控制系统的数学描述ppt课件

1、数学模型：描画系统输入、输出变量及内部变量之间因果关数学模型：描画系统输入、输出变量及内部变量之间因果关系的数学表达式。系的数学表达式。 建立数学模型的方法有两种：解析法和实验法。建立数学模型的方法有两种：解析法和实验法。解析法是分析系统各环节运动机理，按照其遵照的物理化学解析法是分析系统各环节运动机理，按照其遵照的物理化学规律列写输入输出变量之间关系的数学表达式。规律列写输入输出变量之间关系的数学表达式。实验法是对系统输入某种测试信号，记录系统或各环节输出实验法是对系统输入某种测试信号，记录系统或各环节输出变量的运动呼应。经过数据处置选择一种数学模型可以近似变量的运动呼应。经过数据处置选择一

2、种数学模型可以近似地表示这种呼应，该过程称为系统辨识。地表示这种呼应，该过程称为系统辨识。 微分方程可以描画被控量系统输出和给定量系统输入微分方程可以描画被控量系统输出和给定量系统输入或扰动量扰动输入之间的函数关系。经过对微分方程的或扰动量扰动输入之间的函数关系。经过对微分方程的求解、特征根分析等方法可以了解系统稳定性、变量动态呼求解、特征根分析等方法可以了解系统稳定性、变量动态呼应轨迹等性能。应轨迹等性能。2.1.1 建立微分方程建立微分方程 建立控制系统的微分方程，需求了解整个系统的组成环节建立控制系统的微分方程，需求了解整个系统的组成环节和任务原理。列写微分方程的普通步骤如下：和任务原理

3、。列写微分方程的普通步骤如下： 2.1 控制系统的微分方程描画控制系统的微分方程描画1分析元件的任务原理和在系统中的作用，确定元件的输入量分析元件的任务原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量必要时还要思索扰动量，并根据需求引进一些中间变和输出量必要时还要思索扰动量，并根据需求引进一些中间变量。量。2根据各元件在任务过程中所遵照的物理或化学定律，按任务根据各元件在任务过程中所遵照的物理或化学定律，按任务条件忽略一些次要要素，并思索相邻元件的彼此影响，列出微分方条件忽略一些次要要素，并思索相邻元件的彼此影响，列出微分方程。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定程。常用的定律

4、有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定律和热力学定律等等。律和热力学定律等等。3消去中间变量后得到描画输出量与输入量包括扰动量关消去中间变量后得到描画输出量与输入量包括扰动量关系的微分方程，即元件的数学模型。系的微分方程，即元件的数学模型。例例 2.1.1 电气系统电气系统 电气系统中最常见的安装是由电阻、电感、电容、电气系统中最常见的安装是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。仅运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻、电感、电容由电阻、电感、电容(无源器件无源器件)组成的电气网络称组成的电气网络称为无源网络。假设电气网络中包含运算放大器为无源网络。假

5、设电气网络中包含运算放大器(有源有源器件器件)，就称为有源网络。，就称为有源网络。例例 由电阻由电阻R、电感、电感L和电容和电容C组成无源网组成无源网络。络。ui输入，输入，uo输出，输出，求微分方程。求微分方程。LCui(t)uo(t)i(t)+R( )( )( )( )oidi tLRi tututdt解解 设回路电流为设回路电流为 i ( t ) 如下图。由基尔霍夫电压定律可得到如下图。由基尔霍夫电压定律可得到式中式中i ( t )是中间变量。是中间变量。i ( t )和和u o( t )的关系为的关系为( )( )odu ti tCdt)()()()(22tutudttduRCdttu

6、dLCiooo消去中间变量消去中间变量i (t )，可得，可得)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo)()()()(22tFtkxdttdxfdttxdm 机械系统指的是存在机械运动的安装，它们遵照物理学的力学定律。机械运动包括直线运动相应的位移称为线位移和转动相应的位移称为角位移两种。例例 一个由弹簧一个由弹簧-质量质量-阻尼器组成阻尼器组成的机械平移系统如下图。的机械平移系统如下图。m为物体为物体质量，质量，k为弹簧系数，为弹簧系数，f 为粘性阻为粘性阻尼系数，外力尼系数，外力F(t)为输入量，位移为输入量，位移x(t)为输出量。列写系统的运动方为输出量。列写系统

7、的运动方程。程。 例例2.1.2 机械系统机械系统xmFkf解解 在物体受外力在物体受外力F的作用下，质量的作用下，质量m相对于初始形状的位移、速相对于初始形状的位移、速度、加速度分别为度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力。设外作用力F为输入量，为输入量，位移位移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二定律，可列出作用在关系和牛顿第二定律，可列出作用在m上的力和加速度之间的关上的力和加速度之间的关系为系为 )()()()(22tFtkxdttdxfdttxdmkxdtdxfFdtxdm22x

8、mFkk和和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反；负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反；粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。 比较上面两个例子可见，虽然它们为两种不同的物理系比较上面两个例子可见，虽然它们为两种不同的物理系统，但它们的数学模型的方式却是一样的，我们把具有一样统，但它们的数学模型的方式却是一样的，我们把具有一样数学模型的不同物理系统称为类似系统，例如上述数学模型的不同物理系统称为类似系统，例如上述RLCRLC串联串联网络系统和弹簧网络系统和弹簧- -质量质量-

9、 -阻尼器系统即为一对类似系统，故可阻尼器系统即为一对类似系统，故可用电子线路来模拟机械平移系统。在类似系统中，占据相应用电子线路来模拟机械平移系统。在类似系统中，占据相应位置的物理量称为类似量。位置的物理量称为类似量。Raei(t)LaiaemTJfif=常数)(to P13 图2-4 电枢控制 直流电动机 电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机电机电枢输入电压电机输出转角电枢绕组电阻电枢绕组电感流过电枢绕组的电流电机感应反电动势电机转矩电机及负载折合到电机轴上的转动惯量电机及负载折合到电机轴上的粘性摩擦系数例例2.1.3 机电系统机电系统 反电势常数反电势常数其中，其中，根据电磁感应定律

10、，有根据电磁感应定律，有KKeeoemdttdt 2o2odttdJdttdftT ，有，有根据牛顿第二定律定律根据牛顿第二定律定律 tdttditteLiRemaaaai 根根据据基基尔尔霍霍夫夫定定律律，有有Raei(t)LaiaemTJfif=常数)(to P13 图2-4 电枢控制 直流电动机 电电机机力力矩矩常常数数其其中中，作作用用定定律律，有有根根据据磁磁场场对对载载流流线线圈圈的的KiKTaTttT 将上面四个方程联立，可得 tdttdadttJfdttJeKKKfRdRLdLiToeT2o2aa3o3a tdttdadttJeKKKfRdRiToeT2o2a 化为：化为：若忽

11、略电枢电感，可简若忽略电枢电感，可简思索到思索到: :dtd)(teKdtdTimm可将上式改写成可将上式改写成 可知：对于同一个系统，假设从不同的角度可知：对于同一个系统，假设从不同的角度研讨问题，那么所得出的数学模型式不一样研讨问题，那么所得出的数学模型式不一样的。的。 电机时间常数电机时间常数 电机传送系数电机传送系数)/()/(TeaTmTeaamkkfRkKkkfRJRT tdttddttJeKKKfRdRiToeToaa22 注：通常将微分方程写成规范方式，即将与输入量有关的各注：通常将微分方程写成规范方式，即将与输入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程的左边。项

12、写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降阶顺序陈列。方程两边各导数项均按降阶顺序陈列。单输入、单输出系统微分方程的普通方式： mntxtxtttxtxttimimmmononnnbbxbxbaaxaxaiioo其中： 11101110 实践工程中，构成系统的元件都具有不同程度实践工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如以下图所示。的非线性，如以下图所示。放大器饱和 电机死区 齿轮间隙 继电器开关特性2.1.2 2.1.2 非线性系统的线性化非线性系统的线性化严厉讲：严厉讲： 一切系统都是非线性的一切系统都是非线性的虽然线性系统的实际曾经相当成熟，但非线性

13、系统的实际还远不完善。另外，迭加原理不适用于非线性系统，这给解非线性系统带来很大不便。故我们尽量对所研讨的系统进展线性化处置，然后用线性实际进展分析。实际证明，这样做可以圆满地处理许多工程问题，有很大的实践意义。线性化条件：非线性要素对系统影响很小系统变量只发生微小偏移，可经过切线法进展线性化，求其增量方程 不是各个变量的绝对数量，不是各个变量的绝对数量，而是它们偏离平衡点的量而是它们偏离平衡点的量y=f(r)r元件的输入信号，元件的输入信号，y元件的输出信号元件的输出信号0r0r0+ry0y0+yyAB略去高次项，略去高次项，00220002( )1( )( )()()2!r rr rdf

14、rd f ryf rrrrrdrdr000( )()r rdf ryyrrdr设原运转于某平衡点静态任务点设原运转于某平衡点静态任务点A A点：点：r=r0 , y=y0 ,r=r0 , y=y0 ,且且y0=f(r0)y0=f(r0)B B点：当点：当r r变化变化 r r， y=y0+ y=y0+ y y函数在函数在r0 , y0 r0 , y0 点延续可微，在点延续可微，在A A点展开成泰勒级数，即点展开成泰勒级数，即0( ),r rdf rKdryK r )(to mTi(t)P15 图2-5 单摆l 222sin )( dttdmlltmgtTooi ：根据牛顿第二定律，有根据牛顿第

15、二定律，有 !5!3sin 0sin 53oooooo 台台劳劳级级数数展展开开，得得：附附近近用用在在将将 单摆 sin oo 忽忽略略高高阶阶小小量量，则则 tTtmgldttdmlioo 222 线性化步骤：线性化步骤：找出静态任务点任务点不同，找出静态任务点任务点不同，所得方程系数也不同所得方程系数也不同在任务点附近展开成泰勒级数在任务点附近展开成泰勒级数略去高阶项，得到关于增量的线略去高阶项，得到关于增量的线性化方程性化方程是分析工程控制系统的根本数学方法时域微分方程复变函数代数方程拉氏变换拉氏反变换2.2.1 拉氏变换定义对于函数 ，满足以下条件 tx 正实数正实数，其中，其中、

16、dttxet02 续续。在在每每个个有有限限区区间间分分段段连连时时，当当时时，、当当txttxt0 ;001 dttxtxLsXsXtxest0 的的拉拉氏氏变变换换为为则则可可定定义义象函数原函数例2.2.1 单位阶跃函数 t1 00101,ttt ssdtttLeestst101110 0t1例2.2.2 指数函数 tet1 ssdtdtttLeeeeetstssttt10111000t1sinjcos sinjcos eejj根据欧拉公式： 的的结结果果。可可利利用用tLet1 t1tcost1tsin.2.32和余弦函数正弦函数例 2cos2sineeeejjjjj 则则 22222

17、22221)(211121 121sinsjsjjjsjsjsjjsjsjtjLttLeetjtj 221121 121cos ssjsjstLttLeetjtj同理：同理：例2.2.4幂函数 ttn1 ！则设n)n(ndxexn0)x(d)e()e(x)e(dxdxexdxex)1n(dxex)( 0 x1n 0 nx0 xn 0 xn 0 xn 0 x11n 0 x10t1n1n 0 xn1nst 0 nns!ns)1n(dxexs1dtet)t ( 1t Ldxs1dtsxt,stx根据定义有则令应记住的一些简单函数的拉氏变换 12222 1 1cos 1sin-s1 1s1 1 nnt

18、sn!tssttsttttte 象函数象函数原函数原函数2.2.2 拉氏变换的性质及运用叠加性质 则设 ,st stXxXx2211LL 积分的性质易得出。根据拉氏变换的定义和为常数。、basbSatbtaXXxxL2121 sbsadtetbdtetadtetbdtetadte tbtatbtaXXxxxxxxxx21 0 st2 0 st1 0 st2 0 st1 0 st2121L 0 xsXstxdtdL微分定理dttdxLssxdtedttdxssxtdxsesetxesdtxdtetxtxLststststst)(1)0()(1)0()()()1()()()(00 0 00 0 x

19、sXstxdtdL微分定理 00001221nnnnnnnxsxxsxssXsdttxdL sXsdttxdLxxxxnnnnn 0000012若：两个重要推论： 1210000 0nnnnnnnntnfffF sLf tdtssssff tdt 式中，符号积分定理积分定理 110 fF sLf t dtftf t dtss其中 12 0000 nnnnfffF sLf tdts 若两个推论：两个推论：4 衰减定理 sXtxLet 2222cos cos : cos sstLsstLtLeett已知已知解解求求例：例：原函数衰减，象函数超前原函数衰减，象函数超前5 延时定理延时定理 sFttf

20、Les 100 ttf1 ttf1原函数滞后，象函数衰减原函数滞后，象函数衰减求求其其拉拉氏氏变变换换。，例例：已已知知)6t ( 1)32t(4sin)( tfs62222e2s24) s (Fs tsinL ，则则已已知知留意：留意：f(t)表达式里一切的表达式里一切的t 都要延时！都要延时！6 初值定理 ssXtx limlims0t)(lim)(lim)0(lim)(lim0)0()(lim)(lim)0()()()(000ssXtxxssXxssXdtedttdxxssXdtedttdxdttdxLstsssstsst0sin 220limlim sstst求求例例：)(lim)(l

21、im)0()(lim)0()(lim)0(lim)(lim)()0()(lim)(lim)0()()()(000000000ssXtxxssXxtxxssXdtdttdxxssXdtedttdxxssXdtedttdxdttdxLststsssstsst终值定理 ssXtxstlimlim0 平面。的极点全在左半即有稳态解，的终值存在，即使用条件： s sXtxtx无终值。平面。在虚轴上，而不在左半的极点求例： tsin s js stsinL tsin 22tlim)()()()()()(,000asaXwaXdexadaexdteatxatxLwasatwwst8 时间比例尺改动的象函数

22、asaXatxL2222221)2(21 2sin)( sin 2sin ssFtLsFstLtL求例： 9 tx(t)的象函数 dssdXttxL)()(nnnndssXdtxtL)() 1()(10 的象函数 ttx )(sdssXttxL)()(11 周期函数的象函数 txTtx 设设： dtetxetxLstTsT 011则则：12 卷积分的象函数 sYsXtytxL dytxtytxt0例2-1 求单位脉冲函数的象函数 00000 , 0 0 ,1lim0tttttttt或或 0t0t01 t 0000000111lim11lim00tttttttttttt 解解： 1! 21111

23、lim 111lim22000000000 stststessttLtstt 例 求象函数 )( 16132cos4)(5tetttft 1)( 1 22cos22stLsstL)( 161)6(2cos4)( 16132cos4)(55tetttetttftt 51 24)(226ssestfLs2.2.3 拉氏反变换 dssXjtxestjj21 :公式 sXLtx1 简记为：拉氏反变换方法：利用拉氏变换表利用部分分式展开法，然后再利用知函数的拉氏变换和拉氏变换的性质控制系统象函数的普通方式： 将分母因式分解后，包括三种不同的极点情况，采用部分分式法进展拉氏反变换 mnsssXaasasb

24、bsbsbnnnnmmmm 1111110使分子为零的S值称为函数的零点使分母为零的S值称为函数的极点1、只含有不同单极点情况： nn1n1n2211n21m1m1m1m0n1n1n1nm1m1m1m0psapsa psapsa ssss mn sssXpppbbsbsbaasasbbsbsb对分母分解因式再分解为部分分式 pkskkkkpssXa psa上的留数，为极点 t1aaasFLtxeeetpntp2tp11n21 的拉氏反变换求例 2s3s3ssX 6 . 2 . 22 2sa1sa2s1s3s 2s3s3ssX21212s2s1s3sa21s2s1s3sa2s21s1 2112

25、sssX teetxtt122 -即含有不可因式分解的二次因式即含有不可因式分解的二次因式21221dsdsese 将右边的部分分式通分将右边的部分分式通分,按分子分母对应项系数相按分子分母对应项系数相等的原那么得到关于待定系数的方程组等的原那么得到关于待定系数的方程组,求解即可求解即可.21221dsdsese 的原函数求法的原函数求法配方配方,利用利用 22)()( 1sin stteLt 22)()( 1cos sstteLt2 2、含有共扼复极点情况：、含有共扼复极点情况：sss1sL 7 . 2 . 2231例 sassasassssssss32212231111 1 1 01 33

26、2313323221 aaaaasasasasasa有有：通通分分、比比较较系系数数1 012 aa1-10 111 223ssssssss sssssssssss12321233323212112321332321112222222 )(1123sin3323cos)(2121ttttxeett3、含有多重极点情况： lllmmmmnnnnmmmmpspspspspspspspsbsbsbsbmnasasasbsbsbsbsX 221111112111101111110其中 的求法： 111111111111!11!1pspsjjjpspspssXdsdpssXdsdjpssXdsdpssX

27、 32111s3s2sLsXL: 8 . 2 . 2求例 1111321223332sssssssX 12s2dsd213s2sdsd!2102s23s2sdsd21s1s3s2s1s1s22211s1s221s3323 其其中中： ttxsssXeettt1 111223即： 的的拉拉氏氏反反变变换换求求例例)1()2(3: 2 ssssX 1221122 scsssX 解解： 2 1 222)( sssX2 13 sss 2222123 sssss 1 213 sssdsd22)1()3()1( ssss2 1c 11)( sssX 1223 sss2 1222212 ssssX tx )

28、( 12222teetettt 用拉氏变换解微分方程的步骤：用拉氏变换解微分方程的步骤：1.对微分方程进展拉氏变换，转换成以象对微分方程进展拉氏变换，转换成以象函数为变量的代数方程；函数为变量的代数方程；2. 解代数方程，求出象函数表达式；解代数方程，求出象函数表达式；3. 作拉氏反变换，求出微分方程的时间解。作拉氏反变换，求出微分方程的时间解。 s6sY60yssY50y0sysYs2 解解： 20, 20y 665 82 yyyy 其其中中：解解方方程程例例 3s42s5s13s2ss6s12s2sY20y,22 代入，并整理，得代入，并整理，得将将0y t3t2e4e51ty 2.32.

29、3控制系统的传送函数描画控制系统的传送函数描画1. 定义定义 零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传送函换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传送函数，记为数，记为G(s)，即：，即： ( )( )( ) ( )( )L y tY sG sL r tR s意义：意义：( )( ) ( )Y sRGss( )Y s)(sG( )R s 传送函数的求法传送函数的求法 线性定常系统环节的普通表达式零初始条件线性定常系统环节的普通表达式零初始条件1110111101( )( )( ).( )( )( )( ).( )nn

30、nnnnmmmmmmd y tdy tdy taaaa y tdtdtdtd r tdr tdr tbbbb r tdtdtdt11101110. ( ). ( )nnnnmmmma sasa sa Y sb sbsbsb R s11101110.( )( )( ).mmmmnnnnb sbsbsbY sG sR sa sasa sa当初始条件为零时，对上式进展拉氏变换后可得传送函数为当初始条件为零时，对上式进展拉氏变换后可得传送函数为( )1( )( )1oiUsG sU sRCs例例2.9 求图示求图示RC电路的传送函数，其中电路的传送函数，其中ui(t)是输是输入电压，入电压， uo(t

31、)是输出电压是输出电压 ( )( )( )ooidutRCututdt(1)( )( )oiRCsUsU s解解 由基尔霍夫电压定律可得由基尔霍夫电压定律可得iCiuouR2. 关于传送函数的几点补充阐明关于传送函数的几点补充阐明 1传送函数只适用于线性定常系统。传送函数只适用于线性定常系统。 2传送函数表达式中各项系数的值完全取决于系统的传送函数表达式中各项系数的值完全取决于系统的构造和参数，并且与微分方程中各导数项的系数相对应。构造和参数，并且与微分方程中各导数项的系数相对应。 3实践系统传送函数中分母多项式的阶数实践系统传送函数中分母多项式的阶数n总是大于或总是大于或等于分子多项式的阶数

32、等于分子多项式的阶数m ，即，即nm。通常将分母多项式的阶。通常将分母多项式的阶数为数为n的系统称为的系统称为n阶系统。阶系统。 4传送函数只能表示单输入、单输出的关系。传送函数只能表示单输入、单输出的关系。1110111011.()( )( )( )().mimmmmnnnnignjjszMb sbsbsbsG sKNa sasa sssap上式中上式中 Kg零极点方式传送函数的根轨迹增益零极点方式传送函数的根轨迹增益 ； -zi 分子多项式分子多项式M(s)=0的根，称为零点；的根，称为零点； -pj 分母多项式分母多项式N(s)的根，称为极点。的根，称为极点。N(s)=0是控制系统的特征

33、方程式。是控制系统的特征方程式。zi、pj可为实数、虚可为实数、虚数、或复数。假设为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭数、或复数。假设为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭复数。复数。5零极点表示法零极点表示法6时间常数表示法时间常数表示法 上式中上式中 i分子各因子的时间常数分子各因子的时间常数 ； Tj分母各因子的时间常数分母各因子的时间常数 ； K 时间常数方式传送函数的增益；通常称为传送系数。时间常数方式传送函数的增益；通常称为传送系数。11101110.(.)mmmmnnnnb sbsbsba sasa saG s11(1)(1)miinjjsKT s121222112211()(2)

34、( )()(2)mmlikkkgiknnvjllljlszssK sG ssspss 121222112211(1)(21)( )(1)(21)mmikkkliknnvjllljlsssKsG ssT sT sTs 121222nvnnmlmm 普通方式普通方式 一个系统可看成由一些环节组成的，能够是电气的，机一个系统可看成由一些环节组成的，能够是电气的，机械的，液压的，气动的等等。虽然这些系统的物理本质差别械的，液压的，气动的等等。虽然这些系统的物理本质差别很大，但是描画他们的动态性能的传送函数能够是一样的。很大，但是描画他们的动态性能的传送函数能够是一样的。假设我们从数学的表达式出发，普通

35、可将一个复杂的系统分假设我们从数学的表达式出发，普通可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典型环节的传送为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典型环节的传送函数来，以便于分析及研讨复杂的系统。函数来，以便于分析及研讨复杂的系统。 控制系统中常用的典型环节有，比例环节、惯性环节、控制系统中常用的典型环节有，比例环节、惯性环节、 微分环节、微分环节、 积分环节和振荡环节等。以下引见这些环节的传积分环节和振荡环节等。以下引见这些环节的传送函数及其推导。送函数及其推导。 2.3.2 典型环节及其传送函数典型环节及其传送函数( )( )( )(y tKr tG sK微方：传递函数：增

36、益、放大系数）方框图：方框图：K( )R s( )Y s1. 比例环节放大环节比例环节放大环节 特点：输出量与输入量成正比，不失真也不延时。 举例：这种类型的环节很多，机械系统中略去弹性的杠杆、作为丈量元件的测速发电机(输入为角速度，输出为电压时)以及电子放大器等，在一定条件下都可以以为是比例环节。例例2-9 _ + ui(t) uo(t) R1 R2 1212121221 )(00RRKRRsUsUsGsURRsUtuRRtuRtuRtuioioiooi拉氏变换后有( )1( )( )1Y sG sR sTs传递函数：方框图：方框图：1/(Ts+1)( )Y s( )R s( )( )( )

37、dy tTy tr tdt一阶微方：2. 惯性环节惯性环节 特点：惯性环节的特点是其输出量不能立刻跟随输入量变化，存在时间上的延迟。其中时间常数越大，环节的惯性越大，那么延迟的时间也越长。 例例2-11 无源滤波电路无源滤波电路 ui(t) uo(t) R C i(t) )( 11)() 1 )(1)(1)()(1)(1)(TRCRCSsUsUsGsURCSsUsICssUsICsRsIsUdttiCtudttiCRtituiooioioi则（消去中间变量得1111)()(1RCscsRcssUsULscsRio、阻抗分别为：电阻、电容、电感的复利用复阻抗的概念： sDsXsKXsKXdttd

38、xDtxtxKooiooi 11sKDKDsKsXsXsGio例2-12弹簧-阻尼系统1.00.20.40.60.80.630.870.950.980.99T2T3T4T5Tr(t)ty(t)例 设 输 入 信 号 为 单 位 阶 跃 信 号 ， 其 拉 普 拉 斯 变例 设 输 入 信 号 为 单 位 阶 跃 信 号 ， 其 拉 普 拉 斯 变换换 ，那么得输出量的拉普拉斯变换表达式为，那么得输出量的拉普拉斯变换表达式为ssR1)(TsssTssY111111)(01)(tetyTt在单位阶跃输在单位阶跃输入信号的作用入信号的作用下，惯性环节下，惯性环节的输出信号是的输出信号是指数函数。当指

39、数函数。当时间时间t=(34)T时，时，输出量才接近输出量才接近其稳态值。其稳态值。 微分环节 理想微分环节 KssXsXsGsKsXsXtxKtxKssGioioio KsssUsGsKssUtKtuioioio 永磁式直流测速机近似微分环节 1TsKTssG 11 RCsRCsCsRRsssGUUiouiuoRC1 KRCT其中：其中：特点：输出正比于输入对时间的积分。特点：输出正比于输入对时间的积分。4. 积分环节积分环节( )( )1( )tr t dtG ss微分方程：y传递函数：方框图：1/s( )Y s( )R s在单位阶跃输入信号的作用下，输出量的拉普拉斯变换表在单位阶跃输入信

40、号的作用下，输出量的拉普拉斯变换表达式为达式为21( )( ) ( )Y sG s R ss( )y tt输出量随时间成正比地无限添加输出量随时间成正比地无限添加 4. 二阶振荡环节二阶振荡环节222221( )2121nnnnG sT sTsssT传递函数为时：间数(=常(=常) )01n为自然角频为荡环节率率，阻阻尼尼比比，表表示示振振。222( )( )2( )( )d y tdy tTTy tr tdtdt微分方程：方框图：方框图：2222nnnss( )R s( )Y s 振荡环节阶跃呼应例例 无源无源RLC网络，输入网络，输入r(t) ， 输出输出y(t) 。LRLCRCTLCTn

41、n/2)/(1222解：221( )11/()/1/()G sLCsRCsLCsRs LLC21/()/22nTLCR LCLLCR LCR LLCL( )y t)(tiLRC( )r t6. 延迟环节延迟环节( )()( )sy tr tG se微分环节：传递函数：方框图：方框图：se( )R s( )Y s( )r t( )y ttt00将延迟环节的传送函数展开为泰勒级数：将延迟环节的传送函数展开为泰勒级数：2211( )112!ssG seess当延迟时间很小时，可近似为惯性环节：当延迟时间很小时，可近似为惯性环节：1( )1sG ses特点：特点： 1、输出和输入一样仅延迟时间、输出和

42、输入一样仅延迟时间；不失真；不失真 2、与其他环节同时存在。人体、计算机系统、与其他环节同时存在。人体、计算机系统、液压机械传动、气动传动。液压机械传动、气动传动。缘由：延时效应。信号输入环节后，由于环节传送缘由：延时效应。信号输入环节后，由于环节传送信号的速度有限。输出呼应要延迟一段时间信号的速度有限。输出呼应要延迟一段时间才干产才干产生。生。2.4.1 方块图的根本概念方块图的根本概念 系统方块图又称构造图，是将系统中一切的系统方块图又称构造图，是将系统中一切的环节用方块来表示，按照系统中各个环节之间的环节用方块来表示，按照系统中各个环节之间的联络，将各方块衔接起来构成的；方块的一端为联络

43、，将各方块衔接起来构成的；方块的一端为相应环节的输入信号，另一端为输出信号，用箭相应环节的输入信号，另一端为输出信号，用箭头表示信号传送的方向，并在方块内标明相应环头表示信号传送的方向，并在方块内标明相应环节的传送函数。节的传送函数。阐明了系统的组成、信号的传送方向；阐明了系统的组成、信号的传送方向；表示出了系统信号传送过程中的数学关系；表示出了系统信号传送过程中的数学关系；可提示、评价各环节对系统的影响；可提示、评价各环节对系统的影响；易构成整个系统，并简化写出整个系统的传送函数；易构成整个系统，并简化写出整个系统的传送函数；直观、方便图解法。直观、方便图解法。( )R s)(sG( )E

44、s( )Y s2.4 控制系统的动态构造图控制系统的动态构造图2.4.2 组成组成 相加点综合点、比较点相加点综合点、比较点 一样性质的信号进展去取代数和一样性质的信号进展去取代数和 一样量纲的物理量一样量纲的物理量G(s)R(s)Y(s) 方块：一个元件环节的传送函数方块：一个元件环节的传送函数 信号流线：箭头表示信号传送方向信号流线：箭头表示信号传送方向 分支点：信号多路输出且相等分支点：信号多路输出且相等1. 分析系统各环节物理规律，列写微分方程。分析系统各环节物理规律，列写微分方程。2. 对每个环节的微分方程进展拉式变换，得到对应对每个环节的微分方程进展拉式变换，得到对应的传送函数。的

45、传送函数。3. 绘出各环节的方块图绘出各环节的方块图,标明输入量、输出量标明输入量、输出量3.将同一信号的通路衔接在一同将同一信号的通路衔接在一同,组成完好的方块图组成完好的方块图动态构造框图可以笼统而明确的表达动态过程中系统各环节动态构造框图可以笼统而明确的表达动态过程中系统各环节的数学模型及相关关系，是系统图形化的动态模型。主要绘的数学模型及相关关系，是系统图形化的动态模型。主要绘制步骤：制步骤：例例2.4.1 汽车在凸凹不平的路面行驶，轮胎质量为汽车在凸凹不平的路面行驶，轮胎质量为 ,其弹性可等其弹性可等效为一个弹簧，汽车质量为效为一个弹簧，汽车质量为 。假设以路面的高低位移变化为。假设

46、以路面的高低位移变化为输入输入xi(t)，车体垂直位移为输出，车体垂直位移为输出x0(t)，那么汽车承载系统的简化，那么汽车承载系统的简化力学模型如下图。试建立系统的动态构造方框图。力学模型如下图。试建立系统的动态构造方框图。sF )()()(22sXsXksFis DKF )()()(222sXsMsFsFDKs )()()()(21sXsXDsksFoDK DKF )()(21sXsMsFoDK )()(1)(222sFsFsMsXDKs )(1)(21sFsMsXDKo 2 2M M1 1M MDKF )()()(22sXsXksFis )()()()(21sXsXDsksFoDK )(

47、1)(21sFsMsXDKo )()(1)(222sFsFsMsXDKs DKFDKF421112221121112222111222)(1)(11)()()()(SMMSDkkSMSDkSMSDkSMkSMSDkSMkSXSXSGio)()()(11sIRsUsUAi sCsIsIsUA121)()()( )()()(22sIRsUsUoA sCsIsUo22)()( 例例2.4.3 2.4.3 试求图示力学模型的传送试求图示力学模型的传送函数。其中函数。其中 xi(t) xi(t) 为输入位移，为输入位移，xo(t) xo(t) 为输出位移，为输出位移，k1k1、k2k2为弹性为弹性刚度，

48、刚度，D1D1、D2D2为粘性阻尼系数。为粘性阻尼系数。解：粘性阻尼系数为解：粘性阻尼系数为D D的阻尼筒可的阻尼筒可等效为弹性刚度为等效为弹性刚度为DSDS的弹性元件。的弹性元件。并联弹簧的弹性刚度等于各弹簧并联弹簧的弹性刚度等于各弹簧弹性刚度之和，而串联弹簧弹性弹性刚度之和，而串联弹簧弹性刚度的倒数等于各弹簧弹性刚度刚度的倒数等于各弹簧弹性刚度的倒数之和。的倒数之和。 k1f1xi(t)xo(t)弹簧 -阻尼 系统f2k2ABx1(t)量纲相同与得到第一条结论初始状态为取拉氏变换点进行受力分析对kDSXXSDXXkxxDxxkAii) 1 ()0(01111011111D2D。为并联两弹簧

49、的弹性刚度其中又由即，为串联两弹簧的弹性刚度其中左端代入式可知由取拉氏变换点受力分析对SDkKSDkKXKXSDkSFSDkKSDkSDkKSDkSDkKXXKSDkXXSDkSFSDkXkXkSDXSDkSXDXkSDSFSDkSXDXkXSFSXDXkXXSDxDxkxxDBoooioioiOOiOiOOOoo222222222111111111111111111111111111111111221122011,)()()2()4(111),()()()()()2()3()3() 1 ()2()(型可化为下图：经等效后，上述力学模XiXoBK1K2F(S)F(S)ooiooiXSDkXXS

50、DkSDkSFXKXXKSF)()()()()(22111121可画出该系统的函数方框图：+SDkSDk1111SDk221F(S)Xo(S)Xi(S)-根据方框图，可得该系统的闭环传送函数为：1)(111)()()(2221112212121221111221111SkDkDkDSkkDDSkDSDkSDkSDkSDkSDkSDkSXSXSGio2.4.2 动态构造图的等效变换及简化动态构造图的等效变换及简化 G1(s)G3(s)G2(s)( )R s( )Y s2( )Y s1( )Y s1. 环节的合并环节的合并1 串联串联G1(s) G2(s) G3(s) ( )R s( )Y s1(

51、 )( )niiG sG s2并联并联G1(s)G2(s)( )R s1( )Y s2( )Ys( )Y sG3(s)3( )Y sG1(s) +G2(s) +G3(s) ( )R s( )Y s1( )( )niiG sG s3 反响反响1( )( ) ( )Y sG s E s11( )( )( )( )1( )( )G sY sG sR sG s H s( )( )( )( )( )( )E sR sB sR sY s H s1( )( ) ( )( )( )Y sG s R sY s H s)(sB( )R sG1(s)H(s)( )Y s)(sEG1(S)G1(S)为前向通道的传送函

52、数，为前向通道的传送函数，H(S)H(S)为反响通道的传送函数为反响通道的传送函数G1(S)H(S)G1(S)H(S)为闭环系统的开环传送函数为闭环系统的开环传送函数2. 框图等效变换原那么框图等效变换原那么 在对系统进展分析时，为了简化系统的构造在对系统进展分析时，为了简化系统的构造图，经常需求对信号的分支点或相加点进展变位图，经常需求对信号的分支点或相加点进展变位运算，以便消除交叉，求出总的传送函数。运算，以便消除交叉，求出总的传送函数。 变位运算的原那么是，输入和输出都不变。变位运算的原那么是，输入和输出都不变。变换前后的方框图是等效的。变换前后的方框图是等效的。前移1( )R s( )

53、Y sG(s)2( )R s2( )R sG(s)( )Y s1( )R s1/G(s)相相加加点点进进入入和和出出去去的的信信号号量量纲纲必必须须相相同同，否否则则不不注注：能能加加减减。后移( )Y s2( )R s1( )R sG(s)G(s)G(s)( )Y s2( )R s1( )R s1相加点对信号求和相加点对信号求和2分支点信号由某一点分开分支点信号由某一点分开分分 支支 点点 分分 出出 信信 号号 ， 数数 值值 相相 同同后移G(s)( )R s( )Y s( )R s前移G(s)( )Y s( )Y s( )R sG(s)( )Y s( )Y s( )R sG(s)G(s

54、)( )Y s( )R s( )R s1/G(s)3分支点之间可恣意互换，分支点之间可恣意互换， 相加点之间可互换相加点之间可互换但留意前后符号一致。但留意前后符号一致。4相加点和分支点之间普通不能互换变位相加点和分支点之间普通不能互换变位留意：留意： 有些实践系统，往往是多回路系统，构成回路交有些实践系统，往往是多回路系统，构成回路交错或相套。为便于计算和分析，常将种复杂的方框错或相套。为便于计算和分析，常将种复杂的方框图简化为较简单的方框图。图简化为较简单的方框图。方框图简化的关键是解除各种衔接之间，包括环方框图简化的关键是解除各种衔接之间，包括环路与环路之间的交叉，应设法使它们分开，或构

55、成路与环路之间的交叉，应设法使它们分开，或构成大环套小环的方式。大环套小环的方式。 解除交叉衔接的有效方法是挪动相加点或分支点。解除交叉衔接的有效方法是挪动相加点或分支点。普通，构造图上相邻的分支点可以彼此交换，相邻普通，构造图上相邻的分支点可以彼此交换，相邻的相加点也可以彼此交换。但是，当分支点与相加的相加点也可以彼此交换。但是，当分支点与相加点相邻时，它们的位置就不能作简单的交换。点相邻时，它们的位置就不能作简单的交换。 例2.4.3 例2.4.1所示汽车承载系统动态构造框图如图2.4.4所示，试简化系统框图，求总传送函数。其传送函数为 21221213412)()()()()(KKsDK

56、smKMKMKDsmMMmsDsKKsXsXio例例2.4.4 简化以下图，求出系统的传送函数。简化以下图，求出系统的传送函数。 解解 具有交叉衔接的构造图。为消除交叉，可采用相加点、具有交叉衔接的构造图。为消除交叉，可采用相加点、分支点互换的方法处置。分支点互换的方法处置。1将相加点将相加点a移至移至G2之后之后2再与再与b点交换点交换3因因 G4与与G1G2并联，并联， G3与与G2H是负反响环节是负反响环节4 4上图两环节串联，函数相乘后得系统的传送函数为上图两环节串联，函数相乘后得系统的传送函数为注：注：以上为原系统的闭环传送函数，不是开环系统的传送函数以上为原系统的闭环传送函数，不是开环系统的传送函数 是闭环系统简化的结果；是闭环系统简化的结果；分母不能看成原闭环系统的开环传送函数，闭环系统开环分母不能看成原闭环系统的开环传送函数，闭环系统开环传送函数应根据定义和详细框图定。传送函数应根据定义和详细框图定。例 2.4.5- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sXi sXo- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sXi sXo sG41- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sXi sXo sG41- sG1 sG5 sG2 sG7 sXi