二次型正定惯性指数

1、2021/3/1014.2 二次型的标准形与规范形二次型的标准形与规范形准形；准形；了解正交替换法求标了解正交替换法求标. 2. 1标准形标准形非退化的线性替换求非退化的线性替换求熟练掌握用配方法通过熟练掌握用配方法通过.3.形形了解初等变换法求标准了解初等变换法求标准)(自学自学一、一、 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形的平方项，的平方项，若二次型含有若二次型含有ix01配方，配方，乘积项集中乘积项集中则先把所有则先把所有, ix，再对其余变量同样处理再对其余变量同样处理直到都配成平方项直到都配成平方项.但但若二次型不含平方项，若二次型不含平方项，02012 a换换则先作非退

2、化的线性替则先作非退化的线性替,211yyx 212yyx 33yx .再配方再配方化二次型含有平方项，化二次型含有平方项，2021/3/102一、一、 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形的平方项，的平方项，若二次型含有若二次型含有ix01配方，配方，乘积项集中乘积项集中则先把所有则先把所有, ix，再对其余变量同样处理再对其余变量同样处理直到都配成平方项直到都配成平方项.但但若二次型不含平方项，若二次型不含平方项，02012 a换换则先作非退化的线性替则先作非退化的线性替,211yyx 212yyx 33yx .再配方再配方化二次型含有平方项，化二次型含有平方项，2021/3/

3、103.62252323121232221化化为为标标准准形形xxxxxxxxx ),( 321xxxf将将32232232121652)(2xxxxxxxx )44()(3223222321xxxxxxx 2322321)2()(xxxxx 令令3211xxxy 3222xxy 33xy 2221321),(yyxxxf 3211yyyx 3222yyx 33yx C 所用的变换矩阵为所用的变换矩阵为 1002101112021/3/104),.,(21nxxxfAXXT 实对称矩阵实对称矩阵A A1200rddd12(,.,)nyyy nrryyyyy121 2222211.rrydydy

4、dfTC AC经过非退化线性替换经过非退化线性替换 二次型二次型 f f 化为化为: :CYX 存在可逆矩阵存在可逆矩阵C C, ,使得使得 1200rdddTC AC 配方法配方法2021/3/105二、二、 用正交替换化二次型为标准形用正交替换化二次型为标准形),.,(21nxxxfAXXT 实对称矩阵实对称矩阵A A存在存在正交矩阵正交矩阵Q,Q,使得使得 n 21存在存在正交矩阵正交矩阵Q,Q,使得使得 n 21 Q QT TAQ=AQ=A A的所有特征值的所有特征值实对称矩阵实对称矩阵A A1Q AQB合同合同经过经过正交替换正交替换 QYX f2222211.nnyyy 标准形标准

5、形二次型化为：二次型化为：2021/3/106例例1 1 用正交替换化二次型用正交替换化二次型为标准形为标准形, ,解解 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为A AE 特征值：特征值：11: 310: 再将再将 单位化单位化, ,得得222123121323255448fxxxx xx xx x将将 1 1, , 2 2正交化得正交化得255224422255 24224212,10 3122 并写出所作的线性替换并写出所作的线性替换. .2(1) (10) 123, 1231,10 1121022151 4145 25451512150 x 3232313x 1对应于对应于10对应于对应于2

6、x23 543 553 1对对应应于于13 23 2201 是正交矩阵是正交矩阵132Qxxx12021/3/107512150 x 3232313x23 55243 53x 1对应于对应于10对应于对应于11110Q AQ是正交矩阵是正交矩阵132Qxxx经过非退化的线性替换经过非退化的线性替换 321xxx 321yyy二次型化为二次型化为23222110yyyf 即即2354355132323325150QYX AQQT 2021/3/108,30位位化化把把特特征征向向量量正正交交化化、单单为实对称矩阵；为实对称矩阵；写出二次型矩阵写出二次型矩阵AA,10特征向量；特征向量；的全部特征

7、值和对应的的全部特征值和对应的求出求出A02重重根根对对应应的的特特征征向向量量每个特征向量每个特征向量，并将它们构成正交矩阵并将它们构成正交矩阵 Q,40 AQQT准准形形的的步步骤骤：正正交交替替换换法法求求二二次次型型标标1.QYX 得到可逆线性替换得到可逆线性替换YYfT 及标准形及标准形2222211nnyyy 实对称矩阵合同实对称矩阵合同2.秩秩有有相相同同的的正正惯惯性性指指数数与与2021/3/109例例1 1 考虑二次型考虑二次型221212(,)4f xxxx12(,)x x12xxAXXT 122xRx有有22124xx12xox0称此二次型是称此二次型是正定二次型正定二

8、次型. .相应的矩阵相应的矩阵1004A为为正定矩阵正定矩阵. .12(,)f xx010044 . 4Def设实二次型设实二次型如果对任何如果对任何0 AXXTAXXxfT )(则称二次型则称二次型 A A称为称为正定矩阵正定矩阵. .是是正定二次型正定二次型. .有有例例1 1 二次型二次型12(,.,)nf xxx22212.nxxx对任何对任何 ),.,(21nxxxf有有22212.nxxx为为正定正定二次型二次型0X = (x1 , x2 , , xn )T o，二次型二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = x12 + x22 + + xr2 ( r n)2021/3

9、/10104.3 二次型和对称矩阵的有定性二次型和对称矩阵的有定性矩矩阵阵、次次型型，正正定定矩矩阵阵、负负定定正正定定、负负定定、半半正正定定二二.判判别别二二次次型型的的正正定定性性熟熟练练掌掌握握利利用用多多种种途途径径基基本本知知识识点点：01重点：重点：02.定定性性的的判判别别定定理理半半正正定定矩矩阵阵，二二次次型型有有的的等等价价条条件件；熟熟练练掌掌握握判判断断正正定定矩矩阵阵一、正定二次型和正定矩阵一、正定二次型和正定矩阵二次型二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = x12 + x22 + + xr2 ( r n)对对x = ( 0 , , 0 , f (x1

10、 , x2 , xn ) = 0 .xr+1 , , xn )T o，有，有故二次型故二次型 ),.,(21nxxxf22221.rxxx 不是正定二次型不是正定二次型.例例1 1 二次型二次型12(,.,)nf xxx22212.nxxx为为正定正定二次型二次型对任何对任何 ),.,(21nxxxf有有22212.nxxx0X = (x1 , x2 , , xn )T o，2021/3/1011|A|A|大于零大于零如何判断一个矩阵或二次型是否正定呢如何判断一个矩阵或二次型是否正定呢? ? 以下给出几个矩阵为正定矩阵的充分必要条件以下给出几个矩阵为正定矩阵的充分必要条件. . 须是对称阵须是

11、对称阵强调：正定矩阵首先必强调：正定矩阵首先必2222211nnTydydydfAXXfn 的的标标准准形形：元元二二次次型型准则准则1 1正正定定f120,0,.,0nddd准则准则2 2 f 的正惯性指数为的正惯性指数为n nf 正定正定)7 . 4(Th准则准则3 3 A A的特征值都大于零的特征值都大于零 对称矩阵对称矩阵A A为正定矩阵为正定矩阵)8 . 4(Th2021/3/1012 nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaA.321333323122322211131211111aA 222112112aaaaA 3332312322211312113aaaaaaaaaA

12、 AAn .Def称为矩阵称为矩阵A A的的顺序主子式顺序主子式. .准则准则4 4 对称阵对称阵A A为正定矩阵为正定矩阵A A的顺序主子式都大于零的顺序主子式都大于零. .)9 . 4(Th例例1 1 判别下列矩阵或二次型是否正定判别下列矩阵或二次型是否正定 3111)1 A011 A21113A A A正定正定202021/3/1013例例1 1 判别下列矩阵或二次型是否正定判别下列矩阵或二次型是否正定32312123222132124252),()2xxxxxxxxxxxxf 解解 二次型对应的矩阵为：二次型对应的矩阵为：A021 A22111A 5121112123 A该二次型正定该

13、二次型正定 3111)1 A011 A21113A A A正定正定2021511221110305242210 2021/3/1014例例2 2 取何值时取何值时, ,下面的二次型正定下面的二次型正定222123123121323(,)2246f xxxxxxx xx xx x 解解 二次型对应的矩阵为：二次型对应的矩阵为：011 A21112A 311212323A 1125 当当 时，二次型正定时，二次型正定. .A12 1133220011014 5 1114 222123112132233(,)22444f x xxxx xx xxx xx Ex2: : 取何值时取何值时, ,下面的二

14、次型正定下面的二次型正定21 323121232221321866294),(:1xxxxxxxxxxxxfEx 2021/3/1015,)(,101020101 32AkEBA 矩矩阵阵设设例例正正定定？为为何何值值时时则则实实数数Bk解解 AE 101020101 22)1()2( 1111 1)1)(2(2 2)2( 的特征值：的特征值：A. 2, 0321 的的特特征征值值：B,2k,)2(2 k.)2(2 k, AAT 又又TAkE)( TTAkE AkE BBT 是实对称矩阵，是实对称矩阵，故故B正正定定于于是是B的的特特征征值值全全为为正正，等等价价于于B时，时，且且所以当所以当

15、20 kkB B正定正定. .2021/3/1016是正定矩阵是正定矩阵BA,. 1都是正定矩阵；都是正定矩阵；mAAkkAA,),0(,110 ;20也是正定矩阵也是正定矩阵BA 是是正正定定矩矩阵阵；和和AAAATT03正正定定实实二二次次型型AXXxxxfTn ),( 2.21,nRX ，有，有oX 0 AXXT nA的正惯性指数为的正惯性指数为个个特特征征值值全全大大于于零零的的nA个顺序主子式全大于零个顺序主子式全大于零的的nAEA合同于合同于QQAQT ,使使得得存存在在可可逆逆矩矩阵阵2021/3/1017三、二次型的有定性三、二次型的有定性也不是也不是 负定的负定的. .有有

16、二次型二次型 是是正正定的定的AXXT,nRX oX 0 AXXT 有有 二次型二次型 是是负负定的定的AXXT,nRX oX 0 AXXT 有有 二次型二次型 是是半正半正定的定的AXXT,nRX 0 AXXT oX 且且有有使使 0 AXXT 有有 二次型二次型 是是半负半负定的定的AXXT,nRX 0 AXXT oX 且且有有使使 0 AXXT 例例 二次型二次型221212(,)4f xxxx(0,1)f40 12(,)f xx不是不是 正定的正定的; ;(1,0)f 10( (半半) )12(,)f xx( (半半) )12(,)f xx此时此时称为称为不定的不定的. .2021/3/10181.二次型的负定性二次型的负定性 矩阵矩阵A A负定负定矩阵矩阵 正定正定. .()A XAXT)(AXXT 负负定定实实二二次次型型AXXxxxfTn ),( 21nA的负惯