函数的周期性

1、 我们无惧高考，高考只是我们实现梦想的一个跳板！美文网小编为大家我们无惧高考，高考只是我们实现梦想的一个跳板！美文网小编为大家 收集整理了高三毕业说说，供大家欣赏借鉴！高三毕业说说最新收集整理了高三毕业说说，供大家欣赏借鉴！高三毕业说说最新1.分分 别在即，纵有千言万语一时凝噎，只好挚手相看泪眼别在即，纵有千言万语一时凝噎，只好挚手相看泪眼也许你神往于雪山的也许你神往于雪山的 颜色开一朵雪白的花象心一样纯洁也许你酷爱太阳的火力开一朵火红的花象颜色开一朵雪白的花象心一样纯洁也许你酷爱太阳的火力开一朵火红的花象 梦一样美丽！梦一样美丽！2.我们都曾在人生的海洋中相遇，岁月飘忽，必然会改变许我们都曾

2、在人生的海洋中相遇，岁月飘忽，必然会改变许 多东西。也许，时间会使许多绚烂归于平淡。但是，对你的怀念却是永久的。多东西。也许，时间会使许多绚烂归于平淡。但是，对你的怀念却是永久的。 不变的，只有这份真挚的情谊。不变的，只有这份真挚的情谊。3.水不因石而阻友谊不因远而疏愿友谊长水不因石而阻友谊不因远而疏愿友谊长 存，以最真诚的心祝福你年年平安。存，以最真诚的心祝福你年年平安。4.有一首歌曾轻声地唱过，在年轻的有一首歌曾轻声地唱过，在年轻的 岁月中，或许时间带走一切拥有过的季节岁月中，或许时间带走一切拥有过的季节5.我笑那些想毕业却又在将我笑那些想毕业却又在将 来后悔的青年来后悔的青年6.真的有那

3、么一个女孩，和我一起上课偷吃零食，迟到一起真的有那么一个女孩，和我一起上课偷吃零食，迟到一起 罚站，戴一副耳机听歌。罚站，戴一副耳机听歌。7.毕业，多么刺眼的一个词儿。毕业，多么刺眼的一个词儿。8.努力吧！努力吧！ 为了以后好日子必须幸苦一阵子。为了以后好日子必须幸苦一阵子。9.各奔东西后才知，一别也许就是一世、各奔东西后才知，一别也许就是一世、 10.据说这是最早的呻吟体：据说这是最早的呻吟体：密密封封线线内内不不要要 答答题题11.可不可以不要让毕业和分手划上等号可不可以不要让毕业和分手划上等号12.六月的考试，六月的考试， 谁为我加油？谁为我加油？1 一、函数一、函数周期性周期性的定义的

4、定义 1周期函数周期函数：对于函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数T，使得当，使得当 x取定义域内的任何值时，都有取定义域内的任何值时，都有f(xT) ，那么就称函数，那么就称函数yf(x) 为周期函数，称为周期函数，称T为这个函数的周期为这个函数的周期 2最小正周期：最小正周期：如果在周期函数如果在周期函数f(x)的所有周期中的所有周期中 的的 正数，那么这个最小正数就叫做正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期的最小正周期 3.3.周期不唯一：周期不唯一：若若T T是函数是函数y=f(x)(xR)y=f(x)(xR)的一个周期，则的一个周期，则 nT(

5、nZ,nT(nZ,且且n0)n0)也是也是f(x)f(x)的周期的周期. . f(x) 存在一个最小存在一个最小 考点一、求函数的周期考点一、求函数的周期 例例1 1、函数函数f(x)f(x)对于任意实数对于任意实数x x满足条件满足条件f(x+1)=-f(x),f(x+1)=-f(x),则则f(x)f(x) 的最小正周期为的最小正周期为_._. 【解析解析】f(x+1)=-f(x),f(x+1)=-f(x), f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x)-f(x)=f(x).=f(x). 最小正周期为最小正周期为2.2. 考

6、点二、利用函数的周期求函数值考点二、利用函数的周期求函数值 例例2 2、已知函数已知函数f(x),f(x),对任意对任意xRxR，都有，都有f(x+4)=f(x),f(x+4)=f(x), 且且x(0,2)x(0,2)时，时，f(x)=2 012xf(x)=2 012x2 2, ,则则f(2 013)=_.f(2 013)=_. 【解析解析】f(x+4)=f(x),f(x+4)=f(x), f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为4 4， f(2 013)=f(503f(2 013)=f(5034+1)=f(1)=2 0124+1)=f(1)=2 0121 12 2=2 012.=2 01

7、2. 2 2. .已知定义在已知定义在R R上的奇函数上的奇函数f(x),f(x),满足满足f(x+4)=f(x),f(x+4)=f(x),则则f(8)f(8)的值的值 为为( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 【解析】【解析】选选B.f(x+4)=f(x),B.f(x+4)=f(x), f(x)f(x)是以是以4 4为周期的周期函数，为周期的周期函数， f(8)=f(0).f(8)=f(0). 又函数又函数f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，上的奇函数， f(8)=f(0)=0,f(8)=f(0)=0,故选故选B.B. 【

8、变式训练变式训练】 考点三、函数奇偶性与周期性考点三、函数奇偶性与周期性 3已知已知f(x)在在R上是奇函数，且满足上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当，当x(0,2)时，时， f(x)2x2，则，则f(2 011)() A2 B2 C98 D98 解析：解析：由由f(x4)f(x)，f(x)的周期是的周期是4， f(2 011)f(50243)f(3)f(1)， 又又f(x)为奇函数，为奇函数，f(1)f(1)2. 答案：答案：A 2.5 【变式训练变式训练】 (2012(2012长安模拟长安模拟) )已知定义在已知定义在R R上的偶函数上的偶函数f(x)f(x)，满足，满足 f(4+x

9、)=-f(-x)f(4+x)=-f(-x)，且当，且当xx2,4)2,4)时，时，f(x)=logf(x)=log2 2(x-1)(x-1)，则，则f(2 f(2 010)+f(2 011)010)+f(2 011)的值为的值为( )( ) (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2 【变式训练变式训练】 【解析解析】选选C.f(x)C.f(x)为偶函数，为偶函数，f(4+x)=-f(x).f(4+x)=-f(x). f(x+8)=f(x+4)+4)=-f(4+x)=-f(x+8)=f(x+4)+4)=-f(4+x)=-f(x)-f(x)=f(x),=

10、f(x), f(x)f(x)为以为以8 8为周期的周期函数，为周期的周期函数， f(2 010)=f(251f(2 010)=f(2518+2)=f(2),8+2)=f(2), f(2 011)=f(251f(2 011)=f(2518+3)=f(3),8+3)=f(3), f(2 010)+f(2 011)=f(2)+f(3)=logf(2 010)+f(2 011)=f(2)+f(3)=log2 2(2-1)+log(2-1)+log2 2(3-1)=1.(3-1)=1. 考点四、函数的综合应用考点四、函数的综合应用 设设f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，且对任意实数上的奇

11、函数，且对任意实数x x，恒有，恒有 f(x+1)=f(1-x).f(x+1)=f(1-x).当当xx0,20,2时，时，f(x)=2x-xf(x)=2x-x2 2. . (1)(1)求证：求证：f(x)f(x)是周期函数是周期函数; ; (2)(2)当当xx2,42,4时，求时，求f(x)f(x)的解析式的解析式; ; (3)(3)计算计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013). 【解析解析】(1)f(x+1)=f(1-x),(1)f(x+1)=f(1-x), f(x+2)=f(x+1)+1)f(x+2)=f(x+1)+1) =f(1-

12、(x+1)=f(-x)=-f(x)=f(1-(x+1)=f(-x)=-f(x) f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x).f(x+4)=-f(x+2)=f(x). f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数. . (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又又f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数, , f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=

13、f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1. (2)(2)当当xx-2,0-2,0时，时，-x-x0,20,2，由已知得，由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)f(-x)=2(-x)-(-x)2 2=-2x-x=-2x-x2 2, , 又又f(x)f(x)是奇函数，是奇函数，f(-

14、x)=-f(x)=-2x-xf(-x)=-f(x)=-2x-x2 2, , 当当xx-2,0-2,0时，时，f(x)=xf(x)=x2 2+2x.+2x. 又当又当xx2,42,4时，时，x-4x-4-2,0-2,0,f(x-4)=(x-4),f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4).+2(x-4). 又又f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数，的周期函数， f(x)=f(x-4)=(x-4)f(x)=f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4)=x+2(x-4)=x2 2-6x+8.-6x+8. 从而求得从而求得xx2,42,4时，时， f(x)=xf(x)=x2 2-6x+8

15、.-6x+8. 设函数设函数f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的奇函数，且上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)f(x+2)=-f(x)，当，当xx 0,10,1时，时，f(x)=x.f(x)=x. (1)(1)求求f()f()的值；的值； (2)(2)当当xx-4,4-4,4时，求时，求f(x)f(x)的图像与的图像与x x轴所围成的图形的面轴所围成的图形的面 积积. . 【变式训练变式训练】 【解析解析】(1)(1)由由f(x+2)=-f(x)f(x+2)=-f(x)得得 f(x+4)=-f(x+2)f(x+4)=-f(x+2)，f(x+4)=f(x)f(x+4)=f(x)， 则则

16、f(x)f(x)是以是以4 4为周期的周期函数为周期的周期函数. . f()=f(-1f()=f(-14+)=f(-4)4+)=f(-4)， f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的奇函数，上的奇函数， f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4. f()=-4.f()=-4. (2)(2)由由f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的奇函数与上的奇函数与f(x+2)=-f(x)f(x+2)=-f(x)得得 f(x+2)=f(-x)f(x+2)=f(-x)， 故知函数故知函数y=f(x)y=f(x)的图像关于的图像关于x=1x=1对称，对称，

17、又又xx0,10,1时，时，f(x)=xf(x)=x，且，且f(x)f(x)的图像关于原点对称，则的图像关于原点对称，则 f(x)f(x)的图像如图所示的图像如图所示 当当xx-4,4-4,4时，时，f(x)f(x)的图像与的图像与x x轴所围成的图形的面积为：轴所围成的图形的面积为： S=4SS=4S OABOAB=4 =4( ( 2 21)=4.1)=4. 1 2 【例例3 3】(2011(2011新课标全国卷改编新课标全国卷改编) )已知函数已知函数f(x)f(x)对任意的实对任意的实 数数x x满足：满足：f(x+1)= f(x+1)= 且当且当xx-1,1-1,1时，时，f(x)=x

18、f(x)=x2 2. . (1)(1)求求f(2 012);f(2 012); (2)(2)确定函数确定函数y=f(x)y=f(x)的图像与函数的图像与函数y=|lgx|y=|lgx|的图像的交点个数的图像的交点个数. . 1 f (x) ， 【解题指南解题指南】解答解答(1)(1)题需先由题需先由f(x+1)= f(x+1)= 探究出函数探究出函数f(x)f(x) 的周期，进而利用周期性，求的周期，进而利用周期性，求f(2 012),(2)f(2 012),(2)作出作出y=f(x)y=f(x)及及 y=|lgx|y=|lgx|的图像，从而使问题得解的图像，从而使问题得解. . 1 f (x

19、) 【规范解答规范解答】(1)(1)对任意对任意xR,xR, 都有都有f(x+1)=f(x+1)= f(x+2)=f(x+1)+1)=f(x+2)=f(x+1)+1)= f(x)f(x)是以是以2 2为周期的函数，为周期的函数， f(2 012)=f(2f(2 012)=f(21 006+0)=f(0)=01 006+0)=f(0)=02 2=0.=0. 1 , f (x) 1 f (x1) 1 f (x). 1 f (x) (2)(2)根据根据f(x)f(x)的周期性及的周期性及f(x)f(x)在在-1,1-1,1上的解析式可作图如上的解析式可作图如 下下 可验证当可验证当x=10 x=10

20、时，时，y=|lg10|=1;y=|lg10|=1; x10 x10时，时，|lgx|1,|lgx|1,因此结合图像及数据特点因此结合图像及数据特点y=f(x)y=f(x)与与y=|lgx|y=|lgx| 的图像交点共有的图像交点共有1010个个. . 【反思反思感悟感悟】已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解 析式或图像，则可求在其他区间上的函数值、解析式或画出其析式或图像，则可求在其他区间上的函数值、解析式或画出其 他区间上的图像，关键是用好其周期性进行转化他区间上的图像，关键是用好其周期性进行转化. . 1.(20111.(2011山东高考山东高

21、考) )已知已知f(x)f(x)是是R R上最小正周期为上最小正周期为2 2的周期函数的周期函数, , 且当且当0 x20 x2时时,f(x)=x,f(x)=x3 3-x-x，则函数，则函数y=f(x)y=f(x)的图像在区间的图像在区间0,60,6 上与上与x x轴的交点个数为轴的交点个数为( )( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 【解析解析】选选B.B.令令f(x)=xf(x)=x3 3-x=0,-x=0, 即即x(x+1)(x-1)=0,x(x+1)(x-1)=0,所以所以x=0,1,-1,x=0,1,-1, 因为因为0 x2,0 x2,

22、所以此时函数的零点有两个所以此时函数的零点有两个, ,即与即与x x轴的交点个数轴的交点个数 为为2.2. 因为因为f(x)f(x)是是R R上最小正周期为上最小正周期为2 2的周期函数，的周期函数， 所以所以2x4,4x62x4,4x6上也分别有两个零点，上也分别有两个零点， 由由f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,知知f(6)f(6)也是函数的零点，也是函数的零点， 所以函数所以函数y=f(x)y=f(x)的图像在区间的图像在区间0,60,6上与上与x x轴的交点个数为轴的交点个数为7.7. 【变式训练变式训练】设设f(x)f(x)是定义

23、在是定义在R R上的奇函数，且对任意实数上的奇函数，且对任意实数x x， 恒有恒有f(x+2)=-f(x).f(x+2)=-f(x).当当xx0,20,2时，时，f(x)=2x-xf(x)=2x-x2 2. . (1)(1)求证：求证：f(x)f(x)是周期函数是周期函数. . (2)(2)当当xx2,42,4时，求时，求f(x)f(x)的解析式的解析式. . (3)(3)计算计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013). 【解析解析】(1)f(x+2)=-f(x),(1)f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x)f

24、(x+4)=-f(x+2)=f(x)， f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数. . (2)(2)当当xx-2,0-2,0时，时，-x-x0,20,2，由已知得，由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)f(-x)=2(-x)-(-x)2 2=-2x-x=-2x-x2 2. . 又又f(x)f(x)是奇函数，是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-xf(-x)=-f(x)=-2x-x2 2, , f(x)=xf(x)=x2 2+2x.+2x. 又当又当xx2,42,4时，时，x-4x-4-2,0-2,0, , f(x-4)=(x-4)f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4).+2(x-4). 又又f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数，的周期函数， f(x)=f(x-4)=(x-4)f(x)=f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4)=x+2(x-4)=x2 2-6x+8.-6x+8. 从而求得从而求得xx2,42,4时，时，f(x)=xf(x)=x2 2-6x+8.-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)