圆锥曲线齐次式与点乘双根法

1、，圆锥曲线齐次式与斜率之积和为定值2 2Q-Q2的垂Xy例1： Q,Q2为椭圆 r 2 1上两个动点，且 OQ! 0Q2，过原点0作直线2b b线0D，求D的轨迹方程kx m，解法一常规方法：设QiXi,yJ,Q2X2,y2，DXo,y。，设直线QQ?方程为yy kx m联立 x2 y2化简可得：X y 12b2 b22 2 2 2 2 2 2 2(2b k b )x 4kmb x 2b (m b ) 0 ,所以2 2 2 2 2 2 2b (m b ) b (m 2b k )Xix22722，yiy2b k b2 b k b因为OQ! 0Q2所以X1X2y22 2 2 2 2 2 22b (

2、m b ) b (m 2b k )2, 2 , 2 2, 2 22b k b 2b k b2(m2 b2)k212 2, 2 m 2b k2 k21=03m22b2(1 k2)|又因为直线Q1Q2方程等价于为y yo西(x xo)，即y 鱼x型yoyoyoyo比照于y kx小y。m，那么2X代入中，化简可得:2 2 xy2b2.3Y0my解法二(齐次式)：mx ny1mxny 1设直线Q1Q2方程为mx ny1，联立 x2y22b2b221 x2b22笃1 0b2Xok2x22b2b2 (mx ny)20化简可得：2b2整理成关于x, y x, y的齐次式:同时除以x2，那么x2b2m2x2n

3、 2y22mnxy(2 2b2n2)y22 2 2 2(1 2m b )x 4mnb xy 0 ,进而两边(2 2b2n2)k2 4mn b2k 1 2m2b201 2m2b22 2b2n2因为 OQ, OQ2 OQ, OQ2 所以 k,k21 2m2b22 2b2n23 2b2(m2 n 2)|又因为直线 Q1Q2方程等价于为y y。(x X0)，即 y y02匹xy比照于y0yX。22,xymx ny 1，贝yy22xym代入中，化简可得:222. 2x0y03b2x2例2：椭圆y1，设直线l不经过点P(0,1)的直线交于 代B两点，假设直线PA, PB的斜率之和为1，证明：直线l恒过定点

4、.解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系xpy，如下图:旧坐标新坐标(x,y)(x,y)即(0,1)(0,0)xxA A所以yy 1B B原来kpAkpB1y1 1 y2 1x!x21那么转换到新坐标就成为：y 亘 1x-i x2即 k1 k21设直线I方程为：mx ny 1原方程：x2 4y2 4那么转换到新坐标就成为：x2 4( y 1)2 4展开得：x2 4y2 8y0构造齐次式：x 4y8y(mx ny)0整理为：(48n )y2 8mxy x20两边同时除以x2，那么(4 8n)k2 8mk 1趕1所以2m 2n而 mx ny(n1)x ny 1 n(xxy)310对于任意n都成立

5、.x y那么：2y2，故对应原坐标为X 2所以恒过定点(2, 1).2y 1x2例3:椭圆81，过其上一定点 P(2,1)作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于A,B两点，证明：直线AB斜率为定值.解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系xpy，如下图:1pf1/( AX0)3一 k $旧坐标 新坐标(x,y)(x,y)即(2,1)(0,0)所以 x 2 y y iB原来 kpAkpB01x12yiY2 1o那么转换到新坐标就成为:YlXi 即 k1 k20设直线AB方程为：mx ny 1原方程：x2 4y2 8那么转换到新坐标就成为：(x 2)2 4(y 1)2展开得：x2 4y2 4x 8

6、y0构造齐次式：x 4y4x(mx ny) 8y(mx ny)0整理为：y2(48n) xy(4 n 8m)(1 4m)x20两边同时除以 x2，那么(4 8n)k2 (4n 8m)k 1 4m 0所以 k1 k24n 8m 0 所以 n2m4 8n1 而 mx ny 1 mx ( 2m)y 1 mx 2my 10.所以 k二一81平移变换，斜率不变，所以直线 AB斜率为定值丄.，点乘双根法 例4 :设椭圆中心在原点 0，长轴在x轴上，上顶点为 A，左右顶点分别为 F1, F2，线段0Fi,0F2中点分别为Bi,B2，且 AB1B2是面积为4的直角三角形.(1 )求其椭圆的方程(2)过Bi作直

7、线I交椭圆于P,Q两点，使PB2 QB2，求直线I的方程2 x220(2)易知：直线|不与轴垂直，那么设直线I方程为：y k(x 2) P(x1,y1),Q(x2,y2)因为 PB2 QB2，那么 pb|qb2=q，所以(X1 2, yJ(X2 2, y2)0 任 2)(x22)2)(X22)0川y k(x 2)现联立 x2yx2 5k2(x 2)2 20012042 2 2那么方程x 5k (x 2)200可以等价转化(125k )(x1X)(X2x)02 2 2 2即 x 5k (x 2)20(1 5k )(% x)(X2x)80k2 16令 x 2，4 80k2 20(1 5k2)(x12)(x22)(洛2)(X22)1 5k2令 x 2, 4 0 20 (1 5k2)(%2)(X2 2(X