大学物理气体动理论

1、2021/6/161热学（热学（Thermology） 研究与研究与热现象热现象有关的规律的科学。有关的规律的科学。热现象：热现象：大量分子无规则运动大量分子无规则运动(热运动热运动)的集的集 体表现体表现。(举例说明举例说明)热力学系统：热力学系统：由大量分子组成的系统。由大量分子组成的系统。思考思考:大量分子都在不停地运动，为什么大量分子都在不停地运动，为什么有的物体在运动，有的物体是静止的？有的物体在运动，有的物体是静止的？可否用研究力学的方法来研究热学问题可否用研究力学的方法来研究热学问题?2021/6/162热学研究方法：热学研究方法：宏观法：宏观法：以实验为基础，研究系统与外以实验

2、为基础，研究系统与外界的相互作用规律。界的相互作用规律。微观法：微观法：对大量分子的行为作对大量分子的行为作统计分析统计分析，建立宏观量与微观量的联系。建立宏观量与微观量的联系。宏观法与微观法相辅相成。宏观法与微观法相辅相成。气体分子的质量、速度等等气体分子的质量、速度等等气体的体积、压强、温度等等。气体的体积、压强、温度等等。2021/6/163第一章第一章 气体动理论气体动理论(Kinetic Theory of Gases)主要内容主要内容：压强公式压强公式温度的微观解释温度的微观解释能量均分定理能量均分定理理想气体的内能理想气体的内能麦克斯韦速率分布率麦克斯韦速率分布率2021/6/1

3、641.1 平衡态平衡态 (Equilibrium State)系统的宏观性质不随时间改变的状态系统的宏观性质不随时间改变的状态状态参量状态参量描述系统平衡态的宏观量。描述系统平衡态的宏观量。e.g. P、V、T、M(质量质量)、Mmol(摩尔质量摩尔质量) (密度密度)、E(内能内能)、S(熵熵) P (pressure)SI单位：单位： Pa 1 Pa=1 N/m21 mmHg=1.333 102 Pa 1 atm=1.013 105 Pa其它单位：其它单位：2021/6/165 V (volume) SI单位：单位：m3其它单位：其它单位：1 l=10-3 m3 1 cm3= 10-6

4、m3T (temperature)摄氏温标摄氏温标(Celsius scale)单位：单位：开氏温标开氏温标(Kelvin scale)单位：单位：kTc=Tk-273.15目前，目前，T(min.)=2.4 10 11k (激光冷却法激光冷却法)2021/6/166 P-V图图ABPV0点点平衡态平衡态线线准静态过程准静态过程(过程过程中的每一时刻，系统都中的每一时刻，系统都几乎处于平衡态几乎处于平衡态)两个系统的热平衡两个系统的热平衡AB导热板导热板由导热板隔开的两个系由导热板隔开的两个系统共同达到平衡态时，统共同达到平衡态时，称它们达到了称它们达到了热平衡热平衡。此时必有此时必有 TA=

5、TB2021/6/167AB绝热板绝热板导热板导热板C与第三个系统达到热平与第三个系统达到热平衡的两个系统，互相之衡的两个系统，互相之间也达到热平衡。间也达到热平衡。 热力学第零定律热力学第零定律此时有此时有 TA=TC=TB1.2 理想气体状态方程理想气体状态方程（Ideal Gas Equation of State）RTMMPVmol理想气体状态方程理想气体状态方程(Clapeyron s equation)2021/6/168M气体质量气体质量(kg)Mmol摩尔质量摩尔质量(kg/mol)R=8.31 J/mol k 普适气体常量普适气体常量or摩尔气体常量摩尔气体常量Note:状态

6、方程的另一形式：状态方程的另一形式：P=nkTn单位体积内气体分子数单位体积内气体分子数k=1.38 10-23J/k 玻尔兹曼玻尔兹曼(Boltzmann)常量常量来历来历nkTTNRNMMVRTMMVPAAmolmol112021/6/1691.3 压强公式（压强公式（Expression for Pressure）推导：理想气体分子模型统计方法推导：理想气体分子模型统计方法理想气体分子模型理想气体分子模型分子的行为犹如粒子；分子的行为犹如粒子；( (分子线度分子线度(1(1)每次碰撞的作用时间每次碰撞的作用时间( ( 1010-13-13s)s)除碰撞外，分子之间以及分子与器壁之除碰撞外

7、，分子之间以及分子与器壁之间无相互作用；间无相互作用；2021/6/1610碰撞是弹性的；碰撞是弹性的；分子的运动服从经典力学规律。分子的运动服从经典力学规律。( (分子速度分子速度(10(102 2m/s)m/s)光速光速) )统计方法统计方法用于揭示大量偶然事件的整体规律。用于揭示大量偶然事件的整体规律。是偶然事件的一种统计描述是偶然事件的一种统计描述概率概率定义：定义：iiiNNppi 事件事件 i 发生的概率发生的概率Ni 事件事件 i 发生的发生的 次数次数Ni 各种事件发生的总次数各种事件发生的总次数Note:稀薄的实际气体稀薄的实际气体(n(n很小很小) )接近理想气体接近理想气

8、体2021/6/1611对理想气体的统计假设：对理想气体的统计假设：统计规律的特点：统计规律的特点：只对大量的偶然事件才有意义；只对大量的偶然事件才有意义；是不同于个体规律的整体规律；是不同于个体规律的整体规律；存在涨落。存在涨落。平衡态下，分子的空间分布均匀平衡态下，分子的空间分布均匀平衡态下，分子的速度分布是各向同性的；平衡态下，分子的速度分布是各向同性的；平衡是动态的，即整体分布不变，但单个分平衡是动态的，即整体分布不变，但单个分子的位置和速度是不断改变的。子的位置和速度是不断改变的。)/,(302222vvvvvvvzyxzyx 2021/6/1612压强公式的推导压强公式的推导XYZ

9、L1L3L2Aoikvjvivviziyix设设总分子数总分子数：N 器壁侧面积器壁侧面积：A 第第i分子的速度分子的速度：)0(ixv在在 t时间内时间内, 第第i分子对器壁的平均作用力分子对器壁的平均作用力一次碰撞给予器壁的冲量：一次碰撞给予器壁的冲量：2021/6/1613器壁器壁分子：分子：ixixixixmvmvmvI2)(分子分子器壁：器壁：ixixixmvII2在在 t时间内，碰撞的概率：时间内，碰撞的概率：1Ltvpix仅当分子位于距器壁仅当分子位于距器壁vix t近的近的范围内范围内, 才会与器壁碰撞才会与器壁碰撞在在 t时间内，分子给器壁的平均冲量：时间内，分子给器壁的平均

10、冲量：Iixp在在 t时间内，分子对器壁的平均作用力：时间内，分子对器壁的平均作用力：122LmvtpIFixixix2021/6/1614在在 t时间内，所有分子对器壁的总作用力时间内，所有分子对器壁的总作用力212121021032122vLmNvNLmvLmvLmFFxiixvixvixxixixtnP32压强公式：压强公式：压强是统计量。压强是统计量。气体的压强气体的压强txxnvmVNvVmNLLFAFP32213232232分子的平均平动动能分子的平均平动动能2021/6/16151.4 温度的微观解释温度的微观解释 (The Microscopic Interpretation

11、of Temperature)tnP32状态方程：状态方程： P=nkT压强公式：压强公式：kTt23表明：温度是分子平均平动动能的标志。表明：温度是分子平均平动动能的标志。温度的微观解释温度的微观解释Note:温度也是统计量，它反映大量分温度也是统计量，它反映大量分子运动的剧烈程度。子运动的剧烈程度。2021/6/1616221vmtkTt23molMRTmkTv332e.g. 氮气氮气(N2), Mmol=28 10-3 kg/molT=0,T=100,smv/4932smv/5762当当T0K时，时， 不再成立。不再成立。kTt23原因：原因：根据近代物理，当根据近代物理，当T0时，时，

12、 0t2021/6/1617223213232vVMvmVNnPt例例1-1 容积容积V=10l，气体质量，气体质量M=100g若分子方均根速率若分子方均根速率则压强则压强P=?mmHgsmv/2002解：解：223310333. 11)200(1010310100)(100 . 13mmHg222333vVMvvmnnkTP解法二：解法二：2021/6/161823vVMRTVMMPmol解法三：解法三：1.5 能量的均分能量的均分 (Equipartition of Energy)问题：问题：与与T有关，分子的转动动能、振动动能有关，分子的转动动能、振动动能是否也与是否也与T有关？有关？t

13、自由度自由度 (degrees of freedom)确定一个物体的空间位置所必需的独立坐标数。确定一个物体的空间位置所必需的独立坐标数。e.g. 单原子分子：单原子分子： i=32021/6/1619刚性双原子分子：刚性双原子分子： i=5刚性多原子分子：刚性多原子分子： i=6 Notes:刚性分子只有平动和转动自由度，刚性分子只有平动和转动自由度，非刚性分子还有振动自由度。非刚性分子还有振动自由度。在低温下，分子的某些自由度可在低温下，分子的某些自由度可能被能被“冻结冻结”。( (用量子理论解释用量子理论解释) )2021/6/1620T102 k， i=3 (平动平动) 102 k T

14、 103 k ， i=6 (平动平动+转动转动+振动振动)e.g. 刚性双原子分子，刚性双原子分子，i=5，每个分子的平均，每个分子的平均动能为，其中，动能为，其中， . kT25kTkTrt,23能量均分定理能量均分定理在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于动能都相等，且等于kT21e.g. H2分子分子2021/6/1621理想气体的内能理想气体的内能一般，一般，系统内能粒子热运动动能系统内能粒子热运动动能 粒子之间相互作用势能粒子之间相互作用势能刚性分子理想气体：刚性分子理想气体：E=Ek(平动转动平动转动)RTiMMkTiNM

15、MNEmolAmolkk22RTiMMEmol2一定量理想气体内能是温度的函数，一定量理想气体内能是温度的函数，E E T, T, E ET T2021/6/1622例例1-2 一瓶一瓶H2气和一瓶气和一瓶He气，气，P、V、T均相均相同，则同，则H2气的内能是气的内能是He气的气的 倍。倍。解：解：PViRTiMMEmol223522eeHHHHiiEE思考思考结果的物理解释？结果的物理解释？若仅知若仅知P、V相同，结果？物理内涵相同，结果？物理内涵有何不同？有何不同？2021/6/1623例例1-3单原子气体，密度单原子气体，密度 ，压强，则分子方，压强，则分子方均根速率为均根速率为，单位

16、体积气体内能为，单位体积气体内能为。解：解：PMPVMRTvmol3332PkTnnEk2323 思考思考 其它解法？其它解法？1.6 分子速率的分布分子速率的分布 (Distribution of Molecular Speeds)单位质量气体内能？单位质量气体内能？2021/6/1624学号年龄学号年龄 身高体重身高体重01 19 1.73m 60kg02 20 1.60m 50kg03 18 1.73m 70kg. . . .29 19 1.84m 66kg30 20 1.50m 45kg北京工业大学北京工业大学04级某班同学的年龄、身高、体重级某班同学的年龄、身高、体重2021/6/1

17、625平均年龄平均年龄年龄在年龄在 1718, 1819, , 2021岁的同学的岁的同学的%:3023053010309304fi, 平均年龄平均年龄 = 17岁岁 a%18岁岁 b%19岁岁 c% = 年龄年龄 n%1fi -归一化条件归一化条件73.183022152010199184172510942215201019918417 2021/6/1626-归一化年龄分布函数图归一化年龄分布函数图年龄年龄(y)0 00.050.050.10.10.150.150.20.20.250.250.30.30.350.351414151516161717181819192020212122222

18、3232424每一条矩形面积表示在一个年龄段内人数的百分比每一条矩形面积表示在一个年龄段内人数的百分比f (y)f (y)为单位年龄间隔内人数的百分比为单位年龄间隔内人数的百分比所有矩形的总面积等于所有矩形的总面积等于1067030216703053330301030003091330304. f (y)2021/6/1627速率分布函数速率分布函数 平衡态下，单个分子速率因碰撞而改变，但系平衡态下，单个分子速率因碰撞而改变，但系统中处于不同速率区间的分子数占总分子数的百统中处于不同速率区间的分子数占总分子数的百分比不随时间变化。分比不随时间变化。定义：定义：NdvdNvfv)(N：总分子数：

19、总分子数dNv：速率在：速率在vv+dv区间的分子数区间的分子数 f(v)表示速率在表示速率在v附近单位速率区间的分附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比。子数占总分子数的百分比。性质：性质：1)(0dvvf归一化条件归一化条件2021/6/1628Note:问某一速率的分子数有多少问某一速率的分子数有多少, 无意义无意义.e.g.f(v)v0vv0v+dvv2v1NdNdvvfv)(21)(vvdvvf速率在速率在v1v2区间的区间的分子数占总分子数的百分子数占总分子数的百分比。分比。1)(00vdvvf归一化条件归一化条件:2021/6/1629麦克斯韦速率分布率麦克斯韦速率分布率18

20、59年，年，Maxwell导出理想气体平衡态下：导出理想气体平衡态下：其中其中kTmBkTmA2,)2(42/3m分子质量分子质量kBoltzmann常量常量T温度温度22)(BveAvvfMaxwellian f(v)1)(0dvvf满足满足:302412BdvevBv2021/6/1630曲线形状：曲线形状： f(v)v0T1 , m1T2 , m2对应于：对应于：m1=m2 , T2T1 or T1=T2 , m2m1Note:f(v)中，中，v取取0 . 实际上，由相对论实际上，由相对论知知vc时时, f(v) 0 , 影影响可以忽略。响可以忽略。2021/6/1631例例1-4 已知

21、已知f(v)为麦氏速率分布函数，为麦氏速率分布函数，N为总为总分子数，下列各式物理意义？分子数，下列各式物理意义？ppvvdvvNfdvvf)() 2()() 1 (2121)()() 4()() 3 (20vvvvdvvfdvvfvdvvvf答：答：理想气体平衡态下，理想气体平衡态下，vvp的分子数占的分子数占总分子数的百分比。总分子数的百分比。， vvp的分子数的分子数。，分子的平均速率分子的平均速率。2021/6/1632，v=v1v2的分子的速率平方的平的分子的速率平方的平均值。均值。的解释：的解释：21212121)()()()(22vvvvvvvvdvvNfdvvNfvdvvfdv

22、vfv该区间分子该区间分子速率平方和速率平方和该区间分子该区间分子数数 练习练习 改变各式积分区间改变各式积分区间, , 说明物理意义说明物理意义. .写出有限区间分子的平动动能之和及平写出有限区间分子的平动动能之和及平均平动动能的表达式均平动动能的表达式. .2021/6/1633 三个特征速率三个特征速率最概然速率最概然速率(最可几速率最可几速率)pvf(v)v0vp由由0/ )(dvvdfmolpMRTmkTv22得得vp物理意义：物理意义：若将整个速率范围分成许多相等的小区间，若将整个速率范围分成许多相等的小区间，则则vp所在区间的所在区间的dNv / N最大。最大。2021/6/16

23、34平均速率平均速率vmolMRTmkTdvvvfv88)(0203212BdvevBv 的用途：计算分子的平均自由程。的用途：计算分子的平均自由程。v方均根速率方均根速率2vmolMRTmkTdvvfvv33)(022504832BdvevBv2021/6/1635Note:,2vvvp都都mT2v 的用途：计算分子的平均平动动能。的用途：计算分子的平均平动动能。Boltzmann将将麦氏麦氏分布推广到有外场作用分布推广到有外场作用的情形，给出的情形，给出dxdydzdvdvdveCNdzyxkTEEpk1.7 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布(Boltzmann Distribution) 202

24、1/6/1636其中其中dN ：速度在：速度在vxvx+dvx , vyvy+dvy , vzvz+dvz区间，位置在区间，位置在x+dx , y+dy , z+dz区间的分子数区间的分子数 C ：与速度和位置无关的比例系数：与速度和位置无关的比例系数 该分布称为该分布称为Boltzmann分布，称为分布，称为 Boltzmann因子。因子。kTEEpke由该分布可得分子数按位置的分布规律由该分布可得分子数按位置的分布规律e.g.重力场中：重力场中：kTmghenn0恒温气压公式：恒温气压公式：kTmghePP02021/6/1637 1.8 分子的平均自由程分子的平均自由程(The Mean

25、 Free Path of Molecules) 平均碰撞频率平均碰撞频率单位单位时间内一个分子与其它时间内一个分子与其它分子的平均碰撞次数。分子的平均碰撞次数。平均自由程平均自由程一个分一个分子在连续两次碰撞之间子在连续两次碰撞之间平均通过的路程。平均通过的路程。平均碰撞频率平均碰撞频率z设想某一分子以平均相对速率运动，其设想某一分子以平均相对速率运动，其它分子静止。它分子静止。u2021/6/1638dddu碰撞截面：碰撞截面： = d2平均碰撞频率：平均碰撞频率：nudz2统计理论统计理论vu2于是于是nvdz222021/6/1639Notes:等体过程：等体过程：T z通常，通常，1

26、1091010sz平均自由程平均自由程ndzv2211Notes:通常，通常， 210等体过程：等体过程：不变不变2021/6/1640SUMMARY理想气体状态方程理想气体状态方程RTMMPVmolor P=nkT压强的微观公式压强的微观公式tnP32温度的微观解释温度的微观解释kTt232021/6/1641能量的均分能量的均分分子热运动每个自由度的平均动能：分子热运动每个自由度的平均动能：kT21一个分子热运动的平均总动能：一个分子热运动的平均总动能：kTik2理想气体内能：理想气体内能：RTiMMEmol2速率的分布速率的分布分布函数：分布函数：NdvdNvfv)(麦氏速率分布：麦氏速

27、率分布：kTmvevkTmvf2/22/ 32)2(4)( 2021/6/1642三种特征速率三种特征速率molpMRTmkTv22molMRTmkTv88molMRTmkTv332dxdydzdvdvdveCNdzyxkTEEpk Boltzmann分布律分布律 2021/6/1643重力场中：重力场中：kTmghenn0平均自由程平均自由程nd221分子平均碰撞频率分子平均碰撞频率nvdz22 2021/6/1644EXERCISES在相同的温度和压强下，各为单位体积的在相同的温度和压强下，各为单位体积的氢气与氦气的内能之比为氢气与氦气的内能之比为，各为单位，各为单位质量的氢气与氦气的内能

28、之比为质量的氢气与氦气的内能之比为。解：解：PikTinnEk223522HeHHeHiiEERTiMMRTiMMEmolmol21/22021/6/16453102435222HmolHemolHeHHeHMMiiEE思考思考 其它解法？其它解法？2021/6/1646一定量氢气温度每升高一定量氢气温度每升高1k，内能增加，内能增加41.6J，则该氢气质量为则该氢气质量为。解：解：RTiMMEmol2TRiMMEmol2131. 856 .41100 . 2223TiREMMmol)(100 . 43kg练习练习就就 TE, 自编几道题自编几道题.2021/6/1647在以速度运动的容器中，盛有分子质量在以速度运动的容器中，盛有分子质量为为m的单原子理想气体。若使容器突然停止的单