物理学教程-第九章 静电场

1、 上海应用技术学院上海应用技术学院 理学院理学院 谭默言谭默言Shanghai Institute of TechnologyChapter 9静电场静电场 2 掌握掌握库仑定律，能够计算点电荷间的相互作用库仑定律，能够计算点电荷间的相互作用掌握掌握电场强度叠加原理，能够计算连续带电体电场强度叠加原理，能够计算连续带电体周围的电场强度周围的电场强度E掌握掌握电场强度的概念电场强度的概念 ，能够计算点电荷系的，能够计算点电荷系的电场强度电场强度9-1、9-2 、 9-3 教学基本要求教学基本要求 3 一一 电荷的量子化电荷的量子化二二 电荷守恒定律电荷守恒定律 在孤立系统中,系统的电荷的代数和保

2、持不变.C10602. 119e 电荷量子化； 电子电荷)3 , 2 , 1(nneq密立根密立根 宏观带电体的带电量宏观带电体的带电量qe，准连续，准连续 4 一一 点电荷模型点电荷模型）（rd 二二 库仑定律库仑定律库仑库仑1736-1806 1736-1806 法国法国rerqqF221041 ：真空电容率：真空电容率0 ，指向指向受力电荷受力电荷的单位矢量的单位矢量rrre 0=8.85 10-12C2m-2 N-1Qrd观察点P 5 rre1q2qrd1q2qreF库仑力的方向：库仑力的方向：1.1.沿着两点电荷连线沿着两点电荷连线3.3.异号电荷相吸引异号电荷相吸引2.2.同号电荷

3、相排斥同号电荷相排斥F讨论：电荷讨论：电荷q q2 2受到的库仑力受到的库仑力2041rqqF21库仑力的大小：库仑力的大小：rerqqF2210411q2q 6 2.库仑定律是矢量式。库仑定律是矢量式。 1.库仑定律只适用于点电荷。库仑定律只适用于点电荷。说明：说明：3.库仑力遵守牛顿第三运动定律。库仑力遵守牛顿第三运动定律。4.库仑力遵守矢量叠加法则库仑力遵守矢量叠加法则 。 niiFF1合 7 解：解：N101 . 8 416220ereFN107 . 347-2pegrmmGF例：例： 在氢原子内在氢原子内, ,电子和质子的间距为电子和质子的间距为 求：求： 电子与质子间电相互作用和万

4、有引力电子与质子间电相互作用和万有引力m103 . 511kg101 . 931emkg1067. 127pm2211kgmN1067. 6GC106 . 119e39ge1027.2FF（微观领域中（微观领域中, ,万有引力比库仑力小得多万有引力比库仑力小得多, ,可忽略不计可忽略不计. .） 8 例：边长为例：边长为a a的正方形四个顶点上有图示的点电荷的正方形四个顶点上有图示的点电荷求：左下角的电荷所受的电场力。求：左下角的电荷所受的电场力。2122001242qqqFaa22220014422qqqFaa2322001242qqqFaaF1F3F2解：解：223202cos45122x

5、qFFFaF2221202sin45122yqFFFaxyFF iF j22220022112222qqijaa 9 一、电场：一、电场：电荷之间的相互作用的媒介。电荷之间的相互作用的媒介。电场具有物质性：电场具有物质性：（1 1）对放其内的任何电荷都有作用力。）对放其内的任何电荷都有作用力。（2 2）电场力对移动电荷作功。）电场力对移动电荷作功。静电场静电场 ：相对于观察者静止的电荷产生的电场。：相对于观察者静止的电荷产生的电场。 10 二、电场强度二、电场强度0qFE说明说明: : 1. 1. 电场强度是描述电场强弱的物理量。电场强度是描述电场强弱的物理量。 2. 2. 电场强度是矢量电场

6、强度是矢量, ,电场是矢量场，方向电场是矢量场，方向与处于该点的正电荷受力方向一致。与处于该点的正电荷受力方向一致。 3. 3. 电场强度的单位：电场强度的单位： NCNC-1 -1 或者或者VmVm-1-1解：解：1CN)0 .216 .51(jiqFE 例：把一个点电荷（例：把一个点电荷（ ）放在电场中某点）放在电场中某点处，该电荷受到的电场力为处，该电荷受到的电场力为C10629q，求该电荷所在处的电场强度，求该电荷所在处的电场强度. .663.2 101.3 10( )Fij N CN71.55CN)0 .21()6 .51(1122 EE大小：大小：1 .22arctanxyEE方向

7、：方向：EqFxyo 12 三、点电荷的电场强度三、点电荷的电场强度rrerQqerQqqFE2002000Q411410?rE思考:2QQ1rEQE，+ErEr 13 1Q2Q3Q0q1r1F2r3r2F3F四、电场强度叠加原理四、电场强度叠加原理电场强度叠加原理电场强度叠加原理:在n个点电荷产生的电场中某点的电场强度等于每个点电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和.Ei为电荷Qi单独存在时产生的电场强度。niiniooooioEEEEqFqFqFqFqFE13211321 14 q2q1oaaq2q1oaa2E120oEEE12oEE方向方向: 水平向左（如图所示）水平向左（如图所示

8、）例例如图，如图， 求中点求中点O O的场强的场强12qq1E112200242qqaa2E1E点电荷系的电场强度的计算：点电荷系的电场强度的计算： 15 irxqE200)2( 41irxqE200)2( 41irxxrqEEE220200) 4(2 40rx ixqrE3002 41qqEE20r20rAxOx（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度电偶极矩电偶极矩0r qp例例 电偶极子电偶极子+q-q0r 16 qq0r （2 2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度EEErrxyByeeerqE20 41erq

9、E20 41) 2 ( 41030irjyrqE) 2 ( 41030irjyrqErj yire)2(0rj yire)2(00202)2(ryrrr2/320200)4( 41ryiqrE1EBCAq2q11xE1yE解解: :xy11204( 2 )qEa22204qEa方向如图方向如图方向如图方向如图012cos45BxEEE12122200022()16416BqqqEijaaa例例 如图所示，如图所示，, ,求求B B处的场强处的场强BCACa2E01sin45ByEE -q+q+q+q+q-q2q2q2q2q-q+q-q+q+q-q-q2qq2q例例 求下列各图中心处的场强求下列

10、各图中心处的场强-q+q+q+q+q-q-q+q-q+q+q-q1204qEa114cos6020 xEEE112sin602sin60yEEE1204cos602xqEEa0yE 02q2q2q2q-q2qq2q122002242qqEaa0E 22002242qqEaa方向如图所示，与方向如图所示，与X轴夹角为轴夹角为-135-135 21 qdrP将带电体分成很多元电荷将带电体分成很多元电荷 dq, ,先求出它在任意场点先求出它在任意场点 p 的场强的场强rerdqEd2041对场源求积分，可得总场强：对场源求积分，可得总场强：rerdqEdE2041连续带电体电场强度的计算：连续带电体

11、电场强度的计算：Ed 22 1、取电荷元、取电荷元dq2、计算电荷元、计算电荷元dq在场点处场强在场点处场强dE的大小和方向的大小和方向3、选择坐标，将场强、选择坐标，将场强dE分解为分解为X、Y分量分量dEx、dEy4、计算场强的、计算场强的X、Y分量分量Ex、Ey5、矢量合成，计算合场强、矢量合成，计算合场强201dd4 qErdd cosxEE=xyEE iE jdd cosxxEEEdd sinyEEd sinyEE连续带电体的电场强度的计算步骤：连续带电体的电场强度的计算步骤： 23 dVdqdsdqdldq电荷的线密度电荷的线密度:rlerdlE204电荷的电荷的面面密度密度:电荷

12、的电荷的体体密度密度:rSerdSE204rVerdVE204 例例 如图半径为如图半径为R的四分之一带电圆环，的四分之一带电圆环，电荷线密度为电荷线密度为 ，求环中心的场强。，求环中心的场强。204dqdERdqdlRdsinxdEdE 解：解：200cos4yEdR200sin4xEdR 同理同理=xyEE iE jROdEdldxy20sin4RdR 25 xqyxzoPRrrerlE20d 41didEEEdExyy,0由对称性可知：解解例例 正电荷正电荷q 均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的圆环上的圆环上. .求求 在环的轴线上任一点在环的轴线上任一点P的电场强度的电场强度. .l

13、qdd) 2(Rq 26 xqyxzoRrlqddrerlE20d 41dP) 2(RqcosddEEEllxrxrl204dRrlx2030 4d23220)( 4Rxqx讨论讨论: :Rx ）（120 4xqE（2 2）x = 0Rx2200E0dd3xE）（ 27 rrqd2d2/3220)(d41dxrxqERxrrrxEE02/3220)(d2d2/3220)(d2xrrrx)(1122/12220 xRxxP PR RO Ox xEd2/3220)(41xRqxE强度提示：带电细圆环电场例例 有一半径为有一半径为R, ,电荷均匀分布的薄圆盘电荷均匀分布的薄圆盘, ,其电荷面密度为其

14、电荷面密度为. . 求求 通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度. .r rr dixRxxE)(1122/12220解：解： 28 理解理解电场线的概念电场线的概念; 掌握掌握电通量的计算；电通量的计算； 掌握掌握高斯定理，能够熟练应用。高斯定理，能够熟练应用。 29 一、电场线一、电场线:电场的图示。电场的图示。用一簇空间曲线形象描述场强分布, 这些曲线称为电场线。电场线的切线方向为该点电场强度的方向。+q-q（4）电场线不闭合；说明：说明：（3）电场线起始于正电荷(或无穷远)，终止于负电荷（或无穷远）；（5）电场线不相交。（1）电场线

15、不真实存在；（2）电场线不给出定量描述； 30 二、电场强度通量二、电场强度通量cosESSEe把通过电场中某一个面的电场线多少把通过电场中某一个面的电场线多少叫做通过这个面的电场强度通量叫做通过这个面的电场强度通量. .S的方向为外法线方向，对于闭合面的方向为外法线方向，对于闭合面是由闭合面内指向面外。是由闭合面内指向面外。0d2e，0d20e，cosdddSESEe0d2e，nenenene 31 2、 非均匀场中：非均匀场中：SSEeedd1、 均匀电场中：均匀电场中：ESe3、对闭合曲面：、对闭合曲面：SSEeeddESneESdEne 32 例：在均匀电场中取一个半径为例：在均匀电场

16、中取一个半径为R的半球面的半球面ACB，求求 通过通过ACB半球面的电通量为多少半球面的电通量为多少? RoCABE60。RoCABE。2E R 2cos30ER 232ERRoCAB0 cosESSEe 33 xyzEoPQRNM解：解：nenene0 eeeeee下右左后前 例例 求匀强电场中通过此三棱柱体的电场强度通量求匀强电场中通过此三棱柱体的电场强度通量 .下右左后前eeeeee0下后前eee左左左左左ESESSEe-cosS左右右右右ESESSEecosSSSEeedd 34 闭合面内的点电荷发出的电场线全部闭合面内的点电荷发出的电场线全部一次穿过该闭合面：一次穿过该闭合面：+ 点

17、电荷的电场对任意闭合曲面的电场强度通量点电荷的电场对任意闭合曲面的电场强度通量q闭合面外的点电荷发出的电场线不穿过或闭合面外的点电荷发出的电场线不穿过或两次穿过该闭合面：两次穿过该闭合面：1qiq2qsSdE外内eeedSES （外）内）iSiiSiSESEdd(0deSSE外SSEde内点电荷系：点电荷系：内）(diSiSE 35 +Sd 点电荷位于球面中心点电荷位于球面中心20 4rqE020ed 4dqSrqSESS1qiq2qsSdEniiniiSiSqSESE10(e1dd内）点电荷系通过闭合曲面的电场强度通量：点电荷系通过闭合曲面的电场强度通量： 36 Gauss Gauss 德国

18、德国niiniSqSdE101三、高斯定理三、高斯定理说明：说明： e与高斯面的形状无关，与高斯面的形状无关， 只与内部电荷量有关。只与内部电荷量有关。在真空中的静电场中，穿过任意闭合面的电场强度通量在真空中的静电场中，穿过任意闭合面的电场强度通量等于该闭合面内包围的电荷的代数和除以等于该闭合面内包围的电荷的代数和除以 。0+qrS SSdE 37 niiniSqSE101d高斯定理高斯定理3 3）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度；）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度；4 4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献；）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献；1

19、 1）高斯面是人为选择的封闭曲面；）高斯面是人为选择的封闭曲面；5 5）静电场是有源场；）静电场是有源场；2 2）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正；）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正；说明：说明：6 6）即适用于静电场，又适用于变化的电场。）即适用于静电场，又适用于变化的电场。求求：（1）若）若q2q1q， D 点点的的电场强度电场强度E_，通过高斯面通过高斯面S的电通量的电通量e_， （2）若把）若把q2 为为-q，则，则D点的电场强度点的电场强度E _，通过高斯面通过高斯面S的电通量的电通量e _。DAPq2q1oq242dqoq0例题：如图所示，选取高斯面例题：如图所示，选取

20、高斯面S ，在在P、A 处分别放置点电荷处分别放置点电荷q2、q1，D 位于位于P、A 连线与高斯面连线与高斯面S 的交点上，的交点上，PDDAd 39 四、高斯定理的应用：四、高斯定理的应用：1.已知电荷分布具有某种对称性时，可用高斯已知电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定理求出该电荷系统的电场的分布。定理求出该电荷系统的电场的分布。2.已知场强分布时，可用高斯定理求出任意已知场强分布时，可用高斯定理求出任意区域的电荷分布。区域的电荷分布。如：点电荷、如：点电荷、 均匀带电球面均匀带电球面(或球体或球体)、 无限长均匀带电直线无限长均匀带电直线(或圆筒、或圆柱或圆筒、或圆柱)、 无限大均匀带

21、电平面等。无限大均匀带电平面等。 40 用高斯定理求电场强度的步骤：用高斯定理求电场强度的步骤：高斯面必须是闭合曲面；高斯面必须是闭合曲面；高斯面必须通过所求的点；高斯面必须通过所求的点；(3) 根据高斯定理求电场强度。根据高斯定理求电场强度。高斯面的选取应高斯面的选取应形状简单。形状简单。(1) 分析电场分布对称性；分析电场分布对称性； (2) 根据对称性取高斯面；根据对称性取高斯面； 41 Example 1:Example 2:Example 3: 42 +OR例例 球对称球对称I:I:均匀带电球壳的电场强度均匀带电球壳的电场强度0d1SSE0E02dQSESr1S20 4rQE02 4

22、QErr2s一半径为一半径为R,均匀带电均匀带电Q的薄球壳的薄球壳 . 求球壳内外任意点的电场强度求球壳内外任意点的电场强度.20 4RQrRoE解（解（1）Rr 0Rr（2） 43 300234114drqrESES rE03R电场分布曲线电场分布曲线EOr0223043rQrRE0302344RqrEsdESR+rrr例例 球对称球对称II:II:均匀带电球体的电场强度均匀带电球体的电场强度 P.38 9-14P.38 9-14一半径为一半径为R,均匀带电均匀带电Q的带电球体，电荷体密度为的带电球体，电荷体密度为 求球壳内外任意点的电场强度求球壳内外任意点的电场强度.解（解（1）Rr 0R

23、r（2）分析，电荷分布具有球对称性，因此电场分布也是球对称的，在同一球面上各点电场强度大小相等，方向均沿着径向 44 解：过解：过P点作一个以带电直线为轴，以点作一个以带电直线为轴，以l 为高的圆柱形闭合曲面为高的圆柱形闭合曲面S 作为高斯面作为高斯面 下底上底侧SESESEdddSeSEdhrESESE2dd侧侧rhSdEPSdE例例 轴对称：无限长均匀带电直线的电场强度轴对称：无限长均匀带电直线的电场强度无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为求距直线为求距直线为r处的电场强度处的电场强度. .EOrhhrE012rE02Si

24、nqSE01d 45 解：解：电场强度分布具有面对称性电场强度分布具有面对称性 选取一个圆柱形高斯面选取一个圆柱形高斯面 SeSEd右底左底侧SESESEdddESESES20根据高斯定理有根据高斯定理有 SES01202ExOExnEEnn例例 面对称面对称:无限大均匀带电平面的电场强度无限大均匀带电平面的电场强度无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为，求距平面为求距平面为处的电场强度处的电场强度. . 46 000000讨讨 论论无无限限大大带带电电平平面面的的电电场场叠叠加加问问题题 47 高斯定理应用归纳：高斯定理应用归

25、纳：电场分布电场分布三种对称：三种对称：球对称：球对称：同一球面上的场强大小相等，同一球面上的场强大小相等， 方向沿径向方向沿径向;轴对称：轴对称：离轴等距离处场强大小相等，离轴等距离处场强大小相等， 方向沿径向方向沿径向;面对称：面对称：离面等距离处的场强大小相等，离面等距离处的场强大小相等， 方向与平面垂直方向与平面垂直;（高斯面取球面）（高斯面取球面）（高斯面取圆柱面）（高斯面取圆柱面）（高斯面取柱面）（高斯面取柱面） 48 理解理解环路定理环路定理;掌握掌握电势与电势能的概念电势与电势能的概念, 及电势叠加原理；及电势叠加原理；掌握掌握电势与场强的积分关系电势与场强的积分关系, 能计算

26、简单问题。能计算简单问题。了解了解等势面的性质和特点等势面的性质和特点; 49 9-5 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能一一 静电场力所做的功静电场力所做的功ABrBrA静电场对电荷作功只与始末位置有关，与路径无关。)11(444002002000BArrrrrrrrrrrqqrdrqql derqql dEql dFWBABABABA 50 二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理推导推导: :在静电场中沿闭合路径移动试验电荷在静电场中沿闭合路径移动试验电荷q0，电场力作功为，电场力作功为0dddddd)(0)(0)(0)(002121bLabLaaLbbLalEqlEqlEq

27、lEqlEqlFWab1L2L0LldE表述表述: : 静电场中电场强度沿任意闭合环路的线积分恒等于零。静电场中电场强度沿任意闭合环路的线积分恒等于零。说明:可用环路定理检验电场是否为静电场。 lldEq00静电场力对于闭和路径作功为零。因此，静电场力是保守力，静电场是保守场。因此，静电场力是保守力，静电场是保守场。 51 三三 电势能电势能 静电场是保守场，静电场力是保守力，因此静电场力所静电场是保守场，静电场力是保守力，因此静电场力所做的功就等于电荷电势能的改变量。做的功就等于电荷电势能的改变量。ppBpAABBAEEElEqWd0电势能的大小是相对的，电势能的差是绝对的。 试验电荷试验电

28、荷q0在电场中某点的电势能，在数值上等于把它从在电场中某点的电势能，在数值上等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功。该点移到零势能处静电场力所作的功。AApAldEqWE0 电场力作正功时试验电荷的势能降低，当电场力作负功时试验电荷的电势能增加。 52 电势在数值上等于把单位正电荷从电势在数值上等于把单位正电荷从A点沿任意路径移点沿任意路径移到电势零点时，电场力所作的功。到电势零点时，电场力所作的功。 单位：伏特单位：伏特处00VApAAldEqEV9-6 电势电势一、电势一、电势 4.电势差（电压）： babaabldEVVU5.静电场的功、电势能、电势三者的关系为：ABBApBpAAB

29、UqVVqEEW00说明:1. 电势是电场的性质，与有无试验电荷无关；3.电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电势零点， 实际问题中常选择地球电势为零；2. 电势是相对的，与电势零点的选择有关； 电势差是绝对的，与电势零点的选择无关； 53 二、点电荷的电势二、点电荷的电势rerQE20 4rQV0 4rrrrrQlerQV2020 40cosdd 4apaal dEqEV0Vr+Vr结论：电势有正负，场源结论：电势有正负，场源 Q0，V0；场源；场源 Q0，V0。 54 三、电势叠加原理三、电势叠加原理结论结论: :在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷在点电荷系产生的电场中，某点

30、的电势是各个点电荷 单独存在时，在该点产生的电势的代数和。单独存在时，在该点产生的电势的代数和。nAnAAAnAAVVVldEldEldEldEEEldEV212121)(12004(3 )4bqqVrrrbrr1q2qa8124.0 10qqc 0.1rm例例 已知已知:12aVVV解：解：（1）a点点106qr1104 qVr104 qr0b点：点：32.46 10 ( )V2204 qVr求：（求：（1） a、b两点的电势；两点的电势；求：（求：（2）q2 具有的电势能；具有的电势能；解解：（：（2）22PEq V1204 (2 )qqr57.2 10 ( )J rbrr1q2qa812

31、4.0 10qqc 0.1rm例例 已知已知:解：解：求：求：从从a点移点移b点静电力作的功。点静电力作的功。（3 3）将电荷）将电荷801.0 10qc0ababWq U（3）0()abq VV思考思考: (i) 外力作功是多少？外力作功是多少？?abW(ii) 从从a点沿半圆弧到点沿半圆弧到b点点52.46 10 ( )J()eWW 外（功不变）（功不变） 57 例例 试求边长为试求边长为l 的正方形中心处的场强和电势，求将单的正方形中心处的场强和电势，求将单位正电荷从无穷远处移至位正电荷从无穷远处移至O O点外力所做的功。点外力所做的功。 （1 1）四）四个相同的同号点电荷个相同的同号点

32、电荷 q 放置在四个顶点上；（放置在四个顶点上；（2 2）两个）两个正号、两个负号的相同点电荷任意放置在四个顶点上。正号、两个负号的相同点电荷任意放置在四个顶点上。qqqqO-qq-qqo解解: (1)04242OqVl02ql(2)0OV ()eOWWq VV 外02ql0W外0202qEl方向如图方向如图EACEOEBD00E 22lABCD 58 +RrldxPoyzx22004d4ddxRlrqV220220202204424dxRqxRRxRlVR解解: 建立如图坐标系，选取电荷元建立如图坐标系，选取电荷元 dq例例：正电荷正电荷Q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的细圆环上的细圆环

33、上. 求求： 圆环轴线上距环心为圆环轴线上距环心为x处点处点P的电势的电势.Rlqlq 2dddRq04xoV21220)( 4Rxq 59 Rox22rx xPrrqd 2drrd)( 2d 2 412200220 xRxrxrrVRP例例 均匀带电薄圆盘轴线上的电势均匀带电薄圆盘轴线上的电势2204rxdqdV 60 +QRrorerdABArrBr例例 真空中半径为真空中半径为R的均匀带电球壳带电量的均匀带电球壳带电量Q.求求（1）球壳内任意点的电势）球壳内任意点的电势; （2）球壳外任意点的电势；）球壳外任意点的电势； （3）球壳内两点间的电势差；）球壳内两点间的电势差； （4）球壳外

34、两点间的电势差；）球壳外两点间的电势差；RQRrERrrErV021 4dd)(:1内）（rerqERr202 4，01ERr，解解rQrrrQrrErV0202 4d 4d)(: )2(外 61 RQ0 4RroVrQ0 4+QRrorerdABArrBr例例 真空中半径为真空中半径为R的均匀带电球壳带电量的均匀带电球壳带电量Q.求（求（1）球壳内任意点的电势）球壳内任意点的电势; （2）球壳外任意点的电势；）球壳外任意点的电势； （3）球壳内两点间的电势差；）球壳内两点间的电势差； （4）球壳外两点间的电势差；）球壳外两点间的电势差；BABArrrEVVd:42）（BArrrrQ20d 4)11( 40BArrQ0d31DCrrrEVVDC）（ 62 例例 半径为半径为R, ,带电量为带电量为q的均匀带电球体的均匀带电球体解：根据高斯定律可得解：根据高斯定律可得求求 带电球体的