专题七第3讲统计与统计案例(理)(教师).doc

1、专题七概率与统计（理）對 j1拎竝 1 耒叛 . 車起 k 止* -概率与统计应以随机变量及其分布列为中心，求解时应抓住建模、解模、用模这三个基本点 .卩线索一排列组合是求解概率的工具，利用排列组合解题时应抓住特殊元素或特殊位置，注意元素是否相邻及元素是否定序，同时还应注意题中是否还涉及两个计数原理.F 线索二随机变量的均值和方差是概率初步的关键点，解决概率应用问题时，首先要熟悉几种常见的概率类型，熟练掌握其计算公式；其次还要弄清问题所涉及的事件具有什么特点、事件之间有什么联系；再次要明确随机变量所取的值，同时要正确求出所对应的概率.F 线索三统计的主要内容是随机抽样、样本估计总体、变量的相关

2、性，复习时应关注直方图、茎叶图与概率的结合，同时注意直方图与茎叶图的数据特点.专题七第三讲第1页共 15 页简取隧机迪系统抽样分层抽样频率仆布冑方图一总怵佔计?统讣与貌方塞 L标准计秦例T 变 ht 的相关吟一 | 戏性冋 0 丽回归分斷及独性检验第 3 讲统计与统计案例考情解读】 1?该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2. 从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题.nHisHiziiTifit 阳 L 諜是翱韓駆备齡

3、一不可述毎1. 明确直方图的三个结论频率 y(1)小长方形的面积 =组距 X组距频率 .(2)各小长方形的面积之和等于1.频率、亠1小长方形的高 =组距，所有小长方形咼的和为组距 .2. 把握统计中的四个数据特征(1) 众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.(2) 中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据?如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.(3) 平均数：样本数据的算术平均数，即 1x = n( X 1 + x2 + , + xn) ?(4) 方差与标准差方差： E= 1(X1- X)2+ (X2 -X )2+, +(XnX )2.热点分貞突腋专题七

4、第三讲第2页共 15 页热点一抽样方法专题七第三讲第3页共 15 页1.（1）（ 2013 陕西）某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取42 人做问卷调查，将840人按 1,2 ，,，840 随机编号，则抽取的42 人中，编号落入区间481,720 的人数为 （）A.11B.12C.13D.14（2）（ 2014 石家庄高三调研 ）某学校共有师生3 200 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160 的样本，已知从学生中抽取的人数为150 , 那么该学校的教师人数是思维启迪（1）系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽取号码的间隔相同；（ 2）分层抽样最重要的是

5、各层的比例 .答案（1） B200解析（1）由 840 = 20, 即每 20 人抽取 1 人，所以抽取编号落入区间481,720 的人数为720 480 _ 24012.20 20本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为X, 所以 31600 = 160 150, 所以 x= 200.思维升华（1）随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；（2）系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例.2 .（ 1）某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482 ，现采用系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一、高

6、二、高三学生依次随机按1,2,3 , ,1 470 编号，若第 1 组有简单随机抽样方法抽取的号码为23, 则高二应抽取的学生人数为（）A.15B.16C.17D .18（2）（ 2014 广东 ）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和图所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因, 用分层抽样的方法抽取2% 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为503010小学胡中窈中邮级A .200,20B .100,20C .200,10D .100,10答案 (1)C(2)A解析 （1）由系统抽样方法，知按编号依次每30 个编号作为一组，共分49 组，高二学生的编号为 496 到 9

7、88 ，在第 17 组到第 33 组内，第 17 组抽取的编号为 16 X 30+23= 503 , 为高二学生，第 33组抽取的编号为32 X 30 + 23= 983 , 为高二学生，故共抽取高二学生人数为33专题七第三讲第4页共 15 页16= 17, 故选 C.该地区中、小学生总人数为3500 + 2000+ 4500= 10000,则样本容量为10 000 X 2% = 200 ，其中抽取的高中生近视人数为2 000 X 2% X 50% = 20 ，故选 A.热点二用样本估计总体3. （1）（ 2014 山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数

8、据 （单位： kPa ）的分组区间为 12,13 ） ,13,14 ） ,14,15 ） ,15,16 ） ,16,17 ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图 . 已知第一组与第二组共有20 人，第三组中没有疗效的有6 人，则第三组中有疗效的人数为 （）A. 6B. 8C. 12D.（ 2）PM 2.5 是指大气中直径小于或等于2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7 点至晚 8 点甲、乙两个PM 2.5 监测点统计的数据（单位：毫克 /每立方米 ）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是（A?甲B.乙C ?

9、甲乙相等D . 无法确定0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09思维启迪（1）根据第一组与第二组的人数和对应频率估计样本总数，然后利用第三组的频率和无疗效人数计算；（2）直接根据公式计算方差.答案 (1)C(2)A20解析志愿者的总人数为凹 =50,（0.16 + 0.24 X 1所以第三组人数为50X 0.36 = 18,有疗效的人数为18 6= 12.专题七第三讲第5页共 15 页(2) x 甲=(0.042 + 0.053 + 0.059 + 0.061 + 0.062 + 0.066 + 0.071 + 0.073 + 0.073 + 0.084 + 0.086 +

10、0.097) 偉 0.068 9 ,x 乙=(0.041 + 0.042 + 0.043 + 0.046 + 0.059 + 0.062 + 0.069 + 0.079 + 0.087 + 0.092 + 0.094 +0.096) 偉 0.067 5 ,21222s2厉0.068 9) + (0.0530.068 9)+ (0.0970.068 9)戶0.000 212.=( 0.042+21222s =悝 ( 0.041 0.067 5)+ (0.042 0.067 5)+ + (0.096 0.067 5) 戶 0.000 429.所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地.思维升华( 1)

11、反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图. 关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小.4.(1) 某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9 时至 14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9 时至 10 时的销售额为2.5 万元，则 11 时至 12 时的销售额为_万元 .0.35 -0.3(2)(201

12、4 陕西 ) 设样本数据 X1, X2 , , ,X10 的均值和方差分别为1 和 4, 若 yi =片+ a(a 为非零常数， i = 1,2 , , 10) , 则 y1, y2 , , y? 的均值和方差分别为 ()A .1 + a,4B .1 + a,4 + aC.1,4D .1,4 + a答案 (1)10(2)A解析 (1)由频率分布直方图可知 :0.102 50.4025 ，所以x= 10.xX1+X2+,+ X10(2)10= 1 , y i = xi+ a,所以 y1, y2, , , y10 的均值为 1 +a，方差不变仍为 4.故选 A.专题七第三讲第6页共 15 页热点三

13、统计案例5. (1) 以下是某年2 月某地区搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积 x 的数据 .房屋面积 x/m 211511080135105销售价格 y/万元24.821.618.429.222根据上表可得线性回归方程y= bx+ a 中的 b=0.196 2 ，则面积为150 m 2 的房屋的销售价格约为 万元 .(2)(2014 江西 ) 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4 个变量的关系，随机抽查 52 名中学生，得到统计数据如表1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表 1成绩 性另不及格及格总计别、男女总计表 2视力性另另、男女6142010223

14、2163652好差总计41620321220总计表 3智商163652性别男偏咼正常总计81220女82432总计阅读量性别男女163652丰富不丰富总计1462023032专题七第三讲第7页共 15 页总计163652专题七第三讲第8页共 15 页A.成绩B.视力 C.智商 D .阅读量思维启迪 ( 1) 回归直线过样本点中心( 三, y) ；(2)根据列联表，计算K2 的值答案 ( 1)31.244 2(2)D1解析 由表格可知x = 5(115 + 110 + 80+ 135 + 105) = 109, 1y = 5(24.8 + 21.6 + 18.4 + 29.2 + 22) = 2

15、3.2.AA所以 a= bX = 23.2 - 0.196 2 X 109 = 1.814 2.A所以所求线性回归方程为y= 0.196 2x + 1.814 2.A故当 x= 150时，销售价格的估计值为y= 0.196 2 X 150 + 1.814 2 = 31.244 2( 万元 ) .A 中， a=6, b = 14,c= 10 , d= 22,a+ b= 20, c+ d = 32,a+ c = 16,b + d = 36 , n =52,2 52X 6X22 14X10213K 20X32X16X361 440B 中， a 4,b 16,c 12 , d 20 ,a+ b 20,

16、c+ d 32,a + c 16,b+ d 36,n52,52X (4X 2016X 12f 637K 220X32X16X36 360.C 中， a 8,b 12,c 8,d 24,a + b 20,c+ d 32 ,a+ c 16,b + d 36,n 52,52X(8X24 12X 8 $鱼K 220 X 32X 16X 36 10D 中， a 14,b 6,c 2,d 30,a + b 20,c+ d 32 ,a+ c 16,b + d 36,n 52,52X14X306X2 23 757K 220 X32X 16X 36160 .1 440 10 360160 ? ? 与性别有关联的

17、可能性最大的变量是阅读量.思维升华( 1) 线性回归方程求解的关键在于准确求出样本点中心?回归系数的求解可直接把相应数据代入公式中求解，回归常数的确定则需要利用中心点在回归直线上建立方程求解； ( 2)独立性检验问题，要确定2X 2 列联表中的对应数据，然后代入K2( X )计算公式求其值，根据 K2(X )取值范围求解即可.6.(1) 已知 x y 取值如下表：专题七第三讲第9页共 15 页x014568y1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y 与 x 线性相关，且 y 0.95x + a，则 a 等于 ()A.1.30 B .1.45 C . 1.65 D .1.8

18、0某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了20 人，若“身高大于175 厘米”的为“高个”，“身高小于等于175 厘米”的为“非高个”，“脚长大于42 码”的为“大脚”，“脚长小于等于42 码”的为“非大脚” . 得以下2X 2列联表：高个非高个总计大脚527非大脚11213总计61420则在犯错误的概率不超过_ 的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系.(附:P(K 2k)0.050.010.001k3.8416.63510.828)答案 ( 1)B(2)0.011解析( 1) 依题意得， x = 1 X (0 + 1+ 4+ 5 + 6 + 8) = 4,6 1y = 6

19、( 1.3 + 1.8 + 5.6 + 6.1 + 7.4 + 9.3) = 5.25 ;AAA又直线 y= 0.95x + a 必过样本点中心 ( 匚, 7 ), 即点 (4,5.25) ，于是有5.25 = 0.95 X 4+ a，由A此解得 a = 1.45.(2)由题意得220X5X12-1X28.8026.635.K 6X 14X 7X 13 ?而 K26.635 的概率约为0.01 ，所以在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为人的脚的大小与身咼之间有关系 .I 本讲规律总结 F1. 随机抽样的方法有三种，其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况，当总体中的个体数量明显较

20、多时要使用系统抽样，当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样. 系统抽样最重要的特征是“等距”，分层抽样，最重要的是各层的“比例”.2 . 用样本估计总体专题七第三讲第 10页共 15 页(1) 在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.(2) 众数、中位数及平均数的异同：众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量 .(3) 当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体专题七第三讲第 11页共 15 页容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布.X = IXi .总体方

21、差(Xi总体期望的估计，计算样本平均值（标准差 ）的估计：方差 =- X）2，标准差 =. 方差，方差 （标准差 ）较小者较稳定 .AAA3. 线性回归方程y = b x + a 过样本点中心 （x ,y ）, 这为求线性回归方程带来很多方便.4 . 独立性检验2 2（ 1）作出 2 X 2 列联表 . （2）计算随机变量 K （x）的值 . （3）查临界值，检验作答 .真题感悟】7.（ 2014 江苏 ）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60 株树木的底部周长（单位： cm ），所得数据均在区间 80,130 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60 株树木中，有_株树木的底部

22、周长小于100 cm.底部冏答案24解析底部周长在 80,90 ）的频率为 0.015 X 10= 0.15 ,底部周长在 90,100 ）的频率为 0.025 X 10= 0.25 ,样本容量为60, 所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为 （ 0.15 + 0.25 ） X 60= 24.8 ?某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50 辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h 以下的汽车有_辆.答案 20解析 时速在 70 km/h 以下的汽车所占的频率为0.01 X 10+ 0.03 X 10 = 0.4 , 共有 0.

23、4 X 50=20（辆）.9. 某教育出版社在高三期末考试结束后，从某市参与考试的考生中选取600 名学生对在此专题七第三讲第 12页共 15 页期间购买教辅资料的情况进行调研，得到如下数据:购买图书情况只买试题类只买讲解类试题类和讲解类都买人数240200160若该教育出版社计划用分层抽样的方法从这600 人中随机抽取60 人进行座谈，则只买试题类的学生应抽取的人数为_ .答案 24解析 只买试题类的学生应抽取的人数为60X 240 = 24.60010. （2012 山东高考 ）采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1,2, ,960 , 分组后在

24、第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9?抽到的 32人中，编号落入区间1,450 的人做问卷A，编号落入区间 451,750 的人做问卷B，其余的人做问卷 C.则抽到的人中，做问卷B 的人数为 （）A.7B.9C.10D.15思路点拨 由系统抽样的概念可以求解.解析由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为960= 30 , 抽取的号码依次为9,39,69 , ,939. 落入区间 451,750 的有 459,489 , ,729 ，这些数构成首项为459 ，公差为 30的等差数列，设有n 项，显然有729 = 459 + （ n 1） X 30, 解得 n= 10. 所以做问卷 B 的 有

25、10 人 .答案C11. 某校共有学生 2 000 名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1 名，抽到二年级女生的概率是0.19 ，现用分层抽样的方法在全校抽取64 名学生，则应在三年级抽取的学生数为 （）一年级二年级三年级女生373xy男生377370zA.24B. 18C. 16D. 12解析：选 C 依题意可知，二年级女生有380 人，则三年级的学生的人数应是500 ，即总体中各个年级的人数比例为3 : 3 : 2，故在分层抽样中应在三年级抽取到的学生人数为64 X|= 16.配套课时作业 专题七第三讲第 13页共 15 页12.（2012 济南模拟 ）某全日制大学共有学

26、生5 600 人，其中专科生有1 300 人，本科生有3 000 人，研究生 1 300 人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为 280 人，则应在专科生，本科生与研究生这三类学生中分别抽取A .65人， 150 人， 65 人B.30 人， 150人， 100 人C.93人，94 人，93 人D.80 人， 120人，80 人解析：选 A 设应在专科生，本科生与研究生这三类学生中分别抽取x 人， y 人， z 人,则= 佟 0 = 3 -000 = 口 00 ，所以 x= z= 65, y= 150. 所以应在专科生，本科生与研究生280 x这三类学生中分

27、别抽取65 人， 150 人， 65 人.13.（ 2012 陕西高考 ）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,250233得到样本的茎叶图 （如图所示 ），则该样本的中位数、众数、极差分别是12448955577889001L4791 7846,45,5646,45,5347,45,5645,47,53解析：选 A 从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数，即45+ 472=46, 众数为 45, 极差为 68 12= 56.14 .（2012 广州调研 ）设随机变量 X? N且 P(X W 0) = P(Xa 2)，则实数a 的值为（1 ,5 2）,B.D.10解析：选

28、A 由正态分布的性质可知P(X 2)，所以a 2= 2，故 a= 4.15 ? 样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3. 若该样本的平均值为1, 则样本方差为AA/fC/.2D. 2解析：选 D 由题可知样本的平均值为a 亠 0 亠 1 亠 2 亠 31，所以 a 十 0 十 1 十十 3 =1, 解得 a= 1, 所以样本的方差为1 1) 2+ (0 1)2+ (1 1)2+ (2 1)2+ (3 1)2= 2.16. 高三（1）班共有 56 人，学号依次为1,2,3 , ,56, 现用系统抽样的办法抽取一个容量为 4 的样本 ?已知学号为6,34,48 的同学在样本中，那么还有一

29、个同学的学号应为解析：由题意可知，可将学号依次为1,2,3 , ,56 的 56 名同学分成4 组，每组 14 人，抽取的样专题七第三讲第 14页共 15 页本中，若将他们的学号按从小到大的顺序排列，彼此之间会相差14. 故还有一个同学的学号应为6+ 14= 20.答案： 2017.（2012 济南模拟 ）随机变量 E 服从正态分布N（40,d），若 P（&30 ） = 0.2 , 则 P（30 氏50 ）解析：根据正态分布曲线的对称性可得P（ 30 10, 又 a+ b= 1，贝 U 50a - 20 10 ，所以 a 1.519. （2012 郑州质检 ）为加强中学生实践、创新能力和团队精

30、神的培养，促进教育教学改专题七第三讲第 15页共 15 页革，郑州市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛 . 某校举行选拔赛，共有200 名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50 名学生的成绩 （得分均为整数，满分为100 分）进行统计 . 请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：专题七第三讲第 16页共 15 页分组频数频率*60.5? 70.5a0.26- 二70.5? 80.515c二80.5? 90.50.36三18四90.5 ? 100.5bd合计50e若用系统抽样的方法抽取50 个样本，现将所有学生随机地编号为000,001,002 , ,199 ，试写出第二组第一位学生的编号；

31、（2）求出 a，b,c,d，e 的值（直接写出结果 ），并作出频率分布直方图；（3）若成绩在 85.5 ? 95.5 分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人 .解： （1）依题意可知第二组第一位学生的编号为004.a,b,c,d,e 的值分别为13,4,0.30,0.08,1.频率分布直方图如下：（3）被抽到的学生中获二等奖的人数约为9 + 2= 11, 占样本的比例是110.22 ,50即获二等奖的概率为 22% ，所以参赛学生中获二等奖的人数估计为200 X 22% = 44.答：参赛学生中获得二等奖的学生大约有44 人.20.（ 2014 湖南）对一个容量为N 的总体抽

32、取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则（）A . P1= P2P3B . P2= P3P1C . P1= P3 P2D . P1= P2= P3答案 D解析 由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此P1 = P2= P3.专题七第三讲第 17页共 15 页21.某中学高中一年级有400 人，高中二年级有320 人，高中三年级有280 人，现从中抽取专题七第三讲第 18页共 15 页一个容量为200 人的样本，则高中二年级被抽取的人数为（）A.28B .32C.40D.64答案 D解析 由已知，得样本容量为400 + 320 + 280= 1 000 ,所以，高中二年级被抽取的人数为1200 X 320 = 64, 选 D.22. 某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情