计量经济学课件：矩阵相关知识简介

1、一、行列式一、行列式二、矩阵二、矩阵（三）行列式按行（列）展开（三）行列式按行（列）展开（一）概念（一）概念（二）行列式的性质（二）行列式的性质（一）概念（一）概念（二）矩阵的运算（二）矩阵的运算矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介（三）逆矩阵（三）逆矩阵（四）矩阵的秩（四）矩阵的秩一、行列式一、行列式二阶行列式二阶行列式三阶行列式三阶行列式2112221122211211aaaaaaaa322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa（一）概念（一）概念（32个元素依次排成个元素依次

2、排成3行、行、3列）列）（22个元素依次排成个元素依次排成2行、行、2列）列）行列式的值是取自不同行、不同行列式的值是取自不同行、不同列的列的n个元素的乘积的代数和。个元素的乘积的代数和。矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介一、行列式一、行列式（一）概念（一）概念n阶行列式阶行列式n21n21njj2j1)jjj (Nnn2n1nn22221n11211aaa) 1(aaaaaaaaaD（1）每一项的形状为）每一项的形状为 （即取自不同行、不同列的（即取自不同行、不同列的n个元素的个元素的乘积），这里乘积），这里j1 j2 jn是是1,2，n的一个排列。的一个排列。n21njj2j1aaa是所有这

3、些项的代数和。是所有这些项的代数和。（2）如果）如果j1 j2 jn是偶排列，则对应项取正号是偶排列，则对应项取正号；如果是奇排列则取负号；如果是奇排列则取负号；取正、负号的项各占一半。取正、负号的项各占一半。（3）共有）共有n!项，项，表示对所有的表示对所有的n级排列求和，级排列求和， N(j1 j2 jn)为逆序数。为逆序数。（一个一个n n阶排列中逆序的总数称为这个排列的阶排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数逆序数，逆序数为偶数的称为逆序数为偶数的称为偶排列偶排列。）。）由由1,2,n1,2,n组成的一个有组成的一个有序组称为一个序组称为一个n n阶排列阶排列。在一个在一个n n阶排列中

4、，如果一个阶排列中，如果一个大数排在一个小数之前，则大数排在一个小数之前，则称这两个数组成一个称这两个数组成一个逆序逆序。（n2个元素依次个元素依次排成排成n行、行、n列）列）矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介一、行列式一、行列式（一）概念（一）概念上三角行列式上三角行列式等于主对角线等于主对角线上元素的乘积上元素的乘积nn2211nnn222n11211aaaa00aa0aaa下三角行列式下三角行列式等于主对角线等于主对角线上元素的乘积上元素的乘积nn2211nn2n1n222111aaaaaa0aa00a矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介一、行列式一、行列式（二）行列式的性质（二）行列式的性质

5、（2）互换行列式中）互换行列式中两行（列）的位置两行（列）的位置 ，行列式变号。行列式变号。（1）行列互换，）行列互换，行列式的值不变。行列式的值不变。Tnnn2n12n22121n2111nn2n1nn22221n11211DaaaaaaaaaaaaaaaaaaDDT称为称为行列式行列式D的转的转置行列置行列式。式。nn2n1npn2p1pqn2q1qn11211nn2n1nqn2q1qpn2p1pn11211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介一、行列式一、行列式（二）行列式的性质（二）行列式的性质（3）用常数）用常数k乘行列乘行列式等于用式等于

6、用k乘行列式的乘行列式的某一行（列）上的各某一行（列）上的各个元素。个元素。nn2n1npn2p1pn11211nn2n1npn2p1pn11211aaakakakaaaaaaaaaaaaak（4）行列式中如果有两行）行列式中如果有两行（列）的元素对应相等，（列）的元素对应相等，则行列式的值为零。则行列式的值为零。（5）如果行列式中有两行）如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例，（列）的对应元素成比例，则行列式的值等于零。则行列式的值等于零。0aaakakakaaaaaaann2n1npn2p1ppn2p1pn11211矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介一、行列式一、行列式（二）行列式的性质（

7、二）行列式的性质（6）某一行）某一行（列）加上另（列）加上另一行（列）的一行（列）的 k倍，行列式不倍，行列式不变。变。nn2n1nqn2q1qqnpn2q2p1q1pn11211nn2n1nqn2q1qpn2p1pn11211aaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaaaa矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介一、行列式一、行列式（二）行列式的性质（二）行列式的性质（7）若行列式中某一行（列）的每一个元素都是两数之和，则行列式可）若行列式中某一行（列）的每一个元素都是两数之和，则行列式可以写成两个行列式之和，这两个行列式分别以这两数中之一为对应元素，以写成两个行列式之和，这两个行列式分

8、别以这两数中之一为对应元素，其余位置元素与原行列式相同。其余位置元素与原行列式相同。nn2n1npn1p1pn11211nn2n1npn2p1pn11211nn2n1npnpn1p2p1p1pn11211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa利用行列式的性质可以将行列式化为下三角行列式，方便计算行列式的值。利用行列式的性质可以将行列式化为下三角行列式，方便计算行列式的值。矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介一、行列式一、行列式（三）行列式按行（列）展开（三）行列式按行（列）展开n阶行列式阶行列式D等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的

9、代数余子式乘积之和，即代数余子式乘积之和，即)n, 2 , 1i (AaAaAaDinin2i2i1 i1 i)n, 2 , 1j (AaAaAaDnjnjj2j2j1j1或：或：在在n阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素ai j所在的第所在的第i行和第行和第j列划去后，列划去后，留下来的留下来的n-1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素ai j的的余子式余子式，记做，记做Mi j 。Ai j叫做元素叫做元素ai j的的代数余子式代数余子式。记记Ai j = (-1)i+j Mi j 矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介一、行列式一、行列式（三）行列式按行（列）展开（三）行列式按行（列）展开例如四阶行

10、列式例如四阶行列式D中元素中元素A32的余子式和代数余子式分别为：的余子式和代数余子式分别为：44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44434124232114131132aaaaaaaaaM32322332MM) 1(A矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介二、矩阵二、矩阵（一）概念（一）概念由由mn个数个数ai j（i=1,2, ,m；j=1,2, ,n）排成排成m行行n列的列的数表，数表，称为称为mn矩阵矩阵，简记，简记A= (ai j )mn。nn2n1nn22221n11211aaaaaaaaa当当m=n时时，矩阵，矩阵A为为n

11、阶方阵阶方阵。元素都是零的矩阵称为元素都是零的矩阵称为零矩阵零矩阵。m=n=1时时，矩阵简化为，矩阵简化为标量标量。如果如果m=1或者或者n=1，矩阵就变为矩阵就变为向量向量；若；若m=1，是，是1n的的行向量行向量；若若n=1，是，是m1的的列向量列向量。mn2m1mn22221n11211aaaaaaaaaA矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介二、矩阵二、矩阵（一）概念（一）概念常用的几种特殊矩阵常用的几种特殊矩阵对角矩阵对角矩阵主对角线以主对角线以外的元素全为零的方阵外的元素全为零的方阵三角矩阵三角矩阵主主对角线下对角线下(上上)方方元素全为零的元素全为零的方阵称为上方阵称为上(下下)三角形

12、矩阵三角形矩阵数量矩阵数量矩阵主对角线上主对角线上元素全相同的对角矩阵元素全相同的对角矩阵单位矩阵单位矩阵主对角线上主对角线上元素全为元素全为1的对角矩阵的对角矩阵100010001Enn2211a000a000annn222n11211a00aa0aaaa000a000a对称矩阵对称矩阵满足条件满足条件aij =aji 的方阵，即的方阵，即AT =A反对称矩阵反对称矩阵满足条满足条件件aij = -aji 的方阵，即的方阵，即有有AT = -A547432728047402720正交矩阵正交矩阵满足满足AT A=E的方阵的方阵A矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介二、矩阵二、矩阵（二）矩阵的运算

13、（二）矩阵的运算矩阵相等矩阵相等： 设设A=(ai j)mn，B=(bi j)mn ，则当仅当，则当仅当ai j=bi j（i=1,2, ,m；j=1,2, ,n）时，）时，A与与B相等，记为相等，记为A=B。矩阵加法矩阵加法： 设设A=(ai j)mn，B=(bi j)mn ，则，则C=A+B=(ai j)mn + (bi j)mn = (ci j)mn ，其中，其中ci j= ai j+ bi j 。矩阵加法满足：矩阵加法满足： (1) A+B=B+A (2) A+(B+C)=(A+B)+C 矩阵数乘矩阵数乘：设设A=(ai j)mn，k为常数，则为常数，则kA =(kai j)mn 。1

14、8601231026(1) k(A+B)=kA+kB (2) (k+q)A=kA+qA(3) k(qA)=(kq)A (4) k(AB)=(kA)B=A(kB) 矩阵数乘满足：矩阵数乘满足： 矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介二、矩阵二、矩阵（二）矩阵的运算（二）矩阵的运算矩阵相乘矩阵相乘：设设A=(ai j)ms，B=(bi j)sn ，则，则C=AB=(ai k)ms (bk j)sn = (ci j)mn s1kkjikijbac矩阵相乘满足：矩阵相乘满足： (1) A(B+C)=AB+AC (2) (A+B)C=AC+BC (3) A(BC)=(AB)C15101183218501222

15、12121121121111222112111211bababababbbbaa(4) k(AB)=(kA)B=A(kB) 一般一般AB并不等于并不等于BA要求要求左边矩阵的列数左边矩阵的列数等于等于右边矩阵的行数右边矩阵的行数，积，积的元素是由左边矩阵的行元素乘以右边矩阵相的元素是由左边矩阵的行元素乘以右边矩阵相应的列元素并将所有积相加得到的。应的列元素并将所有积相加得到的。方阵的幂方阵的幂：设设A=(ai j)nn ，则，则 个kkAAAA矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介二、矩阵二、矩阵（二）矩阵的运算（二）矩阵的运算矩阵的转置矩阵的转置：把一个矩阵把一个矩阵A的行列互换，所得到的矩阵称为

16、的行列互换，所得到的矩阵称为A的转置。的转置。设设A=(ai j)mn，则，则(aj i )nm 称为称为A 的转置，记为的转置，记为AT = (aj i )nm 。转置矩阵的性质：转置矩阵的性质： (1) (AT )T =A(2) (A+B )T =AT +BT (4) (kA)T = kAT (k为常数为常数)(3) (AB )T =BTAT mn2m1mn22221n11211aaaaaaaaaA或或A = (aj i )nm 。矩阵的初等变换矩阵的初等变换： （1）交换矩阵的两行（列）。）交换矩阵的两行（列）。（2）用一个不等于零的常数）用一个不等于零的常数k乘矩阵的某一行（列）。乘矩

17、阵的某一行（列）。（3）将矩阵的某一行（列）乘以常数）将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。后加到另一行（列）上去。初等变换不改初等变换不改变矩阵的秩变矩阵的秩矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介二、矩阵二、矩阵（三）逆矩阵（三）逆矩阵逆矩阵逆矩阵： 若方阵若方阵A、B满足满足AB=BA=E(E为单位矩阵为单位矩阵)，则称，则称A为为B的的逆矩阵，逆矩阵，B为为A的逆矩阵，记为：的逆矩阵，记为：A-1 = B，B-1 = A此时此时A、B都为都为可逆矩阵可逆矩阵（或（或非奇异矩阵非奇异矩阵，或，或满秩矩阵满秩矩阵）逆矩阵的性质：逆矩阵的性质： (3) (AT )-1 = (A-1

18、)T(4) (kA)-1 = k-1 A-1 (k为常数为常数)(1) (A-1)-1 = A (2) (AB )-1 = B-1A-1 (5) 矩阵矩阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是|A|0mn2m1mn22221n11211aaaaaaaaaA矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介二、矩阵二、矩阵（三）逆矩阵（三）逆矩阵逆矩的计算逆矩的计算：设设A=(ai j)可逆，则可逆，则A* 为为A的伴随矩阵，的伴随矩阵，Aij 为元素为元素ai j的代数余子式的代数余子式特殊矩阵的逆特殊矩阵的逆： (3) 数量矩阵的逆数量矩阵的逆(4) 正交矩阵的逆正交矩阵的逆 A-1 =AT (1) 单位矩阵的逆单位矩阵的逆 E-1 = E (2) 对角矩阵的逆对角矩阵的逆*1A|A|1Annn2n12n22121n2111*AAAAAAAAAA1nn1221111nn2211a000a000aa000a000aEa1a000a000a1矩阵相关知识简介矩阵相关知识简介二、矩阵二、矩阵（四）矩阵的秩（四）矩阵的秩在在mn矩阵矩阵A中任取中任取k行与行与k列列(kmin(m,n)，位于这些行列，位于这些行列交叉处的元素构成一个交叉处的元素构成一个k阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵A的的k阶子式阶子式。存