2021年人教版高中数学选择性必修第三册4.2.2《等差数列的前n项和公式》（1）导学案 (含答案)VIP

1、4.2.2等差数列的前n项和公式（1） 导学案 1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法(难点)2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题(重点)3.掌握等差数列的前n项和的简单性质(重点、难点)重点： 等差数列的前n项和的应用难点：等差数列前n项和公式的推导方法 等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Snn(a1+an)2Snna1+n(n1)2 d功能1：已知a1，an和n，求Sn . 功能2：已知Sn，n，a1 和an中任意3个，求第4个. 一、新知探究 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 123100=？你准备怎么算呢？探究新

2、知高斯（Gauss，17771855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 问题1：为什么11002995051呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释.高斯的算法：（1+100）+（2+99）+(50+51)= 10150=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，n，前100项的和问题.等差数列中，下标和相等的两项和相等.设 ann，则 a11，a22，a33，如果数列an 是等差数列，p，q，s，tN*，且 pqst，则 apaqasat 可得：a1+a100=a2+a99=a50+a51问题2： 你能用上述方法计算12

3、3 101吗？问题3： 你能计算123 n吗？问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？问题5.上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列an的前n项和吗？倒序求和法二、典例解析例6.已知数列an是等差数列.（1）若a1=7, a50=101,求S50；（2）若a1=2, a2= 52,求S10；（3）若a1=12，d= 16, Sn= 5,求n ；等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn这五个量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)结合等差数列

4、的性质解题：等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq，常与求和公式Sn结合使用跟踪训练1已知等差数列an(1)a1，a15，Sn5，求d和n；(2)a14，S8172，求a8和d.例7.已知一个等差数列an 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。1在等差数列an中，若a3a5a7a9a11100，则3a9a13的值为()A20B30 C40 D502设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5() A5 B7 C9 D113已知数

5、列an的前n项和为Snn2，则()Aan2n1 Ban2n1Can2n1 Dan2n14在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.5已知等差数列an中，a1，d，Sn15，求n及a12.参考答案：知识梳理学习过程 一、新知探究 等差数列中，下标和相等的两项和相等.设 ann，则 a11，a22，a33，如果数列an 是等差数列，p，q，s，tN*，且 pqst，则 apaqasat 可得：a1+a100=a2+a99=a50+a51问题3： 需要对项数的奇偶进行分类讨论.当n为偶数时， Sn=1+n+2+n1+n2+n21=1+n+1+n+1+n=n21+n =n(1+n)2当n为奇数数时

6、， n1为偶数Sn=1+n+2+n1+n+121+n+12+1+n+12=1+n+1+n+1+n+n+12=n121+n+n+12 =n(1+n)2对于任意正整数n，都有123 n=n(1+n)2问题4： Sn= 1+2+3+nSn= n+n1+n2+1将上述两式相加，得2Sn= n+1+n12+n2+3+1+n= 1+n+1+n+1+n= n1+n所以Sn= 1+2+3+n=n(1+n)2倒序求和法Sn= a1+a2+a3+an2+an1+an,Sn=an+an2+an1+a3+a2+a1.2Sn=( a1+an)+a2+an1+(an+a1)因为：a1+an=a2+an1=an+a1所以：

7、2Sn =( a1+an)+ ( a1+an)+(a1+an)=n( a1+an)即：Sn=n(1+n)2二、典例解析例6 分析：对于（1），可以直接利用公式Sn=n(a1+an)2求和；在（2）中，可以先利用a1和a2的值求出d ，再利用公式Sn=na1+n(n1)2 d求和；（3）已知公式Sn=na1+n(n1)2 d中的a1，d和Sn，解方程即可求得n解：（1）因为a1=7, a50=101 ，根据公式Sn=n(a1+an)2，可得S20=50(7+101)2=2700.（2）因为a1=2, a2= 52， 所以d= 12.根据公式Sn=na1+n(n1)2 d，可得S10=102+10

8、(101)2 12 = 852（3）把a1=12，d= 16, Sn= 5代入Sn=na1+n(n1)2 d，得5=12n+n(n1)2 （16）整理，得n27n60=0解得n=12或n=5（舍）,所以n=12跟踪训练1解(1)a15(151)d，d.又Snna1d5，解得n15或n4(舍)(2)由已知，得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.例7. 分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式2后， 可得到两个关于a1与d的二元一次方程，解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a1和 d 解：由题意，知S10=310, S20=1220,把它们代入公式Sn=na1+n(

9、n1)2 d得10a1+45d=31020a1+190d=1220解方程组，得a1=4d=6所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差。(法二)数列an为等差数列，S10，S20S10，S30S20也成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，即2(1 220310)310S301 220，S302 730. (法三)设SnAn2Bn(A，B为常数)由题意，得解得Sn3n2n.S303900302 730. (法四)由Snna1d，得a1(n1)，是以a1为首项，为公差的等差数列，成等差数列，2，S303030(12231)2 730.达标检测1【答案】Ca3a11a5a92a7，a3a5a7a9a115a7100，a720.3a9a133(a72d)(a7