相关回归分析

1、相关与回归分析一、一种事物与另一种事物的相互联系程度 及性质的分析。 前面已经讲过： 次数资料X2独立性检验，就是一种相关分析。 连续性资料相关分析。 两个具有相互依存的现象，一种现象的数值常常 伴随另一种现象的数值变化，呈现相偕变异，称 为相关。直线相关曲线相关矩阵相关相关系数衡量现象间相互关系的尺度。决定系数衡量相关程度的尺度，不表示 相关性质。相关系数0 1 正相关现象间变量关系成正比。 0 -1 负相关现象间变量关系成反比。 0 无关独立事件。 1 直接相关(x-x) (y-y)=0 无关(x-x) (y-y)0(x-x) (y-y)=1(x-x) (y-y)=0无关(x-x) (y-

2、y) 3.355 p 0.765 p2.179 P0.532 P1.96 p0.05 否定H0,接受HA，相关显著。、H0:P1=P2(两样本相关系数相等) HA:P1P2例：6.17 P288页： r10.83 n114 r20.81 n211问：两个相关系数之间的差异是否显著？解：当：r10.83时， Z1 1/2ln(1+0.83)-ln(1-0.83)1.1881 当：r20.81时， Z2 1/2ln(1+0.81)-ln(1-0.0.81)1.1270 Z1-Z2 1.1881-1.1270U=1/(n1-3)+1/(n2-3) =1/(14-3)+1/(11-3) =0.1315

3、因为：U0.05(双侧)1.96 0.13150.05结论：接受H0:P1=P2 r1与r2两个相关系数间的差异不显著。6、相关系数的合并： a、必须是相关系数间无显著差异才能合并。 合并的原则： b、不是将r值平均，而是将Z值加权平均。 Z值加权平均的公式为： (n3)Z Z 自由度上例（p288页，例6.17） r Z dfn3 ( n3)Z r10.83 Z1=1.1881 14-3=11 13.0691 r20.81 Z2=1.1270 11-3=8 9.0160 df19 (n3)Z22.0851 (n3)Z 22.0851 Z 自由度 = 19 =1.1624 1+r因为：Z=1/

4、2ln( 1-r )所以：2Z=ln(1+r)/(1-r)取反对数： (1+r)/(1-r)antiln(2Z) 1+rantiln(2Z)(1-r) 1+r antiln(2Z)- antiln(2Z)r r+ antiln(2Z) r antiln(2Z)-1 rantiln(2Z)+1= antiln(2Z)-1 antiln(2Z)-1 antiln(21.1624)-1 r antiln(2Z)+1 antiln(21.1624)+1 0.8218所以：水稻籽粒蛋白质含量与赖氨酸含量两个相关系数合并 后的相关系数是：r0.8218。再举一个合并相关系数的例子：例：调查我国18岁男子2

5、64人，肺活量与身高的：r10.395 同龄女子37人，肺活量与身高：r20.269。问：18岁的青年男女，肺活量与身高的相关系数是多少？首先将r值转换成Z值：r Z df (n3)Zr10.395 Z1=1/2ln(1+0.395)-(1-0.395)=0.4177 264-3261 109.0197r20.269 Z2=1/2ln(1+0.269)-(1-0.269)=0.2758 37-334 9.3772 df295 118.3969 (n3)Z 118.3969 Z 自由度 = 295 =0.4013 antiln(2Z)-1 antiln(20.4013)-1 r antiln(2

6、Z)+1 antiln(20.4013)+1 0.3811结论：18岁青年男女的肺活量与身高的相关系数是0.3811。7、多个相关系数差异显著性的X2检验法： H0:P1=P2=P3=Pi HA:P1P2P3Pi例：统计工人、农民、医生、教师四种不同职业的人的年龄 和血压的相关系数资料如下：职业 r n n3 Z (n3)Z工人 r10.6421 163 160 Z1=1/2ln(1+0.6421)-ln(1-0.6421)=0.7617 121.8720农民 r20.6372 79 76 Z2=1/2ln(1+0.6372)-ln(1-0.6372)=0.7534 57.2584教师 r30

7、.7921 182 179 Z3=1/2ln(1+0.7921)-ln(1-0.7921)=1.0770 192.7830医生 r40.6764 54 51 Z4=1/2ln(1+0.6764)-ln(1-0.6764)=0.8224 41.9424 =466 =412.8558 (n3)Z 412.8558 Z 自由度 = 466 =0.8660X2=(Zi-Z)2(ni3) (0.7617-0.8860)2160+(0.7534-0.8860)276 +(1.0770-0.8860)2179+(0.8224-0.8660)251 10.5448查表：X20.05,3=7.815 X20.0

8、1,3=11.345 10.54487.815 P0.05结论：否定H0,接受HA。相关系数间的差异显著。 说明年龄与血压的相关因不同的职业而异。8、组内相关： 简单相关也叫组间相关。是研究性质上不同的两种 现象间的关系。 组内相关成对的观察单位研究同一现象间的关系 (性质上相同) 例如：成对染色体长度间的相关。 动物孪生个体体重间的相关。 由于两个观察值性质相同，具体观察时难于区别究竟哪一个属于X，哪一个属于Y,所以理论上取平均值。设：n对观察值， 故：观察总数2n X+Y 其重量的平均数为：XY= 2n 将平均数代入相关系数公式，可以导出： 2(X-XY)(Y-XY) r (X-XY)2+

9、(Y-XY)2例：10胎孪生牡羊产后一个月体重间的组内相关。 (见下表)孪生第一个个体孪生第二个个体(X-XY)(Y-XY)XX-XY(X-XY)2YY-XY(Y-XY)226-41629-11+433+3932+24+620-1010024-636+6028-2429-11+224-63628-24+1233+3937+749+2135+52534+416+2032+2433+39+627-3935+525-1532+2429-11-2290-10216310+10146114XY=(X+Y)/2n (290+310)/21030 2(X-XY)(Y-XY) 2114 r (X-XY)2+(

10、Y-XY)2 216+146 0.6298显著性检验：方法一：t法H0:P=0(总体无相关)t=r / Sr=r/(1-r2)/(n2) 0.6298=(1-0.62982)/(10-2)=2.2933查表：t0.05，82.306 2.29330.05结论：接受H0,总体无相关 相关不显著 低方法二：r值查表法HO:P=0(总体无相关)n28 K=1(单个样本)查表：r0.05，80.632 0.62980.05结论：接受H0,总体无相关 相关不显著 中方法三：r z (U法)H0:P=0(总体无相关)当r0.6298时 Z=0.7411U=Z n3 =0.741110-3 =1.9607U

11、0.05=1.961.96071.96 P0.05结论：否定HO接受HA, 相关显著 高三种检验方法U测验最灵敏9、组内相关的推广应用： 如：研究三胞胎、四胞胎体重间的相关，其公式为： X+Y+M XYM = MN M表示变量的个数 M(X-XYM)(Y-XYM)(M-XYM)r =(X-XYM)2+(Y-XYM)2+(M-XYM)210、等级相关用等级表示的变数的相关研究(成对的等 级变数之间的相关研究)。 如：鸡蛋的大小与蛋壳颜色深浅的相关 植物花的颜色与开花迟早的相关只能用等级表示例：甲乙两个水稻品种在13个地区种植的产量等级：地区号 甲品种等级乙品种等级dd21523927700312

12、111141100513130061112-117910-1183.54-0.50.259880010109111165111223-11133.56-2.56.25d221.5 6d2 621.5rk= 1 - n(n2-1) 1- 13(132 -1) 0.9409 等级相关系数只是一种粗略的估计。11、净相关（偏相关）净相关是组内相关研究的一种 特殊研究方法。特殊在，每次 固定其它的变量，而只研究其 中的一对变量。这样，可排除 其它变量因素的干扰，得到的 相关系数仅反应两个变量的相 关，故称净相关。之所以称偏， 是根据偏回归系数而来的。 一级净相关有三个变量，每次固定一个，研究其中两 个

13、。因而有C31=3个一级净相关： r12，3 r13，2 r23，1 二级净相关有四个变量，每次固定两个，研究其中两个。 因而有C42=6个二级净相关： r12, 34 r13, 24 r14, 23 r34, 12 r24, 13 r23, 14 二级以上净相关研究计算烦琐，实用价值也不大。一般研究上应用较多的是一级净相关。其公式为： r12r13r23 r12,3 (1-r132) (1-r232) r13r12r23 r13,2 (1-r122) (1-r232) r23r12r13 r23,1 (1-r122) (1-r132)例：橡胶树病情指数与最冷月平均温度及一月份平均温度 13年

14、的资料。年份 病情指数最冷月平均温度一月份平均温度X1*X2X1*X3X2*X3X1X12X2X22X3X3219630.40.1615.3234.0915.3234.096.126.12234.09196452.32735.2915.8249.6416.4268.96826.34857.72259.12196511.8139.2415.2231.0415.2231.04179.36179.36231.04196651.62662.5617.6309.7617.9320.41908.16923.64315.04196742.71823.2916.3265.6916.3265.69696.019

15、69.01265.69196841.51722.2515.5240.2515.5240.25643.25643.25240.25196933.71135.6915.8249.6415.8249.64532.46532.46249.64197112.5156.2515.022515.0225187.5187.5225197236.61339.5615.8249.6415.8249.64578.28578.28249.64197350.72570.4916.025616.0256811.2811.225619742.56.2513.7187.6913.7187.6934.2534.25187.69

16、197535.21239.0416.2262.4416.6275.56570.24584.32268.9219760.40.1613.1171.6115.1228.015.246.04197.81371.915580.23201.33132.49204.63231.985978.416040.153179.93第二步：求简单相关系数： x1x2x1x2/nr12x12-(x1)2/nx22-(x2)2/n 5978.41371.9201.3/13 (15580.23371.92/13)(3132.49201.32/13) 0.7954r130.7716r230.8693第三步：求净相关系数：

17、r12r13r23 0.79540.77160.8693 r12,3(1-r132) (1-r232) (10.77162)(10.88932) 0.3964 r13r12r23 0.77160.79540.8693 r13,2(1-r122) (1-r232) (10.79542)(10.86932) 0.2676 r23r12r13 0.86930.79540.7716 r23,1(1-r122) (1-r132) (10.79542)(10.77162) 0.6629比较：简单相关（组间相关） 净相关（组内相关） r120.7954 r12,30.3954 r130.7716 r13,2

18、0.2627 r230.8693 r23,10.6629 由于受另一变量的影响 消除了另一变量的影响 夸大了两者的相关密切 是合理的衡量相关的尺度。 程度。第四步：净相关系数显著性检验(U测验法) 当：r12,30.3954时， z1/2ln(1+0.3954)ln(10.3954)0.4182 Uz/1/(n3)zn30.4182/(10-3)1.3225 U0.05(双侧)1.96 1.32250.05 结论：接受H0,相关不显著。 即：橡胶树的病情指数与最冷月平均气温关系不密切。当：r13,20.2627时 z1/2ln(1+0.2627)ln(10.2627)0.2690 U0.269013-30.8507 0.85070.05结论：接受H0,相关不显著。 即：橡胶树的病情指数与一月份平均气温关系不密切。当：r23,10.6629时， z1/2ln(1+0.6629)ln(10.6629)0.7980 U0.0.798013-32.5234 U0.05(双侧