工程数学行列式与矩阵ppt课件

1、第一章第一章 行列式与矩阵行列式与矩阵 行列式是代数学中一个重要的工具，利用它可以用来判别一个n阶矩阵能否可逆；可以导出一个矩阵的逆矩阵公式以及著名的克拉姆法那么。这一章我们先给出二、三阶行列式的定义，在此根底上归纳出普通n阶行列式的定义，然后讨论行列式的根本性质及其运用。1.1 行列式及其性质行列式及其性质 在数学开展史上，行列式是经过解线性方程组的求解而引出的，以二元线性方程组11 1122121 12222,a xa xba xa xb 的求解为例,为了消去未知数x2 ,两式分别乘以2212112221 1211222 121112221 1222 11121112221 121222

2、121112221 1211 121 22112221 12,(),(),0,aaa aa axbab axa aa axb abaa aa abab axa aa aa ba bxa aa a再相减得 同样 消去 得 于是 当 时 解得 定义定义11112112212212122,aaa aa aaa2我们用记号D =表示代数和1112112212212122aaa aa aaa二称为,即 = (阶行列式1.1)上述结果不容易记住,也不便推广到n元线性方程组中去,更难找出规律,于是我们引入行列式的概念.11122122aaaa+ +- -112111222212121112111221222

3、122,baabbaabxxaaaaaaaa则上述方程组的解可表示为 (2.1)式中横写的叫行,竖写的叫列,其中的数称为行列式的元素如 为二阶行列式的第一行第二列的元素.12a二阶行列二阶行列式的运算式的运算规那么规那么: :2222515 33 ( 1)133231:(1)0;(2)0;33130031:(1)00;(2)030;DDDDDD 设 问 当 为何值时 当 为何值时 若 得 或例例2 因此 当或 =3时 当且时 解1212122312511315812316225212100231625xxxxxx用二阶行列式解二元线性方程组 解: 因系数行列式不为零,所以方程组的解为例3 11

4、 1122133121 1222233231 13223333,a xa xa xba xa xa xba xa xa xb类似地 在三元线性方程组 的求解中引出三阶行列式.定义定义2112233122331132132132231112332122133a a aa a aa a aa a aa a aa a a 代数和叫三阶行列式,记作三阶行列式,记作1112133212223112233122331132132313233132231112332122133aaaDaaaa a aa a aa a aaaaa a aa a aa a a (1.2) 三阶行列式有三阶行列式有3行行3列列,

5、32个元素个元素,其右端的算式由其右端的算式由3!个项组成个项组成,其中每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积其中每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,一切乘一切乘积积项前所带的符号为正负号各半项前所带的符号为正负号各半.(即各为即各为 项项)3!2 与二阶行列式类似,它可以由一个很简单的规那么来阐明,这就是三阶行列式的对角线法那么,即如下所示,实对角线上三个元素之乘积前冠以正号,虚对角线上三个元素之乘积前冠以负号,再把这些乘积加起来,就得到(1.2)式.111213111221222321223132333132aaaaaaaaaaaaaaa(+)(+)(+)(+)(+)(+)(-

6、)(-)(-)(-)(-)(-),2) 计算三阶行列式1231021)1-14 3-12512例44-14(1.3)1 ( 1) 22 4 53 1 1( 1) 5 1 4 1 2 1 2482)1 ( 1) 40 2 42 3 ( 1)( 1) 4 1 2 ( 1)0 3 40 1231)1-14512 -3102 3-124-14 -2解: 上述三阶行列式的值上述三阶行列式的值,也可以表示为也可以表示为11121322231 13212223113233313233212321221 21 3121331333132( 1)( 1)( 1)aaaaaDaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

7、 (1.4) 我们来分析一下(1.4)式:首先(1.4)式右端的三项是D3中第一行的三个元素 分别乘一个二阶行列式,而使乘的二阶行列式是划去该元素所在的行与所在的列所组成;其次,每一项之前都要乘以 ,1和j正好是 的行标和列标.1(1,2,3)jaj 1( 1)j1ja 按照这一规律,我们可以用三阶行列式定义出四阶行列式.以此类推,我们可以给出n阶行列式的定义.定义定义3 3211121312122232123( ,1,2, )ijnnnnnnnna i jnaaaaaaaaaaaan由个数组成的D阶n行列式n行列式 111122232212321 11 21112231321222,1112

8、,1;2,( 1)( 1)nnnnnnnnnnnnnnnn naanaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaa 11+n是一算式.当n=1时,定义D当时 定义 +(-1) (1.5)这种利用低阶行列式逐次地给出高一阶行列式的定义的方法,称为递归(推)定义法定义定义4 4 为了简化上述定义中的展开式的书写,我们引入代数余子式的概念.111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1,:ijijijjjniijijinijiijijinnn jn jnnaaMaaaaaaaaMaaaaaaaa 在n阶行列式中划去所在的第i行和第j列的元素,剩下的元素按原来排列的位置不变,这

9、样形成的n-1阶行列式,称为元素 的余子式 用表示 (1.6)定义定义5 5称称 的代数余子式的代数余子式 ( 1)ijijijijAMa 为元素由上述定义由上述定义5,(1.5)式可以表达为式可以表达为11111212131311111(1.7)nnnniiiDa Aa Aa Aa Aa A 1121223132331230,0000050ijnnnnnaaaaaaaaaaan 以下行列式称为(当ij时,=0,即主对角线下方的元素全为0) 三角行列式三角行列式ija特别地,(当ij时,=0,即主对角线两旁的元素全为0) 对角角行行列列式式11221122nnnnaaa aaa 普通地,按照行

10、列式的递推(归)定义来计算n阶行列式,通常是很繁琐的.因此我们有必要来研讨行列式的性质,利用这一些性质可使行列式的计算简化.行列式的性质行列式的性质记111211121121222122221212,nnnnTnnnnnnnnnTTnaaaaaaaaaaaaDaaaaaannnn D 我们称D 为行列式D 的转置行列式 显然D 是行列式D 的行与列互换之后所得的行列式.性质性质 1行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等意义意义 ： 行列式中的行与列具有同等的位置；行列式中的行与列具有同等的位置；.例如12311011222131101122 证明思想证明思想 ：依然是从定义出发证

11、，祥略。依然是从定义出发证，祥略。假设行列式有两行列完全一样，那么假设行列式有两行列完全一样，那么此行列式为零此行列式为零. . 为什么？为什么？.例如性质性质 2将行列式的两行将行列式的两行(列列)对调对调,行列式变号行列式变号推论推论2性质 可表示为1112111121121212121212nniiinjjjnjjjniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 性质性质 3(展开法那展开法那么么)行列式等于它的恣意一行行列式等于它的恣意一行(列列)中所中所有元素与它们对应的代数余子式乘积之和有元素与它们对应的代数余子式乘积之和.即即1,nnikikkDa A

12、或1nnkjkjkDa A推论推论行列式中任一行行列式中任一行(列列)中元素与另一行中元素与另一行(列列)对应元素的对应元素的代数余子式乘积之和等于零代数余子式乘积之和等于零,即即112210nikjkijijinjnka Aa Aa Aa A112210 ()nkikjijijninjka Aa Aa Aa Aij ()ij证证:由性质由性质3按第按第j行展开得到行展开得到1112112112212120niiinijijinjniiinnnnnaaaaaaa Aa Aa Aaaaaaarirj性质性质 4行列式的某一行行列式的某一行(列列)元素的公因子可提到行列式元素的公因子可提到行列式外

13、面外面,即即111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakak aaaaaaaaa12311011228162411011212311011281628例如:证证: :11121111211212111212nnnniiinikikikikiiinllnnnnnnnnaaaaaakakakaka Aka Ak aaaaaaaaa推论推论 行列式的某一行行列式的某一行(列列)元素的全为零元素的全为零,那么此行列式为那么此行列式为零零.行列式的某两行行列式的某两行(列列)对应元素成比例对应元素成比例,那么此行列式为那么此行列式为零零.推论推论 性质性

14、质5假设行列式的第假设行列式的第i行行(列列)元素的每一个元素都可以表元素的每一个元素都可以表示为两数的和示为两数的和,那么该行列式可以表示为两行列式之那么该行列式可以表示为两行列式之和和,即即11121111211112111221212121212nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabababaaabbbaaaaaaaaa:ijijijijijijijaAa AAnnnj=1j=1j=1 左边=(+b )b右边证01511011211011211) 1(223这并不是独一的这并不是独一的分拆方法！分拆方法！1231101121121101122

15、0性质性质6把行列式的第把行列式的第j行行(列列)元素的元素的k倍加到第倍加到第i行行(列列)的对应的对应元素上元素上,行列式的值不变行列式的值不变.例例 计算行列式计算行列式 0112110212102110D)(jijiccrr)(kckrii 运算符号运算符号 ： 交换行列式两行列，记作交换行列式两行列，记作 行列式第行列式第i i行列乘以数行列乘以数k k，记作，记作 以数以数k k乘行列式第乘行列式第i i行列加到第行列加到第j j行列上，记作行列上，记作)(ijijkcckrr110211021102011201120112121001120024211003140022D 110201121 ( 1) ( 2) ( 2)400240002 例例 计算行列式计算行列式122222222232222Dn解解: : 第二行乘以第二行乘以-1-1加到