人教版高中数学必修第二册同步讲解第10章《10.1.2事件的关系和运算》(含解析)

1、10.1.2事件的关系和运算学 习 目 标核 心 素 养1.了解随机事件的并、交与互斥的含义(重点)2能结合实例进行随机事件的并、交运算(重点、难点)1.通过对随机事件的并、交与互斥的含义的学习，培养学生数学抽象素养2通过随机事件的并、交运算，培养学生数学运算素养.事件的关系和运算(1)包含关系定义一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)含义A发生导致B发生符号表示B A(或AB)图形表示特殊情形如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即BA且AB，则称事件A与事件B相等，记作AB(2)并事件(和事件)定义一般地，事件A与事件B至少有一个发生，

2、这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)含义A与B至少一个发生符号表示AB(或AB)图形表示(3)交事件(积事件)定义一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)含义A与B同时发生符号表示AB(或AB)图形表示(4)互斥(互不相容)定义一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说AB是一个不可能事件，即AB，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示AB图形表示(5)互为对立定义一般地，如果事件A与事件B在

3、任何一次试验中有且仅有一个发生，即AB，且AB，那么称事件A与事件B互为对立事件A的对立事件记为含义A与B有且仅有一个发生符号表示AB，AB图形表示思考1：一粒骰子掷一次，记事件A出现的点数为2，事件C出现的点数为偶数，事件D出现的点数小于3，则事件A，C，D有什么关系？提示ACD.思考2：命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”什么关系？(指充分性与必要性)提示根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件1许洋说：“本周我至少做完3套练习题”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为()A至多做完3套练习题B至多做完2套练

4、习题C至多做完4套练习题D至少做完3套练习题B至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题2从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A“至少有一个黑球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D“至少有一个黑球”与“都是红球”CA中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.3抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()AABBABCAB表示向上

5、的点数是1或2或3DAB表示向上的点数是1或2或3C设A1,2，B2,3，AB1，AB1,2,3，AB表示向上的点数为1或2或3.事件关系的判断【例1】(1)从1,2,3，7这7个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是()ABCD(2)从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；“至少有1件次品”和“全是次品”；“至少有1件

6、正品”和“至少有1件次品”(1)C中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从17中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件故选C.(2)解依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；同理可以判断中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件判断事件间关系的方法(1)要考虑试

7、验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系：(1)至少有1个白球，都是白球；(2)至少有1个白球，至少有1个红球；(3)至少有1个白球，都是红球解给两个红球编号为1,2，给两个白球编号为3,4，从口袋中任取两个球，用(x，y)表示取出的两个球，则试验的样本空间为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，设A“至少有1

8、个白球”，(1)设B“都是白球”，B(3,4)，所以BA.即A和B不是互斥事件(2)设C“至少有一个红球”，则C(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，因为AC(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，所以A和C不互斥(3)设D“都是红球”，则D(1,2)，因为AD，AD，所以A和D为对立事件事件的运算探究问题1事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是如何构成的？提示事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是由在事件A中，或者在事件B中的样本点构成的2事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是如何构成的？提示事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是由既在事

9、件A中，也在事件B中的样本点构成的3“事件B包含事件A”“事件A与事件B的并事件”“事件A与事件B的交事件”分别对应集合中的哪些关系或运算？提示“事件B包含事件A”对应于集合A是集合B的子集；“事件A与事件B的并事件”对应集合A和集合B的并集，“事件A与事件B的交事件”对应集合A与集合B的交集【例2】在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A出现1点，B出现3点或4点，C出现的点数是奇数，D出现的点数是偶数(1)说明以上4个事件的关系；(2)求AB，AB，AD，BD，BC.思路探究(1)(2)解在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai出现的点数为i(其中i1

10、,2，6)则AA1，BA3A4，CA1A3A5，DA2A4A6. (1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件(2)AB， ABA1A3A4出现点数1,3或4，ADA1A2A4A6出现点数1,2,4或6BDA4出现点数4BC A1A3A4A5出现点数1,3,4或51在例2的条件下，求AC，AC，BC.解ACA，ACC出现点数1,3或5，BCA3出现点数32用事件Ai出现的点数为i(其中i1,2，6)表示下列事件：BD；CD.解BD出现点数2,3,4或6A2A3A4A6.CD

11、出现点数1,2,3,4,5,6A1A2A3A4A5A6.1互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们之间既有区别，又有联系在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能只有一个发生，但不可能两个都发生；而对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能都不发生所以两个事件互斥，它们未必对立；但两个事件对立，它们一定互斥2进行事件间关系的判断或运算，可借助于图形1判断正误(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件()(2)若事件A和B是互斥事件，则AB是不可能事件()(3)事件AB是必然事件，则事件A和B是对立事件()提示(1) 错误对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是

12、对立事件(2)正确因为事件A和B是互斥事件，所以AB为空集，所以AB是不可能事件(3) 错误反例：抛掷一枚骰子，事件A为：向上的点数小于5，事件B为：向上的点数大于2，则事件AB是必然事件，但事件A和B不是对立事件答案(1) (2) (3)2从1,2，9中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和两个数都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数在上述各对事件中，是对立事件的是()ABC DC从1,2，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有中的两个事件才是对立事件3袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：恰有1个红球和全是白球；至少有1个红球和全是白球；至少有1个红球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个红球在上述事件中，是对立事件的为 是互斥不对立的事件，是对立事件，不是互斥事件4盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件