高等数学第七版课件12 数列极限

1、第二讲 数列的极限数列的极限数列的极限一、数列极限的概念二、收敛数列的性质数列的极限数列的极限一、数列极限的概念二、收敛数列的性质一、数列极限的概念一、数列极限的概念(一) 引例(二) 数列极限的定义一、数列极限的概念一、数列极限的概念(一) 引例(二) 数列极限的定义（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积s1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：s1 1正六边形：正六边形：（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积s1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：s1 1正六边形：正六边形：s2 2正十二边形：正十二边形：

2、s3 3sn当当n无限增大时无限增大时sn的变化趋势为的变化趋势为s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.越来越接近越来越接近s（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积s1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：s1 1正六边形：正六边形：s2 2正十二边形：正十二边形： s3 3sn当当n无限增大时无限增大时sn的变化趋势为的变化趋势为s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.越来越接近越来越接近s（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积s1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：

3、正三角形：s1 1正六边形：正六边形：s2 2正十二边形：正十二边形： s3 3sn当当n无限增大时无限增大时sn的变化趋势为的变化趋势为s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.越来越接近越来越接近s（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积s1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：s1 1正六边形：正六边形：s2 2正十二边形：正十二边形： s3 3sn当当n无限增大时无限增大时sn的变化趋势为的变化趋势为s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.第一天后：第一天后：越来越接近越来越接近s（一）引例（一）引

4、例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积s1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：s1 1正六边形：正六边形：s2 2正十二边形：正十二边形： s3 3sn当当n无限增大时无限增大时sn的变化趋势为的变化趋势为s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：越来越接近越来越接近s（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积s1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：s1 1正六边形：正六边形：s2 2正十二边形：正十二边形： s3 3sn当当n无限增大时无限增大时sn的变化趋势为

5、的变化趋势为s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n当当n无限增大时无限增大时1/2n的变化趋势为的变化趋势为0越来越接近越来越接近s越来越接近越来越接近0越来越接近越来越接近0江泽民主席在哈佛大江泽民主席在哈佛大学的演讲学的演讲江泽民文选江泽民文选第二卷第第二卷第5959页页（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积s1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：s1 1正六边形：正六边形：s2 2正十二边形：正十二边形： s3 3sn当当n无限

6、增大时无限增大时sn的变化趋势为的变化趋势为s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n当当n无限增大时无限增大时1/2n的变化趋势为的变化趋势为0极限：极限：变量的变化趋势变量的变化趋势越来越接近越来越接近s越来越接近越来越接近0越来越接近越来越接近0（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积s1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：s1 1正六边形：正六边形：s2 2正十二边形：正十二边形： s3 3sn当当n无限增大时无限增大时sn的变化趋

7、势为的变化趋势为s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n当当n无限增大时无限增大时1/2n的变化趋势为的变化趋势为0极限：极限：变量的变化趋势变量的变化趋势越来越接近越来越接近s越来越接近越来越接近0越来越接近越来越接近0（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积s1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：s1 1正六边形：正六边形：s2 2正十二边形：正十二边形： s3 3sn当当n无限增大时无限增大时sn的变化趋势为的变化趋势为s“一尺之棰

8、，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n当当n无限增大时无限增大时1/2n的变化趋势为的变化趋势为0极限：极限：变量的变化趋势变量的变化趋势极限极限方法：方法：在考察变量的变化趋势用到的，用以解决近似与精确、在考察变量的变化趋势用到的，用以解决近似与精确、变量与常量等矛盾的方法变量与常量等矛盾的方法. .近近 似似 值值近近 似似 值值越来越接近越来越接近s精确值精确值越来越接近越来越接近0越来越接近越来越接近0精确值精确值（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积s1.作

9、圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：s1 1正六边形：正六边形：s2 2正十二边形：正十二边形： s3 3sn当当n无限增大时无限增大时sn的变化趋势为的变化趋势为s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n当当n无限增大时无限增大时1/2n的变化趋势为的变化趋势为0极限：极限：变量的变化趋势变量的变化趋势极限极限方法：方法：在考察变量的变化趋势用到的，用以解决近似与精确、在考察变量的变化趋势用到的，用以解决近似与精确、变量与常量等矛盾的方法变量与常量等矛盾的方法

10、. .变变 量量变变 量量越来越接近越来越接近0越来越接近越来越接近0常量常量常量常量越来越接近越来越接近s一、数列极限的概念一、数列极限的概念(一) 引例(二) 数列极限的定义一、数列极限的概念一、数列极限的概念(一) 引例(二) 数列极限的定义（二）数列极限的定义（二）数列极限的定义1数列的概念2数列极限的描述性定义3数列极限的精确定义4数列极限的意义定义：定义：nx如果按照某一法则如果按照某一法则, ,对每个对每个 , ,对应着一个确定对应着一个确定的实数的实数 , ,这些实数这些实数 按照下标按照下标n从小到大排列得从小到大排列得到的一个序列到的一个序列 nnnx,321nxxxx就叫

11、做数列就叫做数列, ,记为记为 . nx表示：表示：(a) 数轴上的一系列点数轴上的一系列点(b) 平面上的一系列点平面上的一系列点1x2x3x4x1 12 23 34 4no oxn1x2x3x4xnxx实质：实质： 自变量为正整数的函数自变量为正整数的函数( ),nnxf nn （二）数列极限的定义（二）数列极限的定义1数列的概念2数列极限的描述性定义3数列极限的精确定义4数列极限的意义（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念1数列的概念2数列极限的描述性定义3数列极限的精确定义4数列极限的意义（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念1数列的概念2数列极限的描述性定义3数列极限的精确定义4

12、数列极限的意义例：例：（1）:11n,311,211,2（2）:11n,43,21,0（3）:)1(1nn,32,211,0（4）:)1(nn,3,2,1（5）:2)1(1n,0,1,0,1增减性增减性依次递减依次递减依次增大依次增大来回摆动来回摆动来回摆动来回摆动来回摆动来回摆动变化趋势变化趋势1 11 11 1无限大无限大无无变化趋势为常数变化趋势为常数数列极限的描述性定义数列极限的描述性定义如果当如果当n无限增大时，无限增大时， nx无限接近于常数无限接近于常数a，则称常数则称常数a为数列为数列 nx 的极限的极限（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念1数列的概念2数列极限的描述性定义

13、3数列极限的精确定义4数列极限的意义（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念1数列的概念2数列极限的描述性定义3数列极限的精确定义4数列极限的意义当当n无限增大时，无限增大时， nx无限接近于常数无限接近于常数a， 当当n无限增大时，无限增大时，axn无限变小无限变小 当当n无限增大时，无限增大时，axn要多小有多小要多小有多小对于任意给定的正数，对于任意给定的正数， 都可以找到一项，都可以找到一项，使得该项以后的所有项，使得该项以后的所有项，axn小于上述给定的正数小于上述给定的正数 当当n无限增大时，无限增大时，n11无限接近于无限接近于110n 取取,10n 当当nn 时，时，例例如果当

14、如果当n无限增大时，无限增大时， nx无限接近于常数无限接近于常数a，则称常数则称常数a为数列为数列 nx 的极限。的极限。 给定给定0.1 欲使欲使 nn11111 . 01 . 0111 n01. 001. 010001. 0100 给定给定0， 欲使欲使nn11111n 取取, 11n 当当nn 时，时，111n数列极限的精确定义：数列极限的精确定义：, 0 即：即：limnnxa 正整数正整数,n当当nn 时时,有有 |axn1.关于关于任意变小任意变小，描述了描述了 与与 的无限接近程度的无限接近程度. .nxa相对固定相对固定，根据给定的根据给定的找找n2.关于关于n依赖于依赖于，

15、有时可记作有时可记作n（）.不唯一不唯一.axnnnn, 0, 0l注注u例例1证明证明02sin1lim nnnu例例2证明证明) 1(1limaannu例例3证明证明) 1(0limqqnnl注注1.记住重要结论记住重要结论2.证明的关键：证明的关键：依据依据找找n（n可以不同）可以不同）3.找找n的方法：的方法： 常用常用“适当放大适当放大”的方的方法法4.放大的技巧：放大的技巧：利用各种不等式利用各种不等式l歌谣：歌谣： 证明规律遵证明规律遵执果索其因执果索其因依据依据找找nn能找到能找到结论断言真结论断言真如何找如何找n适当放大身适当放大身若把技巧问若把技巧问不等式来寻不等式来寻关键

16、要把准关键要把准（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念1数列的概念2数列极限的描述性定义3数列极限的精确定义4数列极限的意义（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念1数列的概念2数列极限的描述性定义3数列极限的精确定义4数列极限的意义1 1几何意义几何意义axaaxnnaxnnnn, 0, 0,nnnnaxa 00 x1x2x2 nx1 nx3x 2 a aa a aannxo2 2粗略说法粗略说法,0 axn“一个时刻一个时刻”，使得在该，使得在该“时刻以时刻以后后”，恒有恒有数列的极限数列的极限一、数列极限的概念二、收敛数列的性质数列的极限数列的极限一、数列极限的概念二、收敛数列的性质二

17、、收敛数列的性质二、收敛数列的性质（一）极限的唯一性（一）极限的唯一性如果数列如果数列 收敛收敛, ,那么它的极限唯一那么它的极限唯一. . nx定理定理1 1（二）收敛数列的有界性（二）收敛数列的有界性数列有界的定义数列有界的定义定理定理2一定有界一定有界. nx nx如果数列如果数列收敛收敛, 那么数列那么数列l注注一定发散一定发散. nx nx如果数列如果数列无界无界, 那么数列那么数列(1)(2) nx如果数列如果数列有界有界,不一定收敛不一定收敛. nx数列数列二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质（三）收敛数列的保号性（三）收敛数列的保号性定理定理3 3推论推论如果如果,limaxn

18、n 且且0 a( (或或0 a) )那么存在正整数那么存在正整数,0 n当当nn 时时, ,都有都有0 nx( (或或0 nx) ) nx如果数列如果数列从某项起有从某项起有0 nx( (或或0 nx) )且且,limaxnn 那么那么0 a( (或或0 a) )二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质（四）收敛数列与其子数列间的关系（四）收敛数列与其子数列间的关系在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列 xn n 中中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列 xn n 的子数的子数列（或子列）列（或子列）. .例如例如,2121knnnxxxxx,1nxl注注子数列概念子数列概念kn第第nk项项第第k 项项knk ,knx,2nx,二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质（四）收敛数列与其子数列间的关系（四）收敛数列与其子数列间的关系l注注定理定理4 :)1(