高中数学知识点

1、高中数学高中数学基础知识扫描基础知识扫描二、函数二、函数三、不等式三、不等式四、三角函数四、三角函数 五、数列五、数列 六、向量六、向量七、解析几何七、解析几何 八、立体几何八、立体几何九、排列、组合、二项式、概率九、排列、组合、二项式、概率十、导数十、导数一、理解集合中的有关概念一、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征：）集合中元素的特征： 确定性确定性 ， 互异性互异性 ， 无序性无序性 。 集合元素的互异性集合元素的互异性： 如：如：)lg(,xyxyxa ，|,| , 0yxb， 求， 求a； （2）集合与元素的关系用符号）集合与元素的关系用符号，表示。表示。 （3）常用数集的

2、符号表示：自然数集）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集；正整数集 、 ；整数集整数集 ；有理数集；有理数集 、实数集、实数集 。 （4）集集合合的的表表示示法法： 列列举举法法 ， 描描述述法法 ， 韦韦恩恩图图 。 注注意意：区区分分集集合合中中元元素素的的形形式式：如： 12|2xxyxa 12|2xxyyb 12| ),(2xxyyxc 12|2xxxxd, 12| ),(2zyzxxxyyxe 12| ) ,(2xxyyxf , 12|2xyzxxyzg （5）空空集集是是指指不不含含任任何何元元素素的的集集合合。 （0、和和的的区区别别；0与与三三者者间间的的关关系系） 空空集

3、集是是任任何何集集合合的的子子集集，是是任任何何非非空空集集合合的的真真子子集集。 注注意意：条条件件为为ba，在在讨讨论论的的时时候候不不要要遗遗忘忘了了a的的情情况况。 如如：012|2xaxxa，如如果果ra，求求a的的取取值值。 二二、集集合合间间的的关关系系及及其其运运算算 （1）符符号号“,”是是表表示示元元素素与与集集合合之之间间关关系系的的，立立体体几几何何中中的的体体现现 点点与与直直线线（面面）的的关关系系 ； 符符号号“,”是是表表示示集集合合与与集集合合之之间间关关系系的的，立立体体几几何何中中的的体体现现 面面与与直直线线(面面)的的关关系系 。 （2）_ba；_ba

4、；_acu （3）若若n为为偶偶数数，则则n ；若若n为为奇奇数数，则则n ； 若若n被被 3 除除余余 0，则则n ；若若n被被 3 除除余余 1，则则n ；若若n被被3除除余余2，则则n ； （4）对于任意集合ba,，则： abba_；abba_；baba_； aba ； aba ； ubacu ；bacu ； bcacuu ； )(bacu； 三、集合中元素的个数的计算：三、集合中元素的个数的计算： （1）若集合）若集合a中有中有n个元素，则集合个元素，则集合a的所有不同的子的所有不同的子集 个 数 为集 个 数 为 _ ， 所 有 真 子 集 的 个 数 是， 所 有 真 子 集 的

5、个 数 是_ ， 所 有 非 空 真 子 集 的 个 数， 所 有 非 空 真 子 集 的 个 数是是 。 （ 2 ）ba中 元 素 的 个 数 的 计 算 公 式 为中 元 素 的 个 数 的 计 算 公 式 为 ：)(bacard ； （3）韦恩图的运用：）韦恩图的运用： 四、四、xxa|满足条件满足条件p，xxb|满足条件满足条件q， 若若 ；则；则 p 是是q的充分非必要条件的充分非必要条件ba_； 若若 ；则；则 p 是是q的必要非充分条件的必要非充分条件ba_； 若若 ；则；则 p 是是q的充要条件的充要条件ba_； 若若 ；则；则 p 是是q的既非充分又非必要条件的既非充分又非必

6、要条件_ 五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 如： “如： “sinsin”是“”是“”的”的 条件。条件。 六、六、反证法：反证法： 步骤：步骤：1、假设结论反面成立；、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。 矛盾的来源：矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒、导出一个恒假命题。假命题。 适用与待证命题的结

7、论涉及“不可能” 、 “不是” 、 “至少” 、 “至多” 、 “唯一”等字眼时。适用与待证命题的结论涉及“不可能” 、 “不是” 、 “至少” 、 “至多” 、 “唯一”等字眼时。 正面词语正面词语 等于等于 大于大于 小于小于 是是 都是都是 至多有一至多有一个个 否定否定 正面词语正面词语 至少有一至少有一个个 任意的任意的 所有的所有的 至多有至多有 n个个 任意两个任意两个 否定否定 一一、映映射射与与函函数数： （1）映映射射的的概概念念： ba,是是两两个个集集合合，如如果果按按照照某某种种对对应应法法则则f，对对于于集集合合 a 中中的的 一一个个元元素素，在在集集合合b中中都

8、都有有 的的元元素素与与它它对对应应；记记作作： ； （2）一一一一映映射射：ba,是是两两个个集集合合，baf:是是集集合合a到到集集合合b的的映映射射，如如果果在在这这个个映映射射下下， 对对于于集集合合a中中的的 ； 在在集集合合b中中有有 ； 而而且且b中中 ； （3） 函函数数的的概概念念： 如如果果ba,都都是是 ， 那那么么a到到b的的映映射射baf:就就叫叫做做 a到到b 的的函函数数，记记作作 ； 如如：若若4 , 3 , 2 , 1a，,cbab ；问问：a到到b的的映映射射有有 个个，b到到a的的映映射射有有 个个；a到到b的的函函数数有有 个个，若若3 , 2 , 1a

9、，则则a到到b的的一一一一映映射射有有 个个。 函函数数)(xy的的图图象象与与直直线线ax 交交点点的的个个数数为为 个个。 二二、函函数数的的三三要要素素： ， ， 。 相相同同函函数数的的判判断断方方法法： ； (两两点点必必须须同同时时具具备备) （1）函函数数解解析析式式的的求求法法： 定定义义法法（拼拼凑凑） ：如如：已已知知221)1(xxxxf，求求：)(xf； 换换元元法法：如如：已已知知34) 13 (xxf，求求)(xf； 待待定定系系数数法法：如如：已已知知xxfff21)(，求求一一次次函函数数)(xf； 赋赋值值法法：如如：已已知知) 0( 1)1()(2xxxfx

10、f，求求)(xf； （2）函函数数定定义义域域的的求求法法： )()(xgxfy ，则则 ； )( )(*2nnxfyn则则 ； 0)(xfy ，则则 ； 如如：)(log)(xgyxf，则则 ；含含参参问问题题的的定定义义域域要要分分类类讨讨论论； 如如： 已已知知函函数数)(xfy 的的定定义义域域是是 1 , 0， 求求)()()(axfaxfx的的定定义义域域。 对对于于实实际际问问题题，在在求求出出函函数数解解析析式式后后；必必须须求求出出其其定定义义域域，此此时时的的定定义义域域要要根根据据实实际际意意义义来来确确定定。如如：已已知知扇扇形形的的周周长长为为20，半半径径为为r，扇

11、扇形形面面积积为为s，则则)(rfs ；定定义义域域为为 。 （3）函数值域的求法：）函数值域的求法： 配方法配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：为型如：),(,)(2nmxcbxaxxf的形式；的形式； 判别式法判别式法：转化一个关于：转化一个关于x的一元二次方程（其中的一元二次方程（其中y为参数） ，利用存在为参数） ，利用存在x使使得方程成立，找方程有解的充要条件；适用题型：得方程成立，找方程有解的充要条件；适用题型：bafexdxcbxaxy,(22不不全为全为) 0；有两种情况：；有两种情况：x无具体范围：

12、直接套用无具体范围：直接套用0； 注意：注意：若得到的一元二次方程，二次项系数是含有若得到的一元二次方程，二次项系数是含有y的多项式，此时要分类讨的多项式，此时要分类讨论。论。 换元法换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；适用：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；适用题型题型cbxaxy； 基本不等式法基本不等式法：转化成型如：转化成型如：) 0( kxkxy，利用平均值不等，利用平均值不等式公式来求值域；式公式来求值域； 单调性法单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 数形结合数形结合：根据函数的几何图形，利用数

13、型结合的方法来求值域。：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域： )1 , 1, 0, 0(xbababxabxay（2 种方法） ； )0 ,(,32xxxxy（2 种方法） ； )0 ,(,132xxxxy（2 种方法） ； )0 ,(,1322xxxxxy； )0 ,(,322xxxxy（2 种方法） ； xxy432；2432xxy；xxy442； 三三、函函数数的的性性质质： （1）函函数数的的单单调调性性：对对于于给给定定区区间间上上的的函函数数)(xf，如如果果对对于于 定定义义域域内内任任意意的的21,xx；若若 ，都都有有 ，则则称称)(xf为为增

14、增函函数数； 都都有有 ，则则称称)(xf为为减减函函数数； 注注意意： （1）函函数数单单调调性性的的定定义义是是证证明明函函数数单单调调性性的的基基本本方方法法。若若函函数数是是一一个个关关于于x的的多多项项式式， 还还可可以以通通过过求求导导证证明明： 当当 时时为为增增函函数数，当当 时时为为减减函函数数。 （2）单单调调性性一一般般用用区区间间表表示示，不不能能用用集集合合表表示示。 三三、函函数数的的性性质质： （2）函函数数的的奇奇偶偶性性：对对于于函函数数)(xf， 如如果果定定义义域域内内任任意意的的1x， 都都有有 ， 则则称称)(xf为为奇奇函函数数； 都都有有 ， 则则

15、称称)(xf为为偶偶函函数数； 奇奇函函数数的的图图象象关关于于 ，偶偶函函数数的的图图象象关关于于 ； 注注意意：（1） 研研究究函函数数的的奇奇偶偶性性， 首首先先要要研研究究函函数数的的定定义义域域 ； （2） 若若函函数数)(xfy ，dx是是奇奇函函数数， 且且d0， 则则 ； 如：判断xxxy11) 1(的奇偶性。 关关于于函函数数的的单单调调性性和和奇奇偶偶性性的的的的结结论论： 1、若若奇奇函函数数)(xf在在区区间间,ba上上单单调调递递增增（减减） ，则则)(xf在在区区间间,ab 上上是是单单调调递递 ； 2、若若偶偶函函数数)(xf在在区区间间,ba上上单单调调递递增增

16、（减减） ，则则)(xf在在区区间间,ab 上上是是单单调调递递 ； 关于函数的单调性和奇偶性的的结论：关于函数的单调性和奇偶性的的结论： 3、既是奇函数又是偶函数的函数的解析式为、既是奇函数又是偶函数的函数的解析式为 ；这；这样的函数有样的函数有 个。个。 4、 任意定义在、 任意定义在r 上的函数上的函数)(xf都可唯一地表示成一个奇函数都可唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和：与一个偶函数的和：)()()(xhxgxf； 其中； 其中)(xg 是是偶函数，偶函数，)(xh 是奇函数；是奇函数； （3）函数对称性的结论：）函数对称性的结论： 设函数设函数)(xfy 的定义域为的定义域为r

17、，且满足条件：，且满足条件：)()(xbfxaf，则，则 函数函数)(xfy 的图象关于直线的图象关于直线 对称；对称； 如：由如：由)1 ()1 (xfxf成立，则成立，则)(xf关于关于 对称；对称； 注意：注意：)(xafy与与)(xbfy关于关于 对称；对称； （4）函数的周期性：对于函数）函数的周期性：对于函数)(xf，如果存在不为零的常数，如果存在不为零的常数 t，对于定义域，对于定义域内的每一个值， 都有内的每一个值， 都有 则函数则函数)(xfy 为周期函数，为周期函数， 叫周期；叫周期； 关于函数周期性的结论：关于函数周期性的结论： 若函数若函数)(xfy 既关于直线既关于直

18、线ax 对称，又关于对称，又关于)(babx对称，则对称，则)(xfy 一定是周期函数，且一定是周期函数，且t 是它的一个周期；是它的一个周期； 四四、图图形形变变换换： （1）平平移移变变换换： 形形如如：)(axfy：把把函函数数)(xfy的的图图象象沿沿 方方向向向向 或或 平平移移 个个单单位位，就就得得到到)(axfy的的图图象象。 形形如如：axfy)(：把把函函数数)(xfy的的图图象象沿沿 方方向向向向 或或 平平移移 个个单单位位，就就得得到到axfy)(的的图图象象。 （2）对称翻转变换：）对称翻转变换： 形如：形如：)( xfy：其函数图象与函数：其函数图象与函数)(xf

19、y 的图象关于的图象关于 对称。对称。 形如：形如：)(xfy：其函数图象与函数：其函数图象与函数)(xfy 的图象关于的图象关于 对称。对称。 形如：形如：)(1xfy： 其函数图象与函数： 其函数图象与函数)(xfy 的图象关于的图象关于 对称。对称。 形如：形如：)( xfy： 其函数图象与函数： 其函数图象与函数)(xfy 的图象关于的图象关于 对称。对称。 形如形如|)(| xfy ：这是偶函数。其图象是关于：这是偶函数。其图象是关于 y 轴对称的，所以只要轴对称的，所以只要先先 ； 再再 ； 就得到了； 就得到了|)(| xfy 的图象。的图象。 形如：形如：| )(|xfy ：将

20、函数：将函数)(xfy 的图象的图象 ；就得到函数；就得到函数| )(|xfy 的图象。的图象。 （ 3） 伸伸缩缩变变换换： 形形 如如：)0)(xfy：将将函函数数)(xfy 的的 图图象象横横坐坐 标标（纵纵 坐坐标标不不变变） 缩缩小小（1）或或伸伸 长长（10）到到原原 来来的的1倍倍得得到到 。 形形如如：)0)(axafy： 将将函函 数数)(xfy 的的图图象象 纵纵坐坐标标 （横横坐坐 标标不不变变） 伸伸长长（1a） 或或 压压缩缩（10 a）到到 原原来来的的 a 倍倍得得到到 。 如：)(xfy 的图象如图，作出下列函数图象：（1）)(xfy；（2）)(xfy； （3）

21、|)(| xfy ； （4）|)(|xfy ； （5）)2( xfy ； （6）)1(xfy； （7）1)(xfy；（8）)(xfy； （9）)(1xfy。 x o y y=f(x) (2,0) (0,-1) 五五、反反函函数数： （1）定定义义：设设)(xfy 表表示示 y是是自自变变量量x的的函函数数，它它的的定定义义域域为为a，值值域域为为c，由由式式子子)(xfy 解解出出x，得得到到式式子子)(yx，如如果果对对于于y在在c中中的的任任何何一一个个值值， 通通过过式式子子)(yx，x在在a中中都都有有唯唯一一确确定定的的值值和和它它对对应应，那那么么式式子子)(yx就就表表示示x是是

22、自自变变量量 y 的的函函数数，这这样样的的函函数数)(yx，叫叫做做)(xfy 的的反反函函数数，记记为为)(1yfx，即即)()(1yfyx，习习惯惯上上仍仍用用x表表示示自自变变量量，y表表示示函函数数，把把它它改改写写成成)(1xfy。 （2）函函数数存存在在反反函函数数的的条条件件： ； （3）互互为为反反函函数数的的定定义义域域与与值值域域的的关关系系： ； （4） 求反函数的步骤求反函数的步骤： 将将)(xfy 看成关于看成关于 x的方程， 解出的方程， 解出)(1yfx，若有两解， 要注意解的选择； 将若有两解， 要注意解的选择； 将yx,互换， 得互换， 得)(1xfy；写出

23、反函数的定义域（即写出反函数的定义域（即)(xfy 的值域） 。的值域） 。 （5）互为反函数的图象间的关系：）互为反函数的图象间的关系： ； （6）原函数与反函数具有相同的单调性；）原函数与反函数具有相同的单调性； （7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。定不存在反函数。 如：求下列函数的反函数：)0(32)(2xxxxf；122)(xxxf； )0(21log)(2xxxxf 六六、复复合合函函数数： （1）定定义义：如如果果y是是u的的函函数数，记记为为)(ufy，u又又是是x的的函函数数

24、，记记为为)(xgu，且且)(xg 的的值值域域与与)(uf的的定定义义域域的的交交集集不不空空，则则确确定定了了一一个个y关关于于x的的函函数数)(xgfy，这这时时y做做x的的复复合合函函数数， 其其中中u叫叫做做中中间间变变量量，)(ufy叫叫做做外外层层函函数数，)(xgu叫叫做做内内层层函函数数。 （2）复复合合函函数数单单调调性性： ； 七七、常常用用的的初初等等函函数数： （1）一一元元一一次次函函数数：)0( abaxy 当当0a时时，是是增增函函数数；当当0a时时，是是减减函函数数； （2）一一元元二二次次函函数数： 一一般般式式：)0(2acbxaxy；对对称称轴轴方方程程

25、是是 ；顶顶点点为为 ； 两两点点式式：)(21xxxxay；对对称称轴轴方方程程是是 ；与与x轴轴的的交交点点为为 ； 顶顶点点式式：hkxay2)(；对对称称轴轴方方程程是是 ；顶顶点点为为 ； 一一元元二二次次函函数数的的单单调调性性： 当当0a时时： 为为增增函函数数； 为为减减函函数数； 当当0a时时： 为为增增函函数数； 为为减减函函数数； 二二次次函函数数求求最最值值问问题题：首首先先要要采采用用配配方方法法，化化为为hkxay2)(的的形形式式， 、若若顶顶点点的的横横坐坐标标在在给给定定的的区区间间上上，则则 0a时时：在在顶顶点点处处取取得得最最小小值值，最最大大值值在在距

26、距离离对对称称轴轴较较远远的的端端点点处处取取得得； 0a时时：在在顶顶点点处处取取得得最最大大值值，最最小小值值在在距距离离对对称称轴轴较较远远的的端端点点处处取取得得； 、若若顶顶点点的的横横坐坐标标不不在在给给定定的的区区间间上上，则则 0a时时：最最小小值值在在距距离离对对称称轴轴较较近近的的端端点点处处取取得得，最最大大值值在在距距离离对对称称轴轴较较远远的的端端点点处处取取得得； 0a时时：最最大大值值在在距距离离对对称称轴轴较较近近的的端端点点处处取取得得，最最小小值值在在距距离离对对称称轴轴较较远远的的端端点点处处取取得得； 二二次次函函数数求求最最值值问问题题：首首先先要要采

27、采用用配配方方法法，化化为为hkxay2)(的的形形式式， 有有三三个个类类型型题题型型： (1)顶顶点点固固定定，区区间间也也固固定定。如如： 1 , 1, 12xxxy (2)顶顶点点含含参参数数(即即顶顶点点变变动动)，区区间间固固定定，这这时时要要讨讨论论顶顶点点横横坐坐标标何何 时时 在在 区区 间间 之之 内内 ， 何何 时时 在在 区区 间间 之之 外外 。 如如 ： 1 , 1, 12xaxxy (3)顶顶点点固固定定，区区间间变变动动，这这时时要要讨讨论论区区间间中中的的参参数数 1, 12aaxxxy （3）反比例函数）反比例函数：)0( xxaybxcay )0( xxa

28、y )(bxbxacy 图 形 定义域 值 域 0a 单调性 0a 对称中心 渐近线 （4）指指数数函函数数：) 1, 0(aaayx 指指数数运运算算法法则则： ； ； 。 10 a 1a 图 象 定义域 值 域 0 x 函数值 0 x 单调性 （5）对对数数函函数数：) 1, 0(logaaxya 指数运算法则： ； ； ； （1）mabnlog ； （2）换换底底公公式式： ； （3）对对数数恒恒等等式式： ； 10 a 1a 图 象 10 a 1a 定义域 值 域 0 x 函数值 0 x 单调性 注注意意： （1）xay 与与xyalog的的图图象象关关系系是是 ； （2）比比较较两两

29、个个指指数数或或对对数数的的大大小小的的基基本本方方法法是是构构造造相相应应的的指指数数或或对对数数函函数数， 若若底底数数不不相相同同时时转转化化为为同同底底数数的的指指数数或或对对数数，还还要要注注意意与与 1 比比较较或或与与 0 比比较较。 （3）已已知知函函数数)2(log)(221kxxxf的的定定义义域域为为 r ，求求k 的的取取值值范范围围。 已已知知函函数数)2(log)(221kxxxf的的值值域域为为 r ，求求k 的的取取值值范范围围。 六、六、)0(kxkxy 图象：图象： 定义域：定义域： ； 值域：值域： ； 奇偶性：奇偶性： ； 单调性：单调性： 是增函数；是

30、增函数； 是减函数。是减函数。 七七、补补充充内内容容： （1）抽抽象象函函数数的的性性质质所所对对应应的的一一些些具具体体特特殊殊函函数数模模型型： )()()(2121xfxfxxf正正比比例例函函数数) 0()(kkxxf )()()(2121xfxfxxf；)()()(2121xfxfxxf ； )()()(2121xfxfxxf；)()()(2121xfxfxxf ； )2()2(2)()(212121xxfxxfxfxf ； （2）不不等等式式恒恒成成立立的的条条件件： (1)已已知知,)(rbabaxxf且且rmma21, 0；则则 (a)0)(xf在在),(21mmx时时恒恒成

31、成立立 ； (b)0)(xf在在),(21mmx时时恒恒成成立立 ；可可借借助助一一次次函函数数得得到到。 (2)已已知知rcbacbxaxxf,)(2 (a)0)(xf在在rx时时恒恒成成立立 或或 ； (b)0)(xf在在rx时时恒恒成成立立 或或 ； （可可借借助助一一次次函函数数） (c)0)(xf在在rx时时恒恒成成立立 或或 ；或或二二次次函函数数得得到到） 。 (3)axf)(恒恒成成立立 axfmin)(；axf)(恒恒成成立立axfmax)( 一、不等式的基本性质为：一、不等式的基本性质为： ； ； ； ； ； ； ； ； 注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此注

32、意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。法尤其适用于不成立的命题。 二、均值不等式二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若若0,ba，则，则abba2（当且仅当（当且仅当ba 时取等号）时取等号） 基本变形：基本变形：ba ；2)2(ba ； 2_222babaab 若若rba,，则，则abba222，222)2(2baba _)2(_2ba 基本应用：放缩，变形；求函数最值：基本应用：放缩，变形；求函数最值： 注意：一正二定三取等；积定和小，和定积大。注意：一正二定三取等；积定和小，和定积大。

33、 当当pab （常数） ，当且仅当（常数） ，当且仅当 时，时， ； 当当sba（常数） ，当且仅当（常数） ，当且仅当 时，时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方；常用的方法为：拆、凑、平方； 如：函数如：函数)21(4294xxxy的最小值的最小值 。 若正数若正数yx,满足满足12yx，则，则yx11的最小值的最小值 。 四四、常常用用的的基基本本不不等等式式： （1）设设rba ,，则则0)( , 022baa（当当且且仅仅当当 时时取取等等号号） （2）aa |（当当且且仅仅当当 时时取取等等号号） ；aa |（当当且且仅仅当当 时时取取等等号号） （3）若若0, 0 ba，则则223

34、3abbaba （4）若若rcba,，则则cabcabcba222 四四、常常用用的的基基本本不不等等式式： （5）若若rcba,，则则)( 3)()( 32222cbacbacabcab （6）柯柯西西不不等等式式：设设rbbaa2121,，则则)()(2221222122211bbaababa 注注意意：可可从从向向量量的的角角度度理理解解：设设),(),(2121bbbaaa，则则222)(baba （7）baabba110,；ba11 ； （8）rmba, 0,，若若1ab，则则mambab；若若1ab，则则mambab； 五五、证证明明不不等等式式常常用用方方法法： （1）比比较较法

35、法：作作差差比比较较：baba0 作作商商比比较较：babba)0( 1 作作差差比比较较的的步步骤骤： 作作差差：对对要要比比较较大大小小的的两两个个数数（或或式式）作作差差。 变变形形：对对差差进进行行因因式式分分解解或或配配方方成成几几个个数数（或或式式）的的完完全全平平方方和和。 判判断断差差的的符符号号：结结合合变变形形的的结结果果及及题题设设条条件件判判断断差差的的符符号号。 注注意意： 若若两两个个正正数数作作差差比比较较有有困困难难，可可以以通通过过它它们们的的平平方方差差来来比比较较大大小小。 （2）综综合合法法：由由因因导导果果。 （3）分分析析法法：执执果果索索因因。基基

36、本本步步骤骤：要要证证只只需需证证，只只需需证证 （4）反反证证法法：正正难难则则反反。 （5）放放缩缩法法：将将不不等等式式一一侧侧适适当当的的放放大大或或缩缩小小以以达达证证题题目目的的。 六六、不不等等式式的的解解法法： （1）如如果果两两个个不不等等式式的的解解集集相相等等，那那么么这这两两个个等等式式就就叫叫做做同同解解不不等等式式，解解不不等等式式主主要要是是依依据据不不等等式式的的性性质质和和同同解解变变形形原原理理，求求解解原原不不等等式式的的同同解解不不等等式式。 （2）不不等等式式的的同同解解原原理理主主要要有有： 1、不不等等式式两两边边都都加加上上(或或减减去去)同同一

37、一个个数数或或同同一一个个整整式式，所所得得不不等等式式与与原原不不等等式式同同解解。 2、不不等等式式两两边边都都乘乘上上(或或除除以以)同同一一个个正正数数或或同同一一个个大大于于零零的的整整式式，所所得得不不等等式式与与原原不不等等式式同同解解。 3、不不等等式式两两边边都都乘乘以以(或或除除以以)同同一一个个负负数数或或同同一一个个小小于于零零的的整整式式，并并把把不不等等号号改改变变方方向向后后，所所得得不不等等式式与与原原不不等等式式同同解解。 （3）一一元元一一次次不不等等式式： 、)0( abax： 若若0a， 则则 ； 若若0a， 则则 ； 、)0( abax： 若若0a，

38、则则 ； 若若0a， 则则 ； （4）一元二次不等式：）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；同解变形为二次项系数大于零； 注：要对注：要对进行讨论：进行讨论： 、)0(02acbxax： ； ； ； 、)0(02acbxax： ； ； ； （5）绝绝对对值值不不等等式式： 若若0a，则则 ax | ； ax | ； )(| )(|xgxf ；)(|)(|xgxf ； |)(|)(|xgxf ； 含含有有多多个个绝绝对对值值符符号号的的不不等等式式可可用用“按按零零点点分分区区间间讨讨论论”的的方方法法来来解解。 注注

39、意意：、几几何何意意义义：| x ；|mx ： ； 、解解有有关关绝绝对对值值的的问问题题，考考虑虑去去绝绝对对值值， 去去绝绝对对值值的的方方法法有有： 对对绝绝对对值值内内的的部部分分按按大大于于、等等于于、小小于于零零进进行行讨讨论论去去绝绝对对值值；若若0a 则则 | a ；若若0a则则 | a ； 若若0a则则 | a ； 通通过过两两边边平平方方去去绝绝对对值值；需需要要注注意意的的是是不不等等号号两两边边为为非非负负值值。 （6）高高次次不不等等式式：化化成成标标准准型型 )0(0)()()()(321nxxxxxxxxxp， 利利用用表表解解法法和和序序轴轴表表根根法法写写出出

40、解解集集。 序序轴轴表表根根法法求求解解的的步步骤骤： 将将每每个个因因式式的的根根标标在在数数轴轴上上； 从从右右上上方方依依次次通通过过每每个个点点画画出出曲曲线线， 注注意意： ； 根根据据曲曲线线显显示示的的)(xp值值的的符符号号变变化化写写出出不不等等式式的的解解集集。 注注意意：每每个个因因式式中中x前前的的系系数数都都为为正正值值。 （7）分分式式不不等等式式的的解解法法：通通解解变变形形为为整整式式不不等等式式； 0)()(xgxf ； 0)()(xgxf ； 0)()(xgxf ； 0)()(xgxf ； （8）无无理理不不等等式式的的解解法法：通通解解变变形形为为有有理理

41、不不等等式式； )()(xgxf ； )()(xgxf ； )()(xgxf ； 注注意意：保保证证根根式式有有意意义义；取取根根号号的的方方法法是是平平方方、换换元元，通通过过两两边边平平方方去去根根号号，不不等等式式两两边边要要为为非非负负值值。 （9）指指数数不不等等式式： ) 10, 0()(aabbaxf且 ； ) 10()()(aaaaxgxf且 ； )0(0)()(2cabaaxfxf利利用用换换元元法法，令令)(xfat 将将不不等等式式化化为为一一元元二二次次不不等等式式来来解解。 注注意意：对对底底数数的的讨讨论论。 （10）对数不等式：）对数不等式： bxfa)(log

42、； )(log)(logxgxfaa 注意：对底数的讨论；真数大于零；注意：对底数的讨论；真数大于零； 解指数、 对数不等式的一般步骤： 统一底数解指数、 对数不等式的一般步骤： 统一底数同同解变形解变形分类讨论（底数） ；分类讨论（底数） ； （11）不不等等式式组组的的解解法法：分分别别求求出出不不等等式式组组中中，每每个个不不等等式式的的解解集集，然然后后求求其其交交集集，即即是是这这个个不不等等式式组组的的解解集集，在在求求交交集集中中，通通常常把把每每个个不不等等式式的的解解集集画画在在同同一一条条数数轴轴上上，取取它它们们的的公公共共部部分分。 （12）解解含含有有参参数数的的不不

43、等等式式： 一一般般是是对对含含参参数数的的不不等等式式进进行行恰恰当当的的分分类类和和讨讨论论： 对对二二次次项项系系数数含含有有参参数数的的一一元元二二次次不不等等式式， 要要注注意意二二次次项项系系数数为为零零转转化化为为一一元元一一次次不不等等式式的的问问题题。 对对含含参参数数的的一一元元二二次次不不等等式式，还还要要分分0、0、0讨讨论论。 对对一一元元二二次次不不等等式式和和分分式式不不等等式式转转化化为为整整式式不不等等式式后后有有根根，且且根根为为21,xx（或或更更多多）但但含含参参数数，要要分分21xx 、21xx 、21xx 讨讨论论。 对对指指数数、对对数数不不等等式

44、式要要注注意意对对底底数数分分1a、10 a进进行行讨讨论论。 如如： （1）) 1( 12) 1(axxa； （2）022xaxa 一一、角角的的概概念念和和弧弧度度制制： （1）在在直直角角坐坐标标系系内内讨讨论论角角： 角角的的顶顶点点在在原原点点，始始边边在在x轴轴的的正正半半轴轴上上，角角的的终终边边在在第第几几象象限限，就就说说过过角角是是第第几几象象限限的的角角。若若角角的的终终边边在在坐坐标标轴轴上上，就就说说这这个个角角不不属属于于任任何何象象限限，它它叫叫象象限限界界角角。 （2）与）与角终边相同的角的集合：角终边相同的角的集合：,360|zkk 与与角终边在同一条直线上的

45、角的集合：角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与与角终边关于角终边关于x轴对称的角的集合：轴对称的角的集合： ； 与与角终边关于角终边关于 y 轴对称的角的集合：轴对称的角的集合： ； 与与角终边关于角终边关于xy 轴对称的角的集合：轴对称的角的集合： ； 一些特殊角集合的表示：一些特殊角集合的表示： 终边在坐标轴上角的集合：终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、 三象限的平分线上角的集合：终边在一、 三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合：终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合：终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）

46、区间角的表示：）区间角的表示： 象限角：第一象限角：象限角：第一象限角： ；第三象限角：；第三象限角： ； 第一、三象限角：第一、三象限角： ； 写出图中所表示的区间角：写出图中所表示的区间角： x y o x y o （4）正确理解角：）正确理解角： 要正确理解“要正确理解“oo900间的角”间的角”= ； “第一象限的角”“第一象限的角”= ； “锐角”； “锐角”= ； “小于“小于o90的角”的角”= ； （5）由）由的终边所在的象限，通过的终边所在的象限，通过 来判断来判断2所在的象限。所在的象限。 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度）弧度制：正角的弧度

47、数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角数为零；任一已知角的弧度数的绝对值的弧度数的绝对值rl |，其中，其中l为以角为以角作作为圆心角时所对圆弧的长，为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。为圆的半径。 （7）弧长公式：）弧长公式： ；半径公式：；半径公式： ； 扇形面积公式：扇形面积公式： ； 二二、任任意意角角的的三三角角函函数数： （1）任任意意角角的的三三角角函函数数定定义义： 以以角角的的顶顶点点为为坐坐标标原原点点， 始始边边为为x轴轴正正半半轴轴建建立立直直角角坐坐标标系系， 在在角角的的终终边边上上任任取取一一个个异异于于原原点点的的点点),(yxp， 点点p

48、到到原原点点的的距距离离记记为为r，则则sin ；cos ；tan ；cot ；sec ；csc ； 如如 ： 角角的的 终终 边边 上上 一一 点点)3,(aa ， 则则sin2cos 。 （2）在在图图中中画画出出角角的的正正弦弦线线、余余弦弦线线、正正切切线线； 比比较较)2, 0(x，xsin，xtan，x的的大大小小关关系系： 。 x y o a x y o a x y o a y o a （3）特殊角的三角函数值：）特殊角的三角函数值： 0 6 4 3 2 23 sin cos tan cot 三、同角三角函数的关系与诱导公式：三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数

49、的关系）同角三角函数的关系 平方关系是平方关系是 ， ， ； 倒数关系是倒数关系是 ， ， ； 商式关系是商式关系是 ， 。 作用： 已知某角的一个三角函数值， 求它的其余各三角函数值。作用： 已知某角的一个三角函数值， 求它的其余各三角函数值。 （2）诱诱导导公公式式： k2： ， ， ； ： ， ， ； ： ， ， ； ： ， ， ； 2： ， ， ； 2： ， ， ； 2： ， ， ； 23： ， ， ； 23： ， ， ； 诱诱导导公公式式可可用用概概括括为为： ， 。 作作用用：求求任任意意角角的的三三角角函函数数值值。 （3）同同角角三三角角函函数数的的关关系系与与诱诱导导公公式式

50、的的运运用用： 已已知知某某角角的的一一个个三三角角函函数数值值，求求它它的的其其余余各各三三角角函函数数值值。 注注意意：用用平平方方关关系系，有有两两个个结结果果，一一般般可可通通过过已已知知角角所所在在的的象象限限加加以以取取舍舍，或或分分象象限限加加以以讨讨论论。 求求任任意意角角的的三三角角函函数数值值。 步步骤骤： 任意负角的 三角函数 任意正教的 三角函数 0o360o角的 三角函数 求值 公式三、 一 公式一 0o90o角的 三角函数 公式二、 四、五、 六、七、 八、九 已已知知三三角角函函数数值值求求角角：注注意意：所所得得的的解解不不是是唯唯一一的的，而而是是有有无无数数

51、多多个个 步步骤骤： 确确定定角角所所在在的的象象限限； 如如函函数数值值为为正正， 先先求求出出对对应应的的锐锐角角1； 如如函函数数值值为为负负，先先求求出出与与其其绝绝对对值值对对应应的的锐锐角角1； 根根据据角角所所在在的的象象限限，得得出出20间间的的角角如如果果适适合合已已知知条条件件的的角角在在第第二二限限；则则它它是是1；如如果果在在第第三三或或第第四四象象限限，则则它它是是1或或12； 已已知知三三角角函函数数值值求求角角： 注注意意：所所得得的的解解不不是是唯唯一一的的，而而是是有有无无数数多多个个 步步骤骤： 如如果果要要求求适适合合条条件件的的所所有有角角，再再利利用用

52、终终边边相相同同的的角角的的表表达达式式写写出出适适合合条条件件的的所所有有角角的的集集合合。 如如mtan， 则则sin ，cos ；)23sin( ；)215cot(_。 注注意意：巧巧用用勾勾股股数数求求三三角角函函数数值值可可提提高高解解题题速速度度： （3，4，5） ；（6，8，10） ； （5，12，13） ； （8，15，17） ； （2）函函数数名名称称变变换换：三三角角变变形形中中，常常常常需需要要变变函函数数名名称称为为同同名名函函数数。如如在在三三角角函函数数中中正正余余弦弦是是基基础础，通通常常化化切切、割割为为弦弦，变变异异名名为为同同名名。 （3）常常数数代代换换：

53、在在三三角角函函数数运运算算，求求值值，证证明明中中，有有时时需需要要将将常常数数转转化化为为三三角角函函数数值值，例例如如常常数数“1”的的代代换换变变形形有有： oo45tan90sincottantanseccossin12222 （4）幂幂的的变变换换：降降幂幂是是三三角角变变换换时时常常用用方方法法，对对次次数数较较高高的的三三角角函函数数式式，一一 般般 采采 用用 降降 幂幂 处处 理理 的的 方方 法法 。 常常 用用 降降 幂幂 公公 式式有有： ； 。降降幂幂并并非非绝绝对对，有有时时需需要要升升幂幂，如如对对无无理理式式cos1常常用用升升幂幂化化为为有有理理式式，常常用

54、用升升幂幂公公式式有有： ； ； （6）三角函数式的化简运算通常从： “角、名、形、幂”四方面入手）三角函数式的化简运算通常从： “角、名、形、幂”四方面入手； 基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，特殊值与特殊角的三角函化低次，特殊值与特殊角的三角函 六六、三三角角函函数数的的图图象象和和性性质质： （1）正正弦弦函函数数xysin、余余弦弦函函数数xycos及及正正切切函函数数xytan的的性性质质： xysin xycos xytan 图图 象象 作作法法： ； 定定义义域域 值值域域 最最大大

55、值值 最最值值（指指出出此此时时 x的的值值） 最最小小值值 周周期期 奇奇偶偶性性 对对称称轴轴 对对称称性性 中中心心 增增区区间间 单单调调性性 减减区区间间 （2）)0)(sin(axay与与)0)(cos(axay )0)(sin(axay可由可由xysin怎样变化得到：怎样变化得到： （a）先平移后伸缩：）先平移后伸缩： （b）先伸缩后平移：）先伸缩后平移： 注意：对于由三角函数图象求注意：对于由三角函数图象求)sin()(xaxf的解析式的问题：即确定的解析式的问题：即确定,； ：可由：可由2t得得到，在图象中，相邻的最大值和最小值间的距离为周期的到，在图象中，相邻的最大值和最小

56、值间的距离为周期的21；相；相邻的最大值或最小值与零点间的距离为周期的邻的最大值或最小值与零点间的距离为周期的41。 ：可运用：可运用ox得到，其中得到，其中ox 为最大值左侧和原点最近的第一个零点的横坐标。为最大值左侧和原点最近的第一个零点的横坐标。 xysin )sin(xy )sin(xy )sin(xay （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） xysin xysin )sin(xy )sin(xay （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） )0)(sin(axay与与)0)(cos(axay的的 性性 质质 ： )0)(sin(axay )0)(cos(axay 定定

57、 义义 域域 值值 域域 最最 大大 值值 最最 值值（ 指指 出出此此 时时x的的 值值 ） 最最 小小 值值 周周 期期 奇奇 偶偶 性性 对对 称称 轴轴 对对 称称 性性 中中 心心 增增 区区 间间 单单 调调 性性 减减 区区 间间 如如 ： 函函 数数)32cos(2xy的的 单单 调调 增增 区区 间间 为为 ； 函函 数数)23cos(2xy的的 单单 调调 增增 区区 间间 为为 ； 函函 数数)63sin(logxya的的 单单 调调 减减 区区 间间 为为 ； 函函数数bxay)sin(），（其中00a的的最最大大值值是是 ，最最小小值值是是 ，周周期期是是 ， 频频率

58、率是是 ， 相相位位是是 ，初初相相是是 ；其其图图象象的的对对称称轴轴是是直直线线 ，点点 是是该该图图象象的的对对称称中中心心。 九九、解解斜斜三三角角形形： （1）正正弦弦定定理理： = = = r2 （r为为 ） （2）余余弦弦定定理理： ； ； ； （3）求求角角公公式式：acos ；bcos ；ccos ；注注意意：正正余余弦弦定定理理适适用用的的题题型型： （一一）余余弦弦定定理理适适用用的的题题型型： 已已知知三三边边，求求三三个个角角； 已已知知两两边边和和它它们们的的夹夹角角，求求第第三三边边和和其其他他两两个个角角； （二二）正正弦弦定定理理适适用用的的题题型型： 已已知

59、知两两角角和和任任一一边边，求求其其他他两两边边和和一一角角； 已已知知两两边边和和一一边边的的对对角角，求求第第三三边边和和其其他他两两个个角角； （解解常常不不唯唯一一） （4）三三角角形形解解的的个个数数： 已已知知两两边边和和其其一一边边的的对对角角解解三三角角形形，有有两两解解、一一解解、无无解解三三种种情情况况： （一一）a为为锐锐角角： abasin无无解解 abasin一一解解 baabsin两两解解 ba 一一解解 a b c a b c a b c a b c a a a a b a b1 b2 b （二）（二） a为直角或钝角：为直角或钝角： ba 无解；无解； ba 一

60、解；一解； 亦可以用下面的方法来解题：亦可以用下面的方法来解题： 先计算先计算aabbsinsin 若若ba 且且) 1 , 0(sinaab，有唯一解，且，有唯一解，且ob90 若若ba 由由oobbbaab18019011sin21有两解，且有一解无解 a b c a b （5）面积公式）面积公式：高底21abcs = = prrabccpbpapp4)()( 其中其中)(21cbap，r、r分别为分别为abc的外接圆和内切圆的半径。的外接圆和内切圆的半径。 （6）三角形中常用的结论：）三角形中常用的结论： 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。任意两边之和大于第三边，任意两边之