圆锥曲线解题技巧经典实用

1、圆锥曲线一概念、方法、题型、及应试技巧总结1.圆锥曲线的两个定义：1第一定义中要重视“括号内的限制条件：椭圆中，与两个定点F,，F2的距离 的和等于常数2a，且此常数2a 一定要大于 卩古2，当常数等于 带店2时，轨迹是线段 F!F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点Fi，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F 1F2|，定义中的“绝对值与2a |F 1 f2 |，那么轨迹 不存在。假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。的D.支)如(1)定点Fi( 3,0),F2(3,0)，在满足以下条件的平面上动点 是 A . PFi|PF24 B . P

2、Fi|PF26 C22PFi|PF2|12 (答：C);(=).=-丿方程 J(x 6)2 y J(x 6)2 y2 8表示的曲线是 P的轨迹中是椭圆PF1PF2 10答：双曲线的左2第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义， 给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化2如点Q2 J2,0及抛物线y 上一动点PX,y ,那么y+|PQ|的最小值是 42.圆锥曲线的标准方程 准位置的方程：标准方程是指中心顶点在原点，坐标轴为对称轴时的标答: 22x21椭圆：焦点在x轴

3、上时冇a2其中为参数，焦点在y轴上时每a且A,2y2 k圆的充要条件是什么ABo 0,2x3 k爲 1 (a b 0) b22x2 = 1 ( a b 0) ob2B, C 同号，AM B)。y acos 参数方程,方程Ax2 By2 C表示椭如1方程1表示椭圆，那么k的取值范围为答：1 1(3, -)U( -,2)；2(2)_ (答:.,1 -、 2 ；假设 x, y R , 5,2 )且3x22y26，那么x y的最大值是2y的最小值是(2)a 0,b号。2x 了 = 1 0 。方程Ax2 By2 C表示双曲线的充要条件是什么ABO 0,且A, B异双曲线：焦点在X轴上：2X2a2芯=1

4、,焦点在y轴上：b2y2a如1双曲线的离心率等于，且与椭圆x92y1有公共焦点，那么该双曲线的方42程 答：y21；42设中心在坐标原点 0，焦点F,、F2在坐标轴上，离心率 e 2的双曲线 C 过点P4, 10，那么C的方程为 答: x2 y2 63抛物线：开口向右时 y2 2pxp 0，开口向左时y2 2pxp 0，开口2 2向上时x 2 py p 0，开口向下时x 2 py p 0。3. 圆锥曲线焦点位置的判断首先化成标准方程，然后再判断：1椭圆：由x2, y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2 2如方程一1表示焦点在y轴上的椭圆，那么m的取值范围是 _答：12 m,1 1,|

5、2双曲线：由x 2, y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒:1在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两 个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物 线问题时，首先要判断开口方向；2在椭圆中，a最大，a2 b2 c2，在双曲线中，2 2 2c最大，c a b。4. 圆锥曲线的几何性质：2 21椭圆以务告 1 a b 0为例：范围：a x a, b y b ；a b焦点：两个焦点c

6、,0:对称性：两条对称轴x 0, y 0 , 个对称中心0,0，a2四个顶点a,0,0, b，其中长轴长为2a，短轴长为2b ；准线：两条准线xcc离心率：e ，椭圆a2女口 1假设椭圆50 e 1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。2；10251的离心率e -，那么m的值是答：3或一； m532以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，那么椭圆长轴的最小值为答：22x2 y22双曲线以一 一 1 a 0, b 0为例：范围：x a或x a, y R ；a2 b2焦点：两个焦点c,0:对称性：两条对称轴x 0, y 0 , 个对称中心0,0 ， 两个顶点a,0，其中实轴长为2

7、a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2 y2 k,k 0 ;准线：两条准线x；离c心率：e C，双曲线 ea等轴双曲线e 2 e越小，开口越小，e越大,开口越大； 两条渐近线：y如1 双曲线的渐近线方程是3x 2y 0,那么该双曲线的离心率等于答：2(2)双曲线ax2 by21的离心率为一5,那么a:b =答：4或-；423设双曲线笃a1 a0,b0中，离心率e .2,2,那么两条渐近线夹角B的取值范围是(答:3抛物线以y232pxp 0为例：范围：x 0,y R :焦点:一个隹占I 八 、八、-P 0，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；2，对称

8、性:一条对称轴0,没有对称中心，只有一个顶点0,0；准线：一条准线x离心率:-，抛物a如设a0,a5、点P(x0,22Xy02.2ab22x0y0外R，那么抛物线2xy和椭圆飞a2y 4ax的焦点坐标为的关系：1 ; (2)点P(x0, y)在椭圆上2 X。 2 a1)答：%);1点Px。, y。在椭圆(3)点P(x0, y)在椭圆b2 1a26 直线与圆锥曲线的位置关系：1相交：0直线与椭圆相交；曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一直线与双曲线相交，但直线与双个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交

9、不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。女口 1假设直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，贝Uk的取值范围(答：*1)；(2)直线y kx 仁0与椭圆x22y1恒有公共点，那么m的取值范围是m1 , 5)U( 5, +8);x2(3)过双曲线样的直线有(2) 相切：线与抛物线相切；(3) 相离：线与抛物线相离。特别提醒：(1)1(答:3)；02J 1的右焦点直线交双曲线于2直线与椭圆相切;直线与椭圆相离;A B两点，假设|AB|那么这直线与双曲线相切;直线与双曲线相离;直线与双曲线、

10、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点;2 直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；(2)过双曲线 笃 a:相如果2y =b2 _1外一点P(x0,y。)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切 线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的 直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时

11、不存在这样的直线；(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称 轴的直线。女叭1)过点(2,4)作直线与抛物线y2 8x只有一个公共点，这样的直线有 (答：2 22) ; (2)过点(0,2)与双曲线 乞1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为916(答:4, 口 )；332(3) 过双曲线x2 乞1的右焦点作直线I交双曲线于A B两点，假设AB 4,那么满2足条件的直线l有_条(答：3);(4) 对于抛物线C： y2 4x，我们称满足y02 4x0的点M(X0,y。)在抛物线的内部， 假设点M(x,y)在抛物线的内部，那么直线 l : yy 2(

12、x x。)与抛物线 C的位置关系是 (答：相离);(5) 过抛物线y2 4x的焦点F作一直线交抛物线于 P、Q两点，假设线段PF与FQ的1 1长分别是p、q，那么丄丄p q(6)设双曲线2x16(答: 1)；1的右焦点为F，右准线为I，设某直线 m交其左支、右支和右准线分别于 P,Q,R，那么 PFR和 QFR的大小关系为 或等于答：等于；填大于、小于7求椭圆7x2 4y2 28上的点到直线8直线y ax 1与双曲线3x2 y2别在双曲线的两支上当a为何值时，以3x 2y 16 0的最短距离答：；13a为何值时，A、B分答：.3. 3 ；1交于A、B两点。当AB为直径的圆过坐标原点 a 1；:

13、利用圆锥曲线的第二7、焦半径圆锥曲线上的点 P到焦点F的距离的计算方法定义，转化到相应准线的距离, 离。2如1椭圆-25答: 35 ；32抛物线方程为线的焦点的距离等于；3假设该抛物线上的点7,2, 4；离为24点P在椭圆25P的横坐标为答:2y161上一点P到椭圆左焦点的距离为 3，那么点P到右准线的距8x，假设抛物线上一点到 y轴的距离等于 5,那么它到抛物M到焦点的距离是4，那么点 M的坐标为答:5抛物线y2距离为 答：26椭圆42y925 ；121上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，贝U点2x上的两点A2 ；2-1内有一点3B到焦点的距离和是 5，那么线段AB的中点到y轴的P1

14、, 1 , F为右焦点，在椭圆上有一点M,使即焦半径r ed，其中d表示P到与F所对应的准线的距2/1中，b2arccos2L 1，且当* r2即P为短轴端点时,最大为b2max arccos2c-2；a2b tanc| y01，当| y0 | b即P为短轴端点时,2y22b221的焦点三角形有： arccos 1-b怖Smax的最大值为bC；1； ShQsin2对于双曲2b cot 一。2MP 2MF之值最小，那么点M的坐标为26八、答：，1；8、焦点三角形椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 Px, y0到两焦点F1,

15、F2的距离2x 分别为,焦点 F1PF2的面积为S ,那么在椭圆飞a如 1短轴长为.、5，离心率e 2的椭圆的两焦点为 F1、F2，过F1作直线交椭圆于3A B两点，那么 ABF2的周长为 答：6;2设P是等轴双曲线x2 y2 a2 a 0右支上一点，F1、F2是左右焦点，假设答: x2PF2 RF20， |PFi|=6，那么该双曲线的方程为2 2x V3椭圆1的焦点为Fi、F2,点P为椭圆上的动点，当94PF24 ；PFi 0 时,点P的横坐标的取值范围是答:琴昔；554 双曲线的虚轴长为 4，离心率e=, Fi、F2是它的左右焦点，假设过 Fi的直线2与双曲线的左支交于 A、B两点，且 A

16、B是AF2与BF2等差中项，那么 AB =答: 8 忑;5 双曲线的离心率为2 , Fi、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且2 2FiPF2 60 , SPFf2 I2.3 求该双曲线的标准方程答：； y i;9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：1以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；2设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，那么/ AMF=Z BMF 3设AB 为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为 A1 , B1，假设P为A1 B1的中点，贝U PAL PB; 4假设 AO的延长线交准线于 C,那么BC平行于x轴，反之，假设过B点平行于x轴的直线交准线于 C 点，贝U A, O, C三

17、点共线。A、B,且x1, x2分别为A B10、弦长公式：假设直线y kx b与圆锥曲线相交于两点的横坐标，那么 AB = Ji k2 X2，假设Vi, V2分别为 A、B的纵坐标，那么 AB = Ji 4r|Vi V2，假设弦AB所在直线方程设为x ky b，那么AB =J 1 k2 y?。 k特别地，焦点弦过焦点的弦：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将 焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。女口 1过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于 Axi, yi，BX2, y2两点，假设Xi+X2=6，那么|AB|等于 答：8;2过抛物线V2x焦点的直线交抛物线于 A、B两

18、点，|AB|=10，O为坐标原点，那么 ABC重心的横坐标为 答：3;11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理或“点差法 求解。在椭圆2x2a2与 1中，以Px,V0为中点的弦所在直线的斜率bk=-字a y。;在双曲线中，以Px, ye为中点的弦所在直线的斜率k=2;a y。在抛物线py 2pxp 0中，以Px0, V0为中点的弦所在直线的斜率k= - oV0X2如(1)如果椭圆 362y91弦被点A (4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是(答：x 2y 80 )；2X(2)直线y= x+1与椭圆ab 0)相交于A B两点，且线段AB的中点在直线L: x 2y=0上，那

19、么此椭圆的离心率为(答：辽);2(3)试确定的取值范围，使得椭圆2-1上有不同的两点关于直线3y 4x m对称(答:特别提醒:因为2 13 2 13 、 , )；13130是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0 !12.你了解以下结论吗2 J 1的渐近线方程为b2(1)2双曲线02ay-x为渐近线(即与双曲线a2 X2 a2 X2a2y_b22yb21共渐近线)的双曲线方程为2X2 a2 y b2(为参数， 工0)。2 2如与双曲线 L 1有共同的渐近线，且过点9162匕1)4(32J3)的双曲线方程为熒 4x2(答:-9(3)中心在原点，坐标轴为

20、对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 dny 1;(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为2mx0，焦准距(焦点到 a-2相应准线的距离)为，抛物线的通径为 2p，焦准距为p ; c(5)(6)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦；假设抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦为AB A(X1, yj, B(X2,y2)，那么2p2 |AB| 捲 X2 p : X1X2, y1 y2 p4(7)假设OA OB是过抛物线y2 2px(p 0)顶点O的两条互相垂直的弦，那么直线AB恒经过定点(2p,0)13.动点轨迹方程：(1) 求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；(2

21、) 求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立 x, y之间的关系F(x,y) 0 ；如动点P到定点F(1,0)和直线X 3的距离之和等于 4求P的轨迹方程.(答：2 2y 12(x 4)(3 x 4)或 y 4x(0 x 3); 待定系数法：所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方 程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点 M( m 0) (m 0)，端点A B到x轴距离之积为 2m 以x轴为对称轴，过 A、O B三点作抛物线，那么此抛物线方程为 (答：y2 2x)； 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直接写出动 点的轨迹方程；22

22、o如(1)由动点P向圆x y 1作两条切线PA PB,切点分别为 A B,Z APB=60,贝V 动点P的轨迹方程为 (答： x y 4 )；(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线I： X 5 0的距离小于1,那么点M的轨迹方程 是 (答：y216x)；(3) 一动圆与两圆O M： x2 y2 1和O N： x2 y2 8x 12 0都外切，那么动圆圆 心的轨迹为 (答：双曲线的一支)； 代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y)的变化而变化，并且Q(x,y0)又在某曲线上，那么可先用x, y的代数式表示x0, y0，再将x0,y0代入曲线得要求的轨迹方程；2如动点P是抛物线

23、y 2x 1上任一点，定点为 A(0, 1),点M分PA所成的比为2, 那么M的轨迹方程为 (答：y 6x2 1)；3 参数法：当动点P(x, y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时， 可考虑将x, y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程)。女口( 1) AB是圆O的直径，且|AB|=2 a, M为圆上一动点，作 MNLAB,垂足为 N,在OM 上取点P，使|OP | | MN |，求点P的轨迹。(答：x2 y2 a | y |)；2 2(2) 假设点P(x,y1)在圆xy 1上运动，那么点Q(x1,X1 yj的轨迹方程是 2 1(答: y2 2x 1(|

24、x| 2)；(3) 过抛物线x2 4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，那么弦AB的中点M的 轨迹方程是 (答：x2 2y 2 )；注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从向量的特点出发，考虑选择 向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或 脱靴子转化。2 2如椭圆笃与 1( a b 0)的左、右焦点分别是F1a b(-c, 0)、F2 (c, 0), Q是椭圆外的动点，满足|斤0| 2a.点P 是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT TF20,|TF2 | 0. ( 1)设x为点P的横坐标，证明c| F1P | a x ； 2求

25、点T的轨迹C的方程；3试问：在点 T的轨迹C上，是否存在 a点M,使厶FiMF的面积S=b2.假设存在，求/ FiMF的正切值；假设不存在， 请说明理由.答:1略；2x2 ya2 ； 3当丄ca时不存在；当b2a时存在，此时/ FiMF=2) 曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注 意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性的影响 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质数形结合 如角平分线的双重身份一一对称性、利用到角公式、“方程与函数性质化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系等等 如果在一条直线上 出现“三个或三个以上的点