立体几何中几类典型问题的向量解法.docx

1、立体几何中几类典型问题的向量解法空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、 快速的解法。 它的实用性是其它方法无法比拟的， 因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识， 提高使用向量的熟练程度和自觉性， 注意培养向量的代数运算推理能力， 掌握向量的基本知识和技能， 充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。一、利用向量知识求 点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离（ 1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点P 与平面内任一点uuurM

2、 构成的向量 MP 的坐标，那么 P 到平面的距离uuurr uuurr uuurn ? MPd MP ? cosn, MPrnuuur（ 2）求两点 P,Q 之间距离，可转化求向量 PQ 的模。（ 3）求点 P到直线 AB的距离，可在 AB上取一点Q，令uuuruuur uuuruuuruuur，以确定 Q 的位置，则AQQB, PQAB 或 PQ 的最小值求得参数uuurPQ 为点 P到直线 AB的距离。还可以在 AB上任取一点Q先求cos PQ, AB ，再转化为 sinuuurPQ,AB 为点 P到PQ, AB ，则 PQ sin直线 AB 的距离。r(4)求两条异面直线 l1 , l

3、 2 之间距离，可设与公垂线段AB 平行的向量 n ，uuurrCD ?nC, D 分别是 l1 ,l2 上的任意两点，则l1, l2 之间距离ABrn第 1页例 1：设 A(2,3,1), B(4,1,2), C (6,3,7), D ( 5, 4,8) ，求点 D 到平面 ABC 的距离例 2：如图，正方形 ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF互相垂直。点 M 在AC上移动，点 N在 BF上移动，若CM BN a (0 a2 ) 。（）求 MN 的长；（）当 a 为何值时， MN 的长最小；（）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的大

4、小zCDyMBENA(O)Fx例 3：正方体 ABCDA1 B1C1D1 的棱长为 1，求异面直线 A1C1 与 AB1 间的距离zD1C1MA1B1NDyCABx第 2页例 4：如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， AB 4, BC 3,CC12, 求平面zC1A1 BC1 与平面 ACD 1 的距离。D1A1B1yDCxABr点评：若 n 是平面的法向量， AB 是平面的一条斜线段，且B，uuurrAB ?n则点 A 到平面的距离 dr，平行平面之间的距离转化为点到平n面的距离，变为斜线在法向量上的射影。二、利用向量知识求 线线角，线面角，二面角的大小。（1）设 l1 , l2

5、是两条异面直线， A, B 是 l1 上的任意两点， C , D 是直线 l 2 上uuuruuurAB ?CD的任意两点，则 l1 ,l 2 所成的角为 arccos uuur uuur AB ?CD（2）设 AB 是平面的斜线，且 B, BC 是斜线 AB 在平面内的射第 3页uuuruuurrAB ?BC的法影，则斜线 AB 与平面 所成的角为 arccos uuuruuur 。设 n 是平面AB ?BC向量， AB是平面 的一条斜线，则 AB与平面 所成的角为uuurruuurrAB ?nAB ? n。2arccos uuurr ，或者 arcsin uuurrAB ? nAB ? n

6、uruur（ 3 ） 设 n1, n2是二面角l的 面,的法向量，则uruururuurn1? n2n1 , n2arc cos uruur 就是二面角的平面角或补角的大小。n1 ? n2例5：在棱长为 a 的正方体 ABCDABC D 中， EF 分别是 BC , AD 的中点，z（1）求直线 AC 与 DE 所成角；（2）求直线 AD 与平面 B EDF 所成的角，AFD （3）求平面 B EDF 与平面 ABCD 所成的角 BC AGyDBECx例 6：如图，四棱锥P ABCD中，底面 ABCD 为矩形，底面 ABCD ，PDAD=PD ，E，F 分别 CD、PB 的中点 .（）求证：

7、EF平面 PAB；z（）设 AB= 2 BC，求 AC 与平面 AEF 所成角的大小 .Px CFEDBAy第 4页例 7：如图， PA平面 ABC ， ACBC, PAAC1, BC2 ，求二面角APBC 的大小。PzExDACBy点评：如果 AB ,CD 分别是二面角l两个面内的两条直线，且Al, C l ,l , CD l ，则二面角的大小为uuur uuurABAB, CD例 8：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，ABC = 90，SA面 ABCD ，SA = AB = BC = 1， AD1 求面 SCD 与面 SBA 所2z成的二面角的正切值SyBCADx第 5页点评

8、：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平uruur面的法向量的夹角问题， （1）当法向量 n1与urn2 uur的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量n1与n2的夹角的大小。uruur二面角（2）当法向量 n 与n 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，12uurr uurur。的大小等于法向量 n1n2 的夹角的补角n , n2与1三、利用向量知识解决平行与垂直问题。例 9：如图 , 在直三棱柱 ABC A 1B1C1 中，AC3，BC4，AA 14，AB5,点 D 是 AB 的中点，（I）求证： AC BC1； （II ）求证： A1C /平面 CDB1；点

9、评：平行问题的转化：转化转化面面平行线面平行线线平行；例10如图，在长方体ABCD A 1B1C1D1 ，中，D1C1AD=AA 1=1，AB=2 ，点 E 在棱 AD 上移动 .A1B1（1）证明： D1EA1D；DC（2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD 1AEB的距离；第 6页（3）AE 等于何值时，二面角D1ECD 的大小为.4.四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。C1例 11如图，在直三棱柱 ABCA1 B1C1 中， AC 3, BC 4, AB 5, AA14A1B1（1）求证 ACBC1 ; （2）在 AB 上是否存在点 D 使得 AC1 CD ?C（

10、3）在 AB 上是否存在点 D 使得 A1C / 平面 CDB1ADB五、专题突破：1、如图：已知二面角l的大小为 120o ，点 A, B, ACl 于点 C ，BDl于 D ，且 ACCDDB1 ，求 （1）直线 AB与 CD 所成角的大小，（2）直线 AB与 CD 的距离。AlDCB2、如图，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， PD=DC，E、F 分别是 AB 、PB 的中点 .（）求证： EFCD；（）在平面 PAD 内求一点 G，使 GF平面 PCB，并证明你的结论；（）求 DB 与平面 DEF 所成角的大小 .第 7页3、如图,在直三棱柱AB

11、C111 中， ACB=90，CB=1,CA= ,AB C3AA1= 6,M 为侧棱 CC1上一点 ,AMBA1 C（1）求证 : AM平面 A1BC ；ABM（ 2）求二面角 BAM C 的大小；（ 3）求点 C 到平面 ABM 的距离CAB4、如图， ABCDA1B1C1D1 是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为 2，E 是棱 BC 的中点。（）求证：BD1 /平面 C1DE ；（）求二面角C1DEC 的大小（）在侧棱BB1 上是否存在点P ,使得 CP平面 C1 DE ？证明你的结论。5、如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，ACB=90 ，第 8页AC=BC=CC 1=2.（ I）

12、证明： AB 1BC1；（ II ）求点 B 到平面 AB 1C1 的距离 .（ III ）求二面角 C1AB 1A1 的大小6、( 2006 年湖南卷）如图 4,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4. ( ) 证明 PQ平面 ABCD;( ) 求异面直线 AQ与 PB所成的角 ;( ) 求点 P到平面 QAD的距离 .PDCABQ图 4第 9页7、（2006 年全国卷 II ）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB BC，D、 E 分别为 BB1、AC1 的中点（）证明： ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线；（）设 AA1AC

13、2AB，求二面角 A1ADC1 的大小C1B1A1DECBA第10页参考答案：rruuurruuur例 1：解：设平面 ABC 的法向量 n( x, y, z),Q n ? AB0, n ? AC0 ，所以( x, y, z) ? (2, 2,1)0，2x2 yz 0x3 z( x, y, z) ? (4,0,6)04x6z02yzr2) ， cosruuur3( 7)2( 7)27z 2,则 n (3, 2,n, AD3222( 2)2? ( 7)2( 7)272uuurruuuuur4949 17所以设 D 到平面 ABC 的距离为 d ， dAD ? cosn, AD1717例 2：解：

14、建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.uuuur(1auuur2aF (1,0,0), B(0,1,0), C (0,1,1), AM) AC2(0,1,1),2uuura uuur uuur(1auuurauuur12a,0)BNBF,AN) AB2AF(a,222uuuuruuuruuuur1(a,0, a2)uuuur(a2 )21 (0 p a2)MNANAMMN222uuuur(a2)21得 a2 uuuur2(2)由 MN22, MN22min（ 3）Q auuuur1 (1,0uuur1 (0,1,uuur1 (0,1, 1) 所以可求2 ,MN1), 又 MA1), MB2222

15、uruur(1,1,1) ，所以得平面 MNA 与平面 MNB 的法向量分别为 n1(1,1,1),n2uur uur11 ，所以arccos 1cosn1,n233 ?33例 3：解：如图建立坐标系，则 A(1,0,0), A1 (1,0,1), B1 (1,1,1),C1(0,1,1)uuuruuuurz D，设 MN 是直线1 1 与1C1AB111( 1,1,0)AB1的公垂线，且 M(0,1,1), ACA Cuuuruuur,uuuuruuuurA1B1ANAB1 (0,), AM1uAC1 1 ( u, u,0)NDy第11页CABxuuuuruuuuruuuruuur则 MNM

16、A1AA1AN( u,u,0)(0,0,1) (0, ) (u,u, 1)uuuuruuuur02u02uuuuruuuurMN ? A1C13( 1,1,1)3uuuuruuur,， MNMNMN ? AB102 u113 3 33u3例 4：解： Q BC1 / AD1, AD1平面 ACD1,BC1 / 平面 ACD1 ，同理 A1B / 平面 ACD1, 又A1B IBC1 B,111 ，建立直角坐标系D xyz，平面 A BC/平面 ACDQ AB4, BC3,CC12， A1(3,0, 2), B(3, 4,0), C1 (0, 4,2)uuur(0,4,uuuur(r(x, y,

17、 z) 为平面 A1BC1的法zA1 B2), BC13,0,2) ,设 nC1D1ruuurruuur向量，则 nA1 Bn ? A1B0, 4y 2z0,B1ruuuurruuuurA1y由 n BC1n ? BC103x 2z 0 ，DrC不妨设 z 1,y1 , x2 ,1 ,1)n ( 2 ,2332xAB二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。例 5：解：（1）如图建立坐标系，则 A(0,0, a), C(a,a,0), D (0, a,0), E(a, a ,0)uuuruuura2,0) ，AC(a,a, a), DE (a,uuur2uuuruuur15cos uuu

18、rAC ?DEAC, DEuuuruuur15AC ?DE15故 AC 与 DE 所成的角为 arccos15（ 2）Q ADEADF , 所以 AD 在平面 B EDF 内的射影在EDF 的平分线上，又 B EDF 为菱形，DB 为 EDF 的平分线，故直线AD 与平面B EDF所成的角为ADB，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0),B (a,0, a), D (0, a,0)，uuuruuuur( a, a, a)，DA(0, a,0), DB 第12页uuur uuuuruuur uuuur DA ?DB uuur uuuur DA ? DB33故 AD 与平面 B EDF 所成角为

19、arccos33由 A(0,0,0), A (0,0, a), B (a,0, a), D(0, a,0), E( a, a ,0) 所以平面ABCD 的法向量uruuur2r(1, y, z) ， 由为 mAA(0,0, a) 下面 求平面 B EDF 的法 向量 ，设 nuuurauuur(0,a , a) ，ED ( a,0), EB 22ruuur0rn ? EDy2ruuur0， n (1,2,1)n ? EBz1r urur r6m ? nEDF 与平面 ABCD所成的角cos n, mur r6，所以平面Bm ? narccos66点评：（1）设 l1, l2 是两条异面直线，A

20、, B 是 l1 上的任意两点，C , D 是直uuuruuurAB ?CD线 l2 上的任意两点，则l1 ,l 2 所成的角为 arccos uuuruuurAB ?CD（2）设 AB 是平面的斜线，且 B, BC 是斜线 AB 在平面内的射uuuruuurAB?BC影，则斜线 AB 与平面所成的角为 arccos uuuruuur 。AB?BCur uur（ 3 ） 设 n1, n2是 二 面 角l的面 , 的法向量，则ur uururuurn1? n2就是二面角的平面角或补角的大小。n1 , n2arc cos uruurn1? n2例 6：（）证明：建立空间直角坐标系（如图），设 AD

21、=PD=1 ，AB= 2a（ a 0 ），则 E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), F (a, 1 , 1 ) .uuuvuuuv22(0, 1,1)，1)，uuuv由得EFPB (2 a,1,AB (2a,0,0).uuuv uuuv122uuuvuuuv1AB ，EF AB(0,) (2 a,0,0) 0，得 EFAB ，即 EF22同理 EFPB，又 ABI PBB， 所以，EF平面 PAB.第13页（）解：由 AB2BC ，得 2a2 ，即 a2 .2得E( 2,0,0) ， F (2 , 1,1) ， C(2,0,0)

22、 .2222uuuv( 2, 1,0)uuuvuuuv1 ,1) .有 AC， AE(2 , 1,0) ， EF (0,222zPxCFED设平面 AEFuuuv0由n EFuuuv0n AE的法向量为 n( x, y,1) ，AB1111y,0( x, y,1) (0,) 0y2222，22,1,0) 0y 0( x, y,1) (x22解得 y1.于是 n(2,1,1).x2设 AC 与面 AEF 所成的角为uuuv与 n的夹角为uuuv， ACAC ,n .uuuvuuuvn(2, 1,0)(2,1,1)则 sincosAC3 .AC, nuuuvn21 0211AC6得arcsin 3

23、 . 6所以， AC 与平面 AEF 所成角的大小为 arcsin3 .6r的法向量， AB 是平面的一条斜线，则 AB 与平点评：设 n 是平面uuur ruuur r面 所成的角为AB ? nAB ?n。arccos uuur r ，或者 arcsinuuur r2AB ? nAB ? n例 7： 解：建立如图所示空间直角坐标系Cxyz，取 PB 的中点 D ，连 DC ,可证 DCuuur uuurPB ，作 AE PB 于 E ，则向量 DC与 EA 的夹角的大小为二面角 A PBQ A(1,0,0), B(0, 2,0), C (0,0,0),P，D为PB的P(1,0,1)C 的大小

24、。z中点，ExDCA第14页B(1,2,1) ，在 RtVPAB 中， PEAP 21 ，222EBAB 23uuurE(3 ,2 ,3 )uuur1 ,2 ,3)E分 PB的比为 1 ，EA (3444444uuur(1,21uuuruuur1uuur3，DC2,)， EA?DC2, EA222uuuruuuruuur13， 二面角 A1,cos2PC C 的大小为DCEA, DC3132arc cos33例 8：解：如图建立直角坐标系，则B(0,1,0), D( 1,0,0), C(1,1,0),S(0,0,1)uuur1uuuruuur12,0, 1) ，Q SA平面 ABCD , AD

25、平面 SABAD(,0,0), SC(1,1, 1), SD(22uuur所 以 AD 是平 面 SAB 的一个法向量 。 设平面 SCD 的一个 法z 向量rn ( x, y, z)Sruuurr uuurx yz 0由nSCn ? SC0x2zruuur ,r uuur，1 x z 0yzn SDn ? SD 02uuur rruuur r6uuur r2令 z1,1)， cosAD ?n, tan1,n (2,AD ,nuuur r3AD, n2 AAD ? n平面 SCD 与平面 SAB所成的二面角的正切值为22点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平uruur面的

26、法向量的夹角问题， （1）当法向量 n1与n2的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量uruur的夹角的大小。n1与n2ur uur的方向同时指向二面角的内侧或外侧时， 二面角（2）当法向量 n1与n2uruurruur。的大小等于法向量 n1n2 的夹角的补角n , n2与1三、利用向量知识解决平行与垂直问题。yBCDx例 9：解：直三棱柱ABC A1B1C1 底面三边长AC3， BC4，AB 5， AC、BC、C1C 两两垂直，如图，以C 为坐标原点，直线CA 、CB、C1C 分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则C第15页（ 0,0，0），A（3,0，0）

27、，C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（ 3 ，2,0）2（ 1） AC （ 3,0，0）， BC1（ 0， 4,0）， AC ?BC1 0，AC BC1.（2）设 CB1与 C1的交战为，则 （， ） DE （ 3 ，0,2），BEE0,22.uuur1 uuuur2，DEAC 1. DE 平面 CDB1，AC1 （3,0，4）， DE2AC1AC 1平面 CDB1， AC1/平面 CDB1；点评：平行问题的转化：转化转化面面平行线面平行线线平行；例 10 解：以 D 为坐标原点，直线 DA ，DC，DD 1 分别为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系，设D1C1

28、AE=x ，则 A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，A1B1DC0），A （1，0，0）C（0，2，0）AEB（1）因为DA1, D1E(1,0,1), (1, x, 1) 0,所以 DA1D1 E.（2）因为 E 为 AB 的中点，则 E（1，1，0），从而 D1 E (1,1,1), AC (1,2,0) ，r uuur0,AD1( 1,0,1) ，设平面 ACD 1 的法向量为 n(a,b, c) ，则n ? ACr uuuur0,n ? AD1也即a2b0 ，得 a2b ，从而 n ( 2,1,2)，所以点 E 到平面 AD 1Cac0ac的距离为| D1En |2 1

29、2 1.h| n |33（ 3 ） 设 平 面 D1EC 的 法 向 量 n ( a, b, c)， 第16页CE(1, x2,0), D1 C(0,2, 1), DD 1(0,0,1),ruuuur由n ? D C0,2bc01r uuur0,ab(x2) 0.n ?CE n( 2x,1,2).ruuuur依题意 cos| n ? DD1 |2ruuuur4| n | ? | DD1 |2令 b=1, c=2,a=2x，22 .( x2)2 52 x123 （不合，舍去）， x223 .AE= 23 时，二面角 D1ECD 的大小为.4四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。例 11解：

30、直三棱柱 ABCA1B1C1 ， AC3, BC4, AB5, AC , BC ,CC1 两两垂直，以 C 为坐标原点，ZC1直线CA, CB, CC1 分别为x轴 y 轴，zA1轴，建立空间直角坐标系，则 C (0,0, 4), A(3,0,0), C1(0,0,4) ， B(0, 4,0), B1(0, 4,4)Cuuuruuuur(0, 4,4)uuuruuuur0,uuuruuuur（1）Q AC( 3,0,0), BC1， AC ?BC1ACBC1ADxACBCuuuruuur（2）假设在 AB 上存在点 D ，使得 AC1CD ，则 ADAB (3,4 ,0)其中01，则，于是uuuruuuur(3,0,4) ，D(3 3 ,4,0)CD(3 3,4,0)由于 AC1且 AC1 CD所以990 得1 ，所以在 AB 上存在点 D 使得 AC1CD ，且这时点 D与点 B重合。（ 3）假设在AB上存在点D使 得 AC1 / 平面 CDB1， 则uuuruuur( 3, 4,0)其中01则D (33 ,4 ,0)，ADABuuuur