专题十三三角形动点问题汇总

1、专题十三三角形动点问题汇总聚智堂教育学科教师辅导讲义年级：辅导科目：学科教师：学员姓名：课题专题十三 三角形的动点问题教学目的1, 能对动点转化为静点进行处理问题，2, 能利用分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想解决问 题。重难点分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想的应用教学内容一、概念引入所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类 开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想二随堂练习1.如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC

2、CD DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x， ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则 ABC的面积是（A ）PA 、10B 、16、18 D 、 2020 / 172,女口图在 Rt ABC 中，ACB 90，BAC 30，AB= 2，D是AB边上的一个动点（不与点 A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E.设AD x，CE y，贝U下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（B）C【答案】B【思路分析】由于D是AB边上的一个动点（不与点 A B重合），所以0vx8即t 4时，点Q在B, E之间，如上图（右）.此时，PD= AD AP= 6一t , EQ= CQ

3、CE= 2t 一 8,由 6一 t = 2t 一 8 得 t = 14321. （2013?武汉）如图，E, F是正方形ABCD勺边AD上两个动点，满足 AE=DF连接CF交BD于点G 连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是0).过点D作DF丄BC于点F,连接DE EF.(1) 求证：AE= DF；(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t值；如果不能，说明理由.(3) 当t为何值时， DEF为直角三角形？请说明理由.【中考权威答案】(1)在厶 DFC中, Z DFG= 90,/ C= 30，DG= 2t，a DF= t. 又 T AE= t ,

4、a AE= DF.(2)能.理由如下： AB丄 BC DF丄 BC,二 AE/ DF又AE= DF, 四边形AEFD为平行四边形.2AB 10.I AB= BC- tan30 = 5J3 3 5, AC3 AD= AC- DC= 10 2t若使口 AEFD为菱形,则需AE= AD t = 10 2t ,即当t 10时,四边形AEFD为菱形3(3)/ EDI 90时,四边形EBFD为矩形.在 Rt AED中 , / ADE=Z C= 30, AD= 2AE 即 10 2t = 2t ,/DEI 90 时,由(2)知 EF/ ADADE=Z DEI 90A= 90/ C= 60, AD= AE -

5、 cos60 .1 即 10 2t t,t 4.2/EFD= 90时,此种情况不存在.2综上所述，当t 2或4时, DEF为直角三角形5【思路分析】(2)由于AE与DF平行且相等,因此四边形 AEFD是平行四边形,要保证是菱形,只 需保证一组邻边相等即可,可令 AD= AE (3) DEF为直角三角形,则共有三种三种情况,即/ DEF =90, / EDF= 90 和/ DFE= 90.26,如图,在Rt ABC中,/ C=90 , AC=8 , BC=6，点P在AB上,AP=2.点E、F同时从点P出发,分 别沿PA PB以每秒1个单位长度的速度向点 A B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度

6、沿AB向点 B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH 使它与 ABC在线段AB的同侧,设E、F运动的时间为t秒(t 0),正方形EFGHfA ABC重叠部分面 积为S.(1)当t=1时,正方形EFGH勺边长是；当t=3时,正方形EFGH勺边长是；当0v t 2时,求S与t的函数关系式；(3) 直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？【答案】(1)2 ; 4; 当0vt 时(如图)，求S与t的函数关系式是：S=S矩形EFGH =(2t)2=4t2；11当 t 6时(如图)，求s与t的函数关系式是:1152 143S

7、= S巨形 EFGH - SHM=4t - X 234勢2+3-351 32132S=S ARF-S AQE= X 2=3t.2 424(3)当t = 146时，S最大，最大值为1102 .2575【思路分析】(1)按照运动方向和速度，当t=1时，EP=FP=2,所以EF=2;当t=3时，E运动到A 后返回，此时EP=1，FP=3,所以EF=4;(2)通过分析可以知道，在 0t 2的过程中，刚开始正方形在三角形内部，而当t=2时，正方形的边长为4,此时点6在厶ABC勺外部，因此在这个运动过程中应分三种情况：正方形在三角形内部； 正方形的一个顶点 H跑出三角形；正方形的两个顶点跑出三角形当日在厶

8、ABC的边AC上时，8，解得t 6 ;当G在厶ABC的边AC上时，AF=2+t， 6 11-，当 Ovt -时，S= (2t) 2=4t2;当-vt 2 时，然是在增加的，当3 (2- t) 2=3t .4E反向运动，此时EF的长固定不变，保持为4, t在开始之前重重叠部分的面积显4 t 22时，重叠部分是六边形的时侯是先增后开始减少，此时可以求出图形为六3S2 -（-t 矽）2，3 33而 S=S正方形-Si-S2=16-3t）22（4t20）2=25t23 243 3324763t罟从而得当七驾时，S最大，最大值为1102边形时的关系式，即正方形的面积减去这两个小三角形的面积，而27,如图

9、，在矩形ABCD中, A吐12cm BC= 8cm,点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩 形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s,当点F追上点G(即 点F与点G重合)时，三个点随之停止移动设移动开始后第t秒时， EFG的面积为S (cm2.(1) 当t = 1秒时，S的值是多少？(2) 写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围.(3) 若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C G 为顶点的三角形相似？请说明理由.【答案】（1）如图甲，当 t = 1 秒时，AE= 2， EB= 10， BF=

10、4， FC= 4， CG= 2，由 S= S梯形eccg Sebf111Scg= （10 + 2） X 8 一 X 10X 4一 一 X 4X 2= 24222如图(甲)，当OWt 2时，点E、F、G分别在AB BC2t，BF= 4t , FO 8-4t , S= 8t2 32t + 48 (0t 2)CD上移动，此时AE= 2t , E吐12 (3)如图乙，当点F追上点G时，4t = 2t = 8,解得t = 4,FG CG- CF= 8 2t，即 S= 8t + 32(2 v t 4),(3)如图(甲)，当点F在矩形的边BC上移动时，OWt 2,当 2v t 4 时，CF= 4t 8, C

11、G= 2t , 在EFF和FCG中，B= C= 90,若EBFCEBGCBF12CG8 4tBF ,即 12 2tCF2t4t，解得t = 2，又t = 2满足0Wt 2，所以当t = 2时厶EBFA GCF若2t3334t3334t ，解得t =3，又t =3满足0W t 2，所以当t= 3时厶EBFA 8F,8 4t22254.答案：解（1）由题意：AP=4x CQ=3x AQ=30-3x,AP _AQ4不_ 刃一当 PQ/ BC时，二匚，即：- 二10A 解得： -；40（2）能，AP=cm或 AP=20cmAP AQ鯨 30-3a= 厶 APQ CBQ 贝-,即二 二解得:工=或二（舍

12、）此时：AP二-cmAP AQ47 30-3x= 厶APQA CQB则。C*，即去 2WX =解得：（符合题意）40此时：AP=cm40故 AP=： cm或 20cm时，CQB能相似.23综上知，当t二2或3时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似32【思路分析】(1 ) EFG是不规则的三角形，不能直接求得但可利用S= S梯形B3CG SeBF- SoG求得；(2) 求S和t之间的函数解析式时要分0Wt 2和2v t 4来求得；(3)由于点E、B F为顶点的三角形 与以F、C G为顶点的三角形相似的对应关系不明确，因此本题也要分类讨论28,如图，已知 ABC是边长为6cm的等边三角形，动点