第二章__杆系结构的有限元法分析

1、有限元单元法有限元单元法 Finite Element Analysis第2章杆系结构的有限元法分析 2.1概述有限单元法的基本思想是从整体到局部，再回到整体，即对我们分析的整体对象，根据其结构特点，对其进行离散化，得到有限个独立的单元，然后对每个单元进行单元分析，最后根据单元分析的结果对结构物进行整体分析，求得结构物的某些参数。在所有结构中，杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常见的一类结构。如平面桁架、平面刚架、连续梁、空间刚架、空间桁架等都属于此类结构，以此类结构为基础介绍有限单元法的分析过程。 首先了解一下有限单元法分析问题的基本步骤。 第一步：对结构物进行离散化，划分为有限

2、个单元 12345612345 弯曲杆件系统 截面连续变化的杆件系统 以直代曲 若干微小的等截面杆单元 第二步：对各结点和单元进行编码 36123456(0 0 0)(0 0 1)(2 3 4)(5 6 7)(11 12 13)(8 9 10)12456123456(1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)(10 11 12)(16 17 18)(13 14 15)12345单元划分示意图 第三步：建立整体坐标系和各单元的局部坐标系 36123456(0 0 0)(0 0 1)(2 3 4)(5 6 7)(11 12 13)(8 9 10)12456123456(1 2 3)(4 5 6)(7

3、 8 9)(10 11 12)(16 17 18)(13 14 15)12345整体坐标系和各单元的局部坐标系 第四步：对已知参数进行准备和整理 AlEGI对于各单元，需要准备的数据包括：单元截面积:单元长度:单元弹性模量:单元剪切模量:单元惯性矩:等。 第五步：对结点位移进行编码 36123456(0 0 0)(0 0 1)(2 3 4)(5 6 7)(11 12 13)(8 9 10)12456123456(1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)(10 11 12)(16 17 18)(13 14 15)12345结点位移进行编码前处理法 后处理法 第六步：进行单元分析 我们进行单元分析

4、的最终目的是要对结构进行整体分析，因此必须由单元特性矩阵构成整体特性矩阵。注意的是，如果局部坐标系与整体坐标系不一致，则需进行坐标变换，将局部坐标系下的单元特性转换为整体坐标系下的单元特性。第七步：进行整体分析，形成整体刚度矩阵第八步：引入边界条件边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性，否则，我们的问题就是不适定的。第九步，求解方程组，计算结构的整体结点位移列阵 ，并进一步计算各单元的应力分量及主应力、主向。第十步，求单元内力，对计算成果进行整理、分析，用表格、图线示出所需的位移及应力。2.2局部坐标系中杆单元分析局部坐标系中杆单元分析 所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件

5、。在结构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。但由于在实际工程结构中，同一构件上，上述几种受力状态往往同时存在，因此为方便起见，本书都称之为杆单元杆单元。并且，本书所讨论的杆单元均是指等截面直杆单元等截面直杆单元，对于变截面杆和弯曲杆件，我们在进行单元划分时可以将其分为若干等截面杆单元。因此本书的分析方法仍然对其适应。2.2.1拉压杆单元拉压杆单元ijq(x)FiFjuiujxy拉压杆单元示意图 用结点位移表示单元上任意截面的位移用结点位移表示单元上任意截面的位移u ( )u xabxab(0)iuu

6、( )ju lu其中、 为待定系数。ijiauuubl由位移的边界条件：( )(1)ijxxu xuull用矩阵表示为：iiijjijjuuN uN uNNuN 进行应力、应变分析进行应力、应变分析 11ijdudBBdxdxll NB根据应变的定义，有： 由虎克定律，其应力为：EEB 求单元刚度矩阵 利用虚位移原理求单元刚度矩阵： 2.2.22.2.2扭转杆单元Mjijm(x)Miijxy扭转杆单元示意图2.2.32.2.3只计弯曲的杆单元ijq(x)MiMjijxyFyjFyim(x)vivj只计弯曲的杆单元示意图TiijjvvTdyiiyjjFMFMF其中的单元刚度矩阵求得为：22322

7、12612664621261266264llllllEIlllllllk 2.2.42.2.4平面一般杆件单元ijuiujxyvivjFxiFyiFyjMiMjijFxj一般杆单元示意图TiiijjjuvuvTxiyiixjyjjFFMFFMFxiijEAEAFuullxjijEAEAFuull 3232126126yiiijjEIEIEIEIFvvllll3232126126yjiijjEIEIEIEIFvvllll 226462iiijjEIEIEIEIMvvllll226264jiijjEIEIEIEIMvvllllijuiujxyvivjFxiFyiFyjMiMjijFxj323222

8、323222000012612600646200000012612600626400ixiiyiiijxjjyjjjEAEAllEIEIEIEIuFllllvFEIEIEIEIMlllluFEAEAllvFEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllllFk 2.2.52.2.5空间杆件单元空间杆单元示意图TiiixiyizijjjxjyjzjuvwuvwTxiyizixiyizixjyjzjxjyjzjFFFMMMFFFMMMF323232320000000000000000000000000000000000000126126126126zzzzxiyiyyyyzixiyizixjyjz

9、jxjyjzjEAEAllEIEIEIEIFllllFEIEIEIEIllllFGIGIllMMMFFFMMM222232323232220000000000000000000000000000000000000000000000000000000000006462646212612612612662646yyyyzzzzzzzzyyyyyyyyEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllGIGIllEIEIEIEIllll220000000264iiixiyizijjjxjyjzjzzzzuvwuvwEIEIEIEIllll2.

10、2.62.2.6单元刚度矩阵的性质2.32.3杆系结构的整体分析2.3.1平面问题坐标变换矩阵ijoxyFxiMiyxMjFxjFyjFyiijoxyFxiMiyxMjFxjFyjFyi （a） （b）平面问题两种坐标系下杆端力转换关系示意图 cossinsincosxixiyiyixiyiFFFFFF 角度转动的正负由右手定则确定，本书中以顺时针方向转动为正 cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001xixiyiyiiixjxjyjyjjjFFFFMMFFFFMM FT Fcossin0000sincos0000001000000

11、cossin0000sincos0000001T正交矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵 同样的推导，可以得到两种坐标系下的杆端位移之间的转换关系为： T Fk FT FT Fk T 1TFTk T Tk T Fk TkTk T整体坐标系下的单元刚度方程 2.3.22.3.2空间问题坐标变换矩阵ijoxyyxFyiFxiFxjFyjzzFzjFzi空间问题两种坐标系下杆端力转换关系示意图xxxyxzyxyyyzzxzyzzlllllllll关系矩阵 整体坐标系下单元杆端力矩阵与局部坐标系下单元杆端力矩阵具有如下的关系表达式： FT FT000000000000空间坐标系的单元转换矩阵正交矩阵2.3.3

12、2.3.3杆系结构的整体分析对杆系结构进行单元分析，仅仅是有限元分析中的第一步。我们的目的是要对整个结构进行分析，研究结构的整体性能。因此，在对结构的各单元分析完成后，必须将单元分析的结果进行整合，对结构进行整体分析。整体分析的过程实际上是如何将单元分析的结果进行有效组合，建立整体刚度方程并求解结点位移的过程。根据对结点位移的编码方式，可以采用“先处理法”和“后处理法”来建立整体刚度方程。 2.3.3.12.3.3.1后处理法 所谓后处理法，就是由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵，建立刚度方程后再引入支承条件，进而求解结点位移的方法。运用这种方法时，假设所有结点位移均为未知量，按照顺序统一进行编码

13、。1 (1 2 3)2 (4 5 6)3 (7 8 9)4 (10 11 12)xyO后处理法位移编码示意图1 (1 2 3)2 (4 5 6)3 (7 8 9)4 (10 11 12)xyO1234111222333444TTuvuvuvuv1234111222333444TTxyxyxyxyFFMFFMFFMFFMFFFFF11223344iiijjijjiiijjijjiiijjijjkkFkkkkFkkkkFkkF000000FK 奇异矩阵，不能求逆矩阵，即可得到无穷多个解 必须引入边界条件 1114440uvuv边界条件： 1 (1 2 3)2 (4 5 6)3 (7 8 9)4 (

14、10 11 12)xyO11121314121222324223132333433414243444KKKKKKKKKKKKKKKKFFFF00222232332333KKKKFF12214334KKFF0012214334KKFF00231F4FfrfrFFFfffrffrfrrrrKKKKFF2.3.3.22.3.3.2先处理法 1 (0 0 0)2 (1 2 3)3 (4 5 6)4 (4 5 7)xyABCD5(0 0 0)O先处理法位移编码示意图利用先处理法对单元结点位移编码时，仅对独立的位移分量按自然数顺序编号，若某些位移分量由于连接条件的限制彼此相等，则编为同一位移号，在支座处，

15、由于刚性约束而使位移分量为零时，则对应的编号为0。 2.3.3.32.3.3.3杆系结构整体刚度矩阵 刚度集成法 首先求出各单元的贡献矩阵 然后将它们叠加起来形成整体刚度矩阵 边定位，边累加 单元的定位数组 (0 0 0 1 2 3)m(1 2 3 4 5 6)m(0 0 0 4 5 7)m1 (0 0 0)2 (1 2 3)3 (4 5 6)4 (4 5 7)xyABCD5(0 0 0)O11121314151617212223242526273132333435363741424344454647515253545556576162636465666771727374757677KKKKK

16、KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566000123000123kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk441145124613542155225623643165326633kKkKkKkKkKkKkKkKkK11121314151621222324252631323334353641424344454651525354555661626364656612345612

17、3456kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk(1,2,61,2,6)ijijkKij111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566000457000457kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk444445454647545455555657647465756677kKkKkKkKkKkKkKkKkK4411451246131415165421552256232425266431653266333435364142434444

18、454546465152535454555556566000kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkK1626364656664656600000kkkkkkkkCAB1 (0 0 0)2 (1 2 3)3 (0 0 4)xyO单元划分、建立局部坐标系和整体坐标系。并对数据进行整理，对单元和结点编号。 4444234300 10100 1061230 1012 10EAEIllEIEIll求局部坐标系中的单元刚度矩阵k 由于单元、的尺寸完全一样，因此其单元刚度矩阵kk 4300003000001230012300301000305010300

19、0030000012300123003050030100kk323222323222000012612600646200000012612600626400ixiiyiiijxjjyjjjEAEAllEIEIEIEIuFllllvFEIEIEIEIMlllluFEAEAllvFEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllll求整体坐标系中的单元刚度矩阵 CAB1 (0 0 0)2 (1 2 3)3 (0 0 4)xyO010000100000001000000010000100000001T412300011203012030203000030003300100300501001203012

20、03000300003000030050300100k对于单元，由于其局部坐标系与整体坐标系一致，因此两种坐标系下的单元刚度矩阵相同 41230041300003000020123001230303010003050100300003000000123001230403050030100kk形成整体刚度矩阵K41230001120301203020300003000330010030050100120301203000300003000030050300100k4123004130000300002012300123030301000305010030000300000012300123040

21、3050030100k43120300031230301030302005003050100K2.4等效结点荷载和边界条件的处理2.4.1非结点荷载的处理非结点荷载的处理根据有限元方法的离散思想，我们需要将作用于单元上的外荷载（包括集中荷载、面分布荷载、体分布荷载、力偶等）按照虚功等效的原则移植到结点上，成为等效结点荷载。这里的虚功等效，是指原力系与等效结点荷载在任何可能的微小位移（虚位移）上所做的虚功相等。0( )lTEq xdxFN 等效结点荷载 2.4.2边界条件的处理2.4.2.1铰结点 DABCEFGH1 (0 0 1)2 (2 3 4)3 (5 6 7)4 (5 6 8)5 (0

22、0 0)6 (9 10 11)7 (0 0 0)8 (12 13 14)9 (15 16 17) （a） （b） 铰结点的处理示意图 2.4.2.22.4.2.2弹性支承点 12i-1ii+1nk弹性支承点的处理示意图RiFk 1 122iiiiiinniRKKKKFF123iiiiiinKKKKkK2.5杆系结构分析算例1 (0 0 0)2 (1 2 3)3 (0 0 4)xyO10kN8kN6kN10kNm12kN/mABC2.5m2.5m43120300031230301030302005003050100K整体刚度矩阵整体刚度矩阵求总结点荷载_ _局部坐标系单元 12kN/mq 5mal 0b 0302503025TfF045045TfF求总结点荷载_ _整体坐标系刚架等效结点荷载矩阵 3 0 0 0 1 23002530025TEF 3 0 01 2 4045045TEF