度量空间小结

1、第一章度量空间在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R的可分性.同时，实数空间R还具有完备性， 即R中任何基本列必收敛于某实数.现在我们将这些概念推广到一 般度量空间.泛函分析中，度量空间是最基础的内容！因此要好 好的理解！在这里仅仅说一下我自己的心得。1.3.1度量空间的可分性定义1.3.1设X是度量空间，A, B X，如果B中任意点X. B的任何邻域O(x,、J内都含 有A的点，则称A在B中稠密.若A二B，通常称A是B的稠密子集.注1 : A在B中稠密并不意味着有 A二B .例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理

2、数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数.定理1.3.1 设(X,d)是度量空间，下列命题等价：(1) A在B中稠密；(2) -X B , Xn ：_ A，使得 lim d (Xn, x) = 0 ;(3) B A (其中A=A A , A为A的闭包，A为A的导集(聚点集);(4) 任取J. 0，有B O(x,、J .即由以A中每一点为中心:.为半径的开球组成的集合X超覆盖B .证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.定理1.3.2稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,C二X ,若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密.证明 由定理1.1知B二

3、A , C二B，而B是包含B的最小闭集，所以 B二B二A，于是 有C二A，即A在C中稠密.口注2：利用维尔特拉斯定理可证得 定理(Weierstrass多项式逼近定理)闭区间a,b上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.(1) 多项式函数集 Pa,b在连续函数空间Ca,b中稠密.参考其它资料可知：连续函数空间Ca,b在有界可测函数集 Ba,b中稠密.(3)有界可测函数集 Ba,b在p次幕可积函数空间Lpa,b中稠密(1乞p ：；).利用稠密集的传递性 定理1.3.2可得：(4)连续函数空间Ca,b在p次幕可积函数空间Lpa,b中稠密(仁p ：；).因此有 Pa,b二Ca,b

4、二 Ba,b二 Lpa,b.定义1.3.2 设X是度量空间，A X，如果存在点列xnA，且人在A中稠密，则称A是可分点集(或称可析点集)当X本身是可分点集时，称X是可分的度量空间.注3: X是可分的度量空间是指在X中存在一个稠密的可列子集.例1.3.1 欧氏空间Rn是可分的.坐标为有理数的点组成的子集构成Rn的一个可列稠密子集.证明 设Qn =(,，rn)|nEQ,i =1,2，n为R中的有理数点集,显然Qn是可数集,下 证Qn在Rn中稠密.对于Rn中任意一点x =(xx，焉)，寻找Qn中的点列讣，其中m =(,*，：)，使得 rk.x(k_. ) 由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数X

5、j(i=d,2,，n),存在有理数列nkTx(kT刈.于是得到Qn中的点列讣，其中rk =(皿，,r：) , k =1,2,.现证氐 r x( k )： ：) . - ； 0 ,由 r x ( -)知，-K 三 N，当 k Ki 时，有kI r -x |,i =1,2,n3第一章度量空间#第一章度量空间取 K =maxQ,K2,，当 kK 时，对于 i =1,2，n，都有 |x K 了，因此d 也，x) a | rk x|2 :#第一章度量空间#第一章度量空间即rk x(kr )，从而知Qn在Rn中稠密.口具有有理系数的多项式的全体Po a, b在例1.3.2连续函数空间Ca,b是可分的.Ca

6、,b中稠密，而FOa,b是可列集.由 Weierstrass 多项式逼近定理知，x(t)可证明 显然p,a,b是可列集.-x(t) Ca, b,表示成一致收敛的多项式的极限，即- ；.0，存在(实系数)多项式p (t)，使得d(x, p )背酬以(t) p；(t)| ：2另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式p0(tV P0a,b，使得d(p ；, p。)=mtaxI p (t) 一卩0住)I ：72因此，d(x,p)_d (x, p ) d( p；, p)：；，即p(t)O(x,；)，在 Ca, b中任意点x(t)的任意邻域内必有Poa,b中的点，按照定义知Pa,b在Ca,b中稠

7、密.口例1.3.3p次幕可积函数空间Lpa,b是可分的.证明 由于Ra,b在Ca,b中稠密，又知Ca,b在Lpa,b中稠密，便可知可数集P0a,b在Lpa,b中稠密.口例1.3.4p次幕可和的数列空间lp是可分的.qQ证明 取E。=(1,2,，rn,O,0,)|ri- Q, n N，显然E。等价于Qn，可知E。可数,7F面证E。在|P中稠密.qQ-x =(% X，Xn,) lp，有 7 |为 |p ：-:，因此*0 , N N，当 n . N 时，i .XCOJP-| Xi |n出12又因Q在R中稠密，对每个x(1iN)，存在r Q，使得p,(i =1,2,3，N)2N于是得x-J2令 Xo

8、=(1,2,，N,0,，0, Eo，则N-i |p|xHV 1d(X0,x)=(.二 |Xii 土因此Eo在lp中稠密.口例1.3.5 设X =0,1，则离散度量空间(X,d0)是不可分的.所以存在X* X , x* xn.取 ，则有r证明 假设(X,d0)是可分的，则必有可列子集xj X在X中稠密.又知X不是可列集,* , * 1 *O(x ,6)=x d(x,x ) 证明 考虑I：:中的子集A二X =(X1,X2，Xn,)Xn =0或1,则当x, y A, x = y时，有 d(x,y) =1 .因为0,1中每一个实数可用二进制表示，所以A与0,1对应，故 A不可列. 1假设丨：:可分，即

9、存在一个可列稠密子集Ao，以Ao中每一点为心，以-为半径作开球，所3有这样的开球覆盖I：:,也覆盖A 因人可列，而A不可列，则必有某开球内含有 A的不同的 点，设x与y是这样的点，此开球中心为x0，于是1 1 2仁d(x,y) _d(x,xo) d(xo,y) ：3 飞矛盾，因此I -:不可分.口1.3.2度量空间的完备性实数空间R中任何基本列(Cauchy列)必收敛.即基本列和收敛列在R中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间.定义1.3.3 基本列设斗是度量空间X中的一个点列，若对任意；.0，存在 N，当m,n . N时，有d(Xm,Xn)：;则称xn是X中的一个 基本列(或Cauc

10、hy列).定理1.3.3(基本列的性质)设(X,d)是度量空间，则(1) 如果点列xn收敛，则斗是基本列；(2) 如果点列xn是基本列，则Xn有界；(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点.证明(1)设Xn二 X , X X ,且 xn r X .则 -；0 , N N ,当 n N 时，d(Xn,X):：2 从而n , m . N时，d(Xn,Xm)乞 d(Xn,X) d(X,Xm)：2 2即得Xn是基本列.(2) 设x.为一基本列，则对；=1，存在 N，当n N时，有d(xN “Xn) ： ; =1，记M =max d (x ,x + ),d X X+C dN

11、+ 片1,那么对任意的 m, n，均有d(Xn, Xm) _d (Xn, Xn 1) d(Xm,XN 1) ： M M =2M ,即x.有界.(3) 设Xn为一基本列，且Xnk是Xn的收敛子列，心代一十).于是，一； 0, N x(n ) .口注4:上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列 (Cauchy列)，那么基本列是收敛列吗?例1.3.7 设X =(0,1)， -x,y. X，定义d(x, y)=x_y，那么度量空间(X,d)的点列l是X的基本列，却不是 n 1X的收敛列.证明对于任意的；.0，存在1使得N，那么对于m = N7第一章度量空间#第一章度量空间中a,b N，有Xm | 11

12、N +b +1N +a北max a, ba +bd (Xn ,绻)二人：(N a 1)(N b 1) Na Nb N(N a 1)(N b 1)1一一：:：；,a -b#第一章度量空间1即得xn是基本列显然lim0 X，故Xn不是X的收敛列.Yn +1 1或者利用xn二丄是R上的基本列，可知-；0 , N Nn +11I也是X上的基本列.口n 1如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限,11n +1m +1z于是可知x. 就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间.定义1.3.4 完备性如果度量空间X中的任何基本列都在X中收敛，则称X是完备的度

13、量空间.例1.3.8 n维欧氏空间Rn是完备的度量空间.证明 由Rn中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R的完备性易得.口例1.3.9 连续函数空间Ca,b是完备的度量空间.(距离的定义：d(f,g) max | f (t) _g(t) |) ta,b证明设x.是Ca,b中的基本列，即任给: 0,存在N，当m,n N时，d(xm,xJ：;即max Xm(t) -Xn(t) | .；： t -a,b故对所有的t a,b,Xm(t)Xn(t)|；：匕，由一致收敛的Cauchy准则，知存在连续函数x(t)，使xn(t)在a,b上一致收敛于 x(t)，即 d(xm, x； 0(n“ -),且 x C

14、a,b.因此 Ca, b完备.口1例 1.3.10 设 X -C0,1 ,f(t),g(t) X，定义 d,f ,g) =。| f (t) -g(t) |dt，那么(X,dJ 不是完备的度量空间.(注意到例1.3.9结论(X,d)完备)证明设r/ 100 t 21111fn(t)二 n (t ) t222 n1 111 +- r 0时，每个积分均趋于零.推得0 r 0,却f(t).1 心,1可见f(t)不连续，故fn在X中不收敛，即C0,1在距离d1下不完备.口表1.3.1常用空间的可分性与完备性度量空间距离可分性完备性n维欧氏空间(Rn,d)d(x,y)=店(x -y)2VV离散度量空间(x

15、,d)X可数.0当x = y时do(x, y)=$比时1当x H y时VVX不可数XV连续函数空间Ca,bd(f,g)=max|f(t)g(t)|VVd1(f,g) = / f (x)g(x) dx*aVX有界数列空间严d(x,y) =sup|Xj -y |XVp次幕可和的数列空间lp1dp(x,y) = |5；区 |pJ 士丿VVp次幕可积函数空间(Lpa,b,d)d(f,g)=(a,b|f(t)-g(t)|p dt)pVV由于有理数系数的多项式函数集F0a,b是可列的，以及F0a,b在Pa,b、Ca,b、Ba,b以及Lpa,b中稠密，可知闭区间a,b上多项式函数集 Pa,b、连续函数集Ca

16、,b、有界可测 函数集Ba,b、p次幕可积函数集 Lpa,b均是可分的.前面的例子说明n维欧氏空间Rn以及p 次幕可和的数列空间|p也是可分空间，而有界数列空间I：:和不可数集X对应的离散度量空间(X,d)是不可分的.从上面的例子及证明可知，n维欧氏空间 Rn是完备的度量空间，但是按照欧氏距离X =(0,1)却不是完备的；连续函数空间Ca,b是完备的度量空间，但是在积分定义的距离1di(f ,g)二j| f(t) -g(t)|dt下，C0,i却不完备由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同 一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的.我们还可以证明p次幕可和的数列空间ip是完备的度量空间，p

17、次幕可积函数空间Lpa,b(p _1)是完备的度量空间，有界数列空间的完 备性通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示.在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理.定理1.3.4 (闭球套定理)设(X,d)是完备的度量空间，Bn =O(xn,、：n)是一套闭球：Bt 二 B2 二 二 Bn 二.qQ如果球的半径Jn r 0(n)，那么存在唯一的点 x Bn .证明 (1)球心组成的点列xn为X的基本列.当m n时，有 Xm Bm - Bi ( =O(Xn,：n)，可彳得d(Xm,Xn) _、：n .(2.4)一；0 ,取N，当n N时，使得、；n ：；，于

18、是当m,n N时，有d(Xm,Xn) _：；,所以xn为X的基本列.(2) x的存在性.由于(X,d)是完备的度量空间，所以存在点X ,使得lim x x .令(2.4) 式中的mr，,可得d(x,xn)兰aO0即知Bn, n =1,2,3，因此 x：=Bn .n 士qQ(3) x的唯一性.设还存在X，满足y； I Bn，那么对于任意的 n N，有x,y ,n=t从而 d (x, y) _d (x,xn) d(xn, y) _2 j.n r 0 (n“ 7)，于是 x = y .口注4:完备度量空间的另一种刻画：设(X,d)是一度量空间，那么X是完备的当且仅当对于X中的任何一套闭球：B1二B2二二Bn二，其中Bn =6(Xn,、n)，当半径5 。山一；心)，必存在唯一的点x ：Bn .nmn=e ,可见有理数空间是不完备的,但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用.对于般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用. 那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答.定义1.3.5等距映射设（X,d） , （Y,）是度量空间，如果存在映射T : X_. Y ,使得-xx X，有d（x ,冷）=戸6）则称T是X到Y上的等距映射，X与Y是