利解：(1)设年产量为Q万件,假设A设备有利，那么:PC A81PC20 Q 8113810.130.13308心 10.1316 810.130.13解得：Q %.有A B C D四个互斥方案，寿命相同。有关资料如下：假设ic=15%，应选哪个方案方案(j)初始投资(1)(元)irrj IRRjkk=Ak=Bk=CA10000019%-B17500015%9%-C20000018%17%23%-D25000026%12%17%13%解：IRRa 19% 15%选A为临时最优方案此时选择设备

20、A有利。(3)PC A10.13n 1201.58-n10.130.13n10.13110.13n0.1313.33330.131.13 nnIn 1.131.13 nPC DB10.13n 1301.56n-10.130.133.3333解得 n %4.1667得 %ic %厂当ic=25%彳-73.16111ic1 ic 711 ic 7 ic3.60462差额内部收益率法欲使B方案不仅可行而且最优,那么有: irrbic IRRCic IRRDIRRbBicic100020003000100040090071 IRRb a1 IRRC IRRb7B ic ic当 ic=20%A17 IR

21、RC-B IRRCB1 IRRD7B11 IRRD B 7 IRRDB200048001 IRRb a 711 IRR a 71B 01818对于方程1当r1 =35%，方程1左边=当r2 =40%，方程1左边=对于方程2当r1 =10%，方程2左边=当r2 = 5%，方程2左边= 对于方程3当r1 =15%，方程3左边=当r2 =10%，方程3左边=对于方程4当r1 =25%，方程4左边=当r2 =20%，方程4左边=联立以上4个方程结果，有14.96% ic 23.06% IRRB A 35.15% ic IRFC B 9.28% ic IRRd14.96%ic.IRR B 23.06% ic(3)经济性工学解法设备投资1年收益RR I无资格万案重算RX I无资格万案重算fA200050050020000.25A9005009000.3900B300090030000.42000300030000.31100900C4000110040000.23000C138011001380900D5000138050000.28300050000.243000由上表可淘汰A C方案，故只需计算B、D方案NPV 口 0B NPVd b 0IRR icB IRRicD B所以有 14.96% ic 2