第三章布尔代数及逻辑函数化简1

1、第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 (2) 常用的复合逻辑运算常用的复合逻辑运算内内容容回回顾顾(1)(1)基本逻辑运算基本逻辑运算第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 第三章布尔代数与逻辑函数化简第三章布尔代数与逻辑函数化简第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 (2) 逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简本本章章重重点点(1)(1)基本公式和规则基本公式和规则(3) 卡诺图化简卡诺图化简第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 3.1基本公式和规则基本公式和规则1849年乔治年乔治布尔建立体系布

2、尔建立体系1938年香农将其用于开关电路设计年香农将其用于开关电路设计1960S在数字电路中得到广泛应用在数字电路中得到广泛应用第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 一、基本公式一、基本公式公理公理0 0 = 00 1 =1 0 =0 1 1 = 10 + 0 = 00 + 1 =1 + 0 =1 1 + 1 = 1第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 一、基本公式一、基本公式A 0=0 A+ 1=10-1律律自等律自等律A 1=A A+ 0=A等幂律等幂律A A=A A+ A=A互补律互补律A A=0 A+A=1交换律交换律A B = B A

3、A + B = B + A 结合律结合律A （B C )=(A B) C A+ (B +C) =(A+B)+C分配律分配律A （B +C )=AB+AC A+ B C =(A+B) (A+C)吸收律吸收律1()()ABABAABABA吸收律吸收律2()A ABAAABA第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 一、基本公式一、基本公式吸收律吸收律3多余项定律多余项定律求反律求反律()A ABABAABAB否否律否否律()()()()()ABACBCABACABACBCABACABABABA B()AA第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 证明方法证明

4、方法利用真值表利用真值表例：用真值表证明求反律例：用真值表证明求反律A BA BAB A+ BA BA+B000110111110111010001000 A B= A+B A+ B=AB第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 BCCAABB)C(1AC)AB(1CAAB等式右边等式右边由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含含同一因子同一因子的的原原变量和变量和反反变量，而两项的剩余因子变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的CAABBCDECAAB公式可推广：公

5、式可推广：例：多余项定律例：多余项定律CAABBCCAABBC)AA(CAAB利用基本定律利用基本定律BCAABCCAAB第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 二、基本法则二、基本法则 代入法则代入法则：在任何一个逻辑等式中，如果将在任何一个逻辑等式中，如果将等式等式两边出现的某一两边出现的某一变量变量都代之以同一都代之以同一逻逻辑函数辑函数，则等式依然成立，则等式依然成立例：例： A B= A+BBCBC替代替代B B得得ABCBCACBA由此反演律能推广到由此反演律能推广到n n个变量：个变量：n 21n 21n 21n 21AAAAAAAAAA A A利用求反律第

6、第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 反演规则反演规则：对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式F F，做如下处理：，做如下处理： 若把式中的运算符若把式中的运算符“. .”换成换成“+ +”, , “+ +” 换成换成“. .”; ; 常量常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”； 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量那么得到的那么得到的新函数式新函数式称为原函数式称为原函数式F F的的反函数式反函数式。注：注： 保持原函数的运算次序保持原函数的运算次序-先与后或，必要时适当地加入括号先与后或，必要时适当地加入括

7、号 不属于单个变量上的非号有两种处理方法不属于单个变量上的非号有两种处理方法 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变将非号去掉，而非号下的函数式保留不变例：例：F(AF(A、B B、C)C)CBAB )C A(BA 其反函数为其反函数为)CBA(BCA)BA(F或或)CBA(B)CA()BA(F第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 对偶式对偶式：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：1 1）若把式中的运算符）若把式中的运算符“. .”换成换成“+ +”，“+

8、 +”换成换成“. .”；2 2）常量）常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”得到新函数式为原函数式得到新函数式为原函数式F F的对偶式的对偶式FF，也称对偶函数，也称对偶函数 对偶规则：对偶规则：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即等。即 若若 F F1 1 = F = F2 2 则则F F1 1= F= F2 2。使公式的。使公式的数目增加一倍。数目增加一倍。 求对偶式时求对偶式时运算顺序不变运算顺序不变，且它只，且它只变变换换运运算符和常量算符和常量，其，其变量变量是是不变不变的。的。注：注： 函数式中有函数式

9、中有“ ”和和“”运算符，求反函运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符数及对偶函数时，要将运算符“ ”换成换成“”， “”换成换成“ ”。 例：例：B1CAABF 其对偶式其对偶式)B 0() CA ()BA(F第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 3.2逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 一、逻辑函数与逻辑图一、逻辑函数与逻辑图用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量系将逻辑变量A、B、C、.连接起来，所得的表连接起来，所得的表达式达式F = f

10、（A、B、C、.）称为逻辑函数。称为逻辑函数。逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式 逻辑图逻辑图波形图波形图输入变量输入变量不同取值组合不同取值组合与与函函数值数值间的对应关系列成表格间的对应关系列成表格用用逻辑符号逻辑符号来表示来表示逻辑运算关系逻辑运算关系输入变量输入变量输出变量输出变量取值：逻辑取值：逻辑0 0、逻辑、逻辑1 1。逻辑。逻辑0 0和逻辑和逻辑1 1不代表不代表数值数值大小大小，仅表示相互矛盾、相互对立的，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑态两种逻辑态反映反映输入和输出波形变输入和输出波形变化的图化的图形又叫时序图形又叫时序图用用与与/ /或

11、或/ /非非等运算等运算构成的运算式构成的运算式第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 逻辑图逻辑图F= ABC+ABC+ABCABC+ABC+ABC乘积项乘积项用用与门与门实现，实现，和项和项用用或门或门实现实现波形图波形图010011001111第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 二、逻辑函数化简的重要性二、逻辑函数化简的重要性 通常，从逻辑问题概括出来的逻辑函数式，通常，从逻辑问题概括出来的逻辑函数式，不一定是最简式，通过化简电路，可以降低成本，不一定是最简式，通过化简电路，可以降低成本，提高电路可靠性。提高电路可靠性。FABCABCABC

12、ABBBCFACB五个门两个门第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 函数的简化原则函数的简化原则 逻辑电路所用门的数量少逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作逻辑电路保证能可靠地工作降低成本降低成本提高电路的工作提高电路的工作速度和可靠性速度和可靠性三、逻辑函数化简的原则三、逻辑函数化简的原则第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 五种常用逻辑函数式五种常用逻辑函数式F(AF(A、B B、C)C)CAAB“与与或或”式式)BA)(CA(“或或与与”式式CAAB

13、“与非与非与非与非”式式 BACA“或非或非或非或非”式式BACA“与与或或非非”式式基本形式基本形式表达式形式转换表达式形式转换CA AB F CAABCAAB利用否否律利用否否律利用求反律利用求反律积之和和之积第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 最简式的标准最简式的标准 首先是式中首先是式中乘积项最少乘积项最少 乘积项中含的变量少乘积项中含的变量少四、四、 与或逻辑函数的化简与或逻辑函数的化简与门的输入端个数少与门的输入端个数少 实现电路的与门少实现电路的与门少 下级或门输入端个数少下级或门输入端个数少化简方法化简方法1.1.应用吸收定律应用吸收定律1 12.2.

14、应用吸收定律应用吸收定律2 23.3.应用吸收定律应用吸收定律3 34.4.应用多余项定律应用多余项定律第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 1.1.应用吸收定律应用吸收定律1 1ABABA规律：出现逻辑相邻项逻辑相邻项因子数一致，只有一个因子为“非关系”第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 2.2.应用吸收定律应用吸收定律2 2AABA规律：出现单因子项单因子项若出现单因子项，则包含单因子项的其他项是多余项FBABABCDBABCDABBAB()FACABCD EF()GGBD EFGAC令ACG第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 3.3.应用吸收定律应用吸收定律3 3规律：出现单因子项单因子项若出现单因子项，则去掉非单因子项中的”反”因子FBABABCDBABCDABBABAABABBA第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 4.4.应用多余项定律应用多余项定律ABACBCABACFABACDBCDEABACD第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 综合例子综合例子FADAD