(完整版)八个有趣模型——搞定空间几何体地外接球与内切球(教师版).doc

1、实用标准文案八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3内切球的定义： 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1性质：性质 1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质 2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质 3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小

2、圆所在的平面（类比：圆的垂径定理） ；性质 4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质 5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心） .A1PD1O2B 1C1cOOAbNaDO1EFBMO1C初图 1初图 22结论：结论 1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论 2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论 3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条

3、高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论 4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论 5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论 6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论 7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论 8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论 9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3 终极利器 ：勾股定理、正定理 及余弦定理 （解三角形求线段长度） ；三、内切球的有关知识与方法1若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直. （与直线切圆的结

4、论有一致性） .2内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. （类比：与多边形的内切圆） .3正多面体的内切球和外接球的球心重合.4正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5基本方法：（ 1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（ 2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法 ） .四、与台体相关的，此略.文档大全实用标准文案五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）PPPPccccAbCCCBbCababAAaBaBBA图1-1图1-2图1-3图 1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R

5、)2a2b2c2 ，即 2Ra2b2c2 ，求出 R例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ，体积为 16，则这个球的表面积是（C）A 16B 20C24D 32解： V a 2h16 ， a 2 ， 4R2a2a2h24 4 16 24，S 24，选 C；23，则其外接球的表面积是9（ ）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为解： 4R23 3 39，S 4 R29 ；（ 3）在正三棱锥SABC 中， M 、 N 分别是棱 SC、BC 的中点，且 AMMN , 若侧棱 SA23 , 则正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是.36解：引理： 正三棱锥的对棱互相垂直 . 证明

6、如下：如图（3）-1，S取 AB,BC 的中点 D, E ，连接 AE,CD ， AE,CD 交于 H ，连接 SH ，则 H 是底面正三角形ABC 的中心，SH平面 ABC ，SHAB ，ACBC， ADBD ，CDAB，AB 平面 SCD ，ABSC ，同理：BC SA， ACSB ，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（ 3） -2 ，AMMN， SB/ MN ，AMSB，AC SB，SB平面 SAC ，SBSA， SBSC ， SB SA， BCSA，ACDHEB(3) 题-1(引理）SMACSA平面 SBC，SASC，故三棱锥 SABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，NB(3)题-2（解答

7、图）(2R)2( 2 3)2( 2 3)2(2 3)236 ，即 4R236 ，正三棱锥SABC 外接球的表面积是36.文档大全实用标准文案（ 4）在四面体 SABC 中， SA平面 ABC ， BAC120 , SAAC2, AB1, 则该四面体的外接球的表面积为（D ）A.11B.7C.10D. 4033解：在ABC 中， BC2AC 2AB 22AB BCcos1207， BC7 ，ABC 的外接球直径为2rBC72 7，(2R)2(2r )2SA2(27) 2440， S40，选 Dsin BAC333332（ 5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、 3，那么它的外

8、接球的表面积是解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a, b, c （ a,b, c R ），则ab12bc8，abc24 ，a3 ， b4 ， c2 ， (2R)2a2b2c229， S4 R229 ，ac6（ 6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解： (2R) 2a2b2c23， R23 ， R342V球4R343 33，P3382A(6)题图CB（ 6）题直观图类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体） 中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径 （ ABCD ， ADBC ，ACBD ）第

9、一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b, c ， ADBCx ，AxDABCDy ， AC BDz ，列方程组，a 2b 2x2x2y 2z2b2c2y2(2R)2a2b2c2，c2a2z22补充 ：图 2-1 中， VA BCDabc1 abc41 abc .63yyczzxCabB图 2-1文档大全实用标准文案第三步：根据墙角模型， 2R a22c2x2y2z22x 2y 2z2x2y2z2b2，R8，R8，求出 R.思考 ：如何求棱长为a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？例 2（ 1）如下图所示三棱锥A BCD ，其中 AB CD5,

10、 AC BD6, ADBC7, 则该三棱锥外接球的表面积为.解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1 ，设长宽高分别为a,b,c ， 2(a2b2c2 )25 36 49 110 ，a2b2c255， 4R255， S 55ABDC(1) 题图（ 2）在三棱锥ABCD 中， ABCD2， AD BC 3， ACBD4 ，则三棱锥 A BCD 外接球的表面积为.292解：如图 2-1 ，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a, b, c ，则 a2b29 ，b2c24 ， c2a 2162( a2b2c2 ) 9 4 16 29 ， 2( a2b2c2 ) 9 4 16 29

11、 ，a2b2c229 ， 4R229，S29222（ 3）正四面体的各条棱长都为2 ，则该正面体外接球的体积为PACB（3）解答题解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，2R334333， R， V8223（ 4）棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形 ( 正四面体的截面) 的面积是.文档大全实用标准文案CO2POAO1B(4) 题(4) 题解答图解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为PCO1 ，面积是2 .类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）C1C1C 1A 1O2FA 1O 2A 1FB 1B 1O2B1OOOCCC

12、AO1EAO 1BAO 1EBB图3-1图 3-2图 3-3题设：如图 3-1 ，图 3-2 ，图 3-3, 直三 棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置， O1 是ABC 的外心，则 OO1平面ABC ；第二步：算出小圆O1的半径 AO1r ， OO11 AA11 h （ AA1h 也是圆柱的高） ；22第三步：勾股定理：OA2O1 A2O1O2R2( h)2r 2Rr 2( h)2 ，解出 R22例 3（ 1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 ，底面周长为 3

13、，则这个球的体积为81解：设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ，则 a，2正六棱柱的底面积为S63 (1)23 3，V柱 Sh33 h9 ，h3 ， 4R212( 3)2442888也可 R2( 3)2( 1)21）， R1 ，球的体积为 V球4；223（ 2）直三棱柱 ABCA1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12 ,BAC120 ，则此球的表面积等于.文档大全实用标准文案解： BC2 3234 ， r 2 ， R5，S 20 ；， 2rsin 120（ 3）已知EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，Er 1r1ADRO1ROEA

14、EB 3, AD 2, AEB 60 ，则多面体 EABCD 的外接球Mr 2O 2的表面积为.16B解：折叠型，（ 3）题C法一：EAB 的外接圆半径为 r13， OO11， R132 ；法二： O1M3， r2O2 D13， R23134 ， R2，S表16；2244法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略. 换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：( 2) 2( 23)22216S16R，；表（ 4）在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， AB4, AC6, A, AA14 ，则直三棱柱 ABCA1B1C1 的外接1603球的表面积为.3解：法一：

15、 BC216362 46128，BC 27 ， 2r274 7， r2 7，23332R2r 2( AA1) 228440， S表160；2333法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.第二讲锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径正弦定理求大圆直径是通法）PPPPOOOAO1AO1AO1ACCCCBBBB图4-1图 4-2图 4-3图 4-41如图 4-1 ，平面 PAC平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 为小圆的直径） ，且 P 的射影是ABC 的外心三棱锥 PABC 的三条侧棱相等三棱 PABC 的底面ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点

16、.解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC 的外心 O1 ，则 P,O, O1 三点共线；第二步：先算出小圆O1 的半径AO1 r ，再算出棱锥的高 PO1h （也是圆锥的高） ；文档大全实用标准文案第三步：勾股定理：OA2O1 A2O1O2R2( hR) 2r 2 ，解出 R ；事实上， ACP 的外接圆就是大圆，直接用正弦定理 也可求解出 R .2如图 4-2 ，平面 PAC平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 为小圆的直径） ，且 PAAC ，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2PA 2(2r )22RPA2( 2r ) 2 ； R2r 2OO12Rr 2OO123如

17、图 4-3 ，平面 PAC平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 为小圆的直径）OC 2O1C 2O1O 2R2r 2O1O 2AC 2R2O1O24题设：如图 4-4 ，平面PAC平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC 的外心，即PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r ；第二步：在PAC 中，可根据正弦定理abc2R ，求出R .sin Bsin Csin A例 4 （ 1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 1，底面边长为 23 ，则该球的表面积为.解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理，2

18、R7 ， S4 R249；（ 2）正四棱锥 SABCD 的底面边长和各侧棱长都为2 ，各顶点都在同一球面上，则此球体积为解：方法一：找球心的位置， 易知 r1 ，h1，hr ，故球心在正方形的中心ABCD 处， R41，V3方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC 的外接圆，此处特殊，Rt SAC 的斜边是球半径，2R 2， R 1，V4.3（ 3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A3 3B3C 3D 343412解：高h R1R 1，直径为2R2，底面外接圆的半径为设底面边长为a ，则 2Ra2 ， a3 ， S

19、3 a2 33，三棱锥的体积为 V1 Sh3；sin 6044344P ABC中， PAPB PC3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外（ ）在三棱锥接球的体积为（）AB.C. 4D.433解：选 D，由线面角的知识，得ABC 的顶点 A, B,C 在以 r3为半径的圆上，在圆锥中求解，R 1 ；2（ 5）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上 ,ABC是边长为1SC为球O的直的正三角形 ,径,且SC 2，则此棱锥的体积为（） A文档大全实用标准文案2B3C2D2A6263解： OO1R2r 21 (3 ) 26 ， h2 6，V球1 Sh1 326233333436类型五

20、、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1题设：如图 5， PA平面 ABC ，求外接球半径 .POACDO1B图 5解题步骤：第一步：将ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接 PD ，则 PD 必过球心 O；第二步： O1 为ABC 的外心，所以 OO1平面 ABC ，算出小圆 O1 的半径 O1Dr （三角形的外接圆直abc2r ）， OO11径算法：利用正弦定理，得sin Asin Bsin CPA ；2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2PA 2(2r )22RPA2(2r )2 ； R2r 2OO12Rr 2OO12.2题设：如图 5-1

21、 至 5-8 这七个图形， P 的射影是ABC 的外心三棱锥 PABC 的三条侧棱相等三棱锥 PABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点 .PPPPOOOOCCCCAO1AO1O1AO1BADBBB图5-1图5-2图5-3图 5-4文档大全实用标准文案PPPAAAO2BCO2O2DBCDBOOO图5-6图 5-7图 5-8解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC 的外心 O1 ，则 P,O, O1 三点共线；第二步：先算出小圆O1 的半径 AO1 r ，再算出棱锥的高 PO1h （也是圆锥的高） ；第三步：勾股定理：OA2O1 A2O1O2R2( hR) 2r 2

22、，解出 R方法二： 小圆直径参与构造大圆，用正弦定理 求大圆直径得球的直径 .例 5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()CA 3B 2C 16D以上都不对32222P22R正视图侧视图22ORM1O 11N俯视图解答图解：选 C，法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，(3 R)21 R2,R2,S 4R216；33法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN 的外接圆是大圆，于是 2R24，下略；sin 603第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图 6)

23、文档大全实用标准文案AOH 2DAH 1CEB图6第一步：先画出如图6 所示的图形，将BCD 画在小圆上，找出BCD 和ABD的外心 H1和 H2；第二步：过 H 1 和 H 2 分别作平面 BCD 和平面 A BD 的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接 OE,OC ；第三步：解OEH 1 ，算出 OH 1 ，在 Rt OCH 1 中，勾股定理：OH 12CH 12OC 2注：易知 O, H 1, E, H 2 四点共面且四点共圆，证略 .例 6（ 1）三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC ， PAC 和 ABC 均为边长为2 的正三角形，则三棱锥 P ABC 外接球的半径为.P2

24、421解：如图，2r12r2r1r2， O2Hsin 60，3，33R2O2H 2r12145，R15 ；O2OA3333O1H11法二： O2 H1，BC， O1H， AH（1）题33R2AO2AH 2O1H 2O1O25 ， R15 ；33（ 2）在直角梯形ABCD 中， AB/ CD ，A90， C45， ABAD1，沿对角线 BD 折成四面体 ABCD ，使平面 A BD平面 BCD ，若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为4SA2AD2r2DORDO2C1M1O 1r12BCBOCA2B(2)题 -1(2)题-2(3)题解：如图，易知球心在BC 的中点处， S表

25、4；文档大全实用标准文案3（ 3）在四面体S ABC 中， AB BC ， AB BC 2 ，二面角 S AC B 的余弦值为 ，则四 3面体 SABC 的外接球表面积为6解：如图，法一：cosSO1 B cos(OO1O2)33，2sin OO1O236， cos OO1O23，3OO1O1O22，R211 3，S4 R26；cos OO1O2222法二：延长 BO1到 D 使 DO1 BO1r1 ，由余弦定理得 SB6 ，SD2 ，大圆直径为 2R SB6 ；（ 4）在边长为 23 的菱形 ABCD 中，BAD60，沿对角线 BD 折成二面角 A BD C 为 120的四面体 ABCD ，

26、则此四面体的外接球表面积为28Ar2OO 2RDR2dEMd1O1r1B(4)题图C解：如图，取 BD 的中点 M ， ABD 和CBD 的外接圆半径为r1r22 ， ABD 和CBD 的外心 O1 , O2到弦 BD 的距离（弦心距）为d1d21，法一：四边形OO1 MO 2 的外接圆直径 OM2 ， R7 ， S28 ；法二： OO13 ， R7 ；法三：作出CBD 的外接圆直径 CE , 则 AMCM3， CE4， ME1， AE7，AC3 3 ，71627133AC337 ；cos AEC742 7， sin AEC7， 2R32 7，R22sin AEC327文档大全实用标准文案(5

27、) 在四棱锥ABCD中，ADBD2，二面角ABDCBDA120BDC150CD3的平面角的大小为 120，则此四面体的外接球的体积为解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，OAOO2O2C抽象化DDMMOO1B1B(5)题解答图 -1(5) 题解答图 -2AB 23 ， r2 2 ，弦心距 O2 M3，BC13 ， r113 ，弦心距 O1 M2 3 ，O1O221， OMO1O227 ，sin 120法一：R2OD 2MD 2OM 229， R29 ，V球11629；3法二： OO22OM 2O2M 225 ，R2OD 2r22OO2229， R29 ，V球11629.3类型七、两直角三角形拼接在一起( 斜边相同 , 也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥) 模型PBCOA图 7题设：如图 7， APBACB90 ，求三棱锥 PABC 外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接 OP,OC ，则 OAOB OCOP1AB，O 为三棱锥 PABC 外接球球心，然后在OCP 中2求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球