数学归纳法证明

1、2.3数学归纳法(1)问题 1:如何证明粉笔盒中的粉笔 它们都是白色的？ 问题 2: 11,11,2,.1nnnnaaaana 对对于于数数列列已已知知，猜猜想想其其通通项项公公式式111a 212a 1nan 313a 有限步骤考察对象无限多米诺骨牌课件演示 多米诺骨牌游戏的原理 这个猜想的证明方法1nan（1）第一块骨牌倒下。（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。（1）当n=1时猜想成立。（2）若当n=k时猜想成立，即 ，则当n=k+1时猜想也成立，即 。1kak111kak根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想

2、都成立。nn1n+1naa,a =1,a=(n),1+a*N已知数列1(1)当n=1时a =1成立111111kkakakkk+1则n=k+1时,a即n=k+1时猜想也成立根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.*Nnn1n+1nna对于数列 a,已知a =1,a=(n),1+a1猜想其通项公式为a =,怎样证明?n证明：(2)假设n=k时猜想成立即1ka k例:证明凸n边形内角和为 中， 初始值应该从几取？初始值应取3(2) 180n例如：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)= ()nN21n 证明：假设n=k时等式成立，即21 3 5(23) (21)1kkk 那么1 3

3、5(21) (21)kk 221 (21)(1)1kkk 即n=k+1时等式成立。所以等式对一切正整数n均成立。例如：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)= ()nN21n 证明：假设n=k时等式成立，即21 3 5(23) (21)1kkk 那么1 3 5(21) (21)kk 221 (21)(1)1kkk 即n=k+1时等式成立。所以等式对一切正整数n均成立。证明：假设n=k时等式成立，即n=1时，左边=1，右边=0，左边 =右边21 3 5(23) (21)kkk 当n=k+1时, 代入得证明:(1) 当1n 左边 = 1，右边 = 12= 1 ，等式成立（2）假设当n=k时

4、成立，即：21 3 5(21) (21)(1) ,kkk 所以等式也成立。综合（1）（2）等式对一切正整数n均成立例如：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)= 2n21 3 5(23) (21)kkk 当n=k+1时, 代入得证明:(1) 当1n 左边 = 1，右边 = 12= 1 ，等式成立（2）假设当n=k时成立，即：21 3 5(21) (21)(1) ,kkk 所以等式也成立。综合（1）（2）等式对一切正整数n均成立例如：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)= 2*()n nN 1+3+5+（2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2问题情境一练习：

5、某个命题当n=k (kN )时成立，可证得当n=k+1时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ ） A. n=6时该命题不成立 B. n=6时该命题成立 C. n=4时该命题不成立 D. n=4时该命题成立C练习巩固 221nn* *- -+ + + += =a a1 1, , n n N N 1 11 1- -a a1 1+ +a aa a a aa a.1.用数学归纳法证明： 在验证 n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ） A1 B. C D. 1 1+ +a a2 21 1+ +a a+ +a a2 23 31 1+ +a a+ +a a + +a aC例1.用数学归纳法

6、证明22221)211236n nnnn N （）（）122334n(n1) 1(1)(2)3n nn练习.用数学归纳法证明：122334n(n1) 1(1)(2)3n nn 从n=k到n=k+1有什么变化凑假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即122334k(k+1)2)(1(31 kkk则当n=k+1时， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk=)2)(1( kk)131( k n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。Nn = 2111)1(31 kkk1)当n=1时，左边=12=2,右边= =2. 命题成立1 1

7、11223 33 3)() 1(131.2111)(. 2kfkfnnnnf则已知11431331231KKKK答案：课堂小结1、数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确4、数学归纳法体现的核心思想是什么？递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题注意类比思想的运用用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。 证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-

8、1）d=a1, 当n=1时，结论成立(2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d 当n=k+1时，结论也成立.由(1)和(2)知,等式对于任何nN*都成立。凑假设1kkaad则1(1)akdd1akd凑结论1(1)1akd证:(1)当n=2时, 左边= 不等式成立.11111413,2 122342424(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即有: 11113,12224kkk则当n=k+1时,我们有:11111(1)1(1)222122111111()12221221kkkkkkkkkkk131113113().24212224(21)(22)24kkkk即当n=k+1时,不等

9、式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切 都成立. *,2nNn 例2.用数学归纳法证明:*11113(2,).12224nnNnnn(4)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清右端应增加的项.例如：利用数学归纳法证明不等式由k递推到k+1左边应添加的因式是12113.1214nnnn11121221kkk1、教材P96 A组1（1）（3）2、查阅资料皮亚诺公理（数学归纳法的理论根据）多米诺骨牌课件演示 例如：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)= ()nN21n 证明：假设n=k时

10、等式成立，即21 3 5(23) (21)1kkk 那么1 3 5(21) (21)kk 221 (21)(1)1kkk 即n=k+1时等式成立。所以等式对一切正整数n均成立。练习.用数学归纳法证明：122334n(n1) 1(1)(2)3n nn 从n=k到n=k+1有什么变化凑假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即122334k(k+1)2)(1(31 kkk则当n=k+1时， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk=)2)(1( kk)131( k n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。Nn = 2111)1(31 kkk1)当n=1时，左边=12=2,右边= =2. 命题成立1 111223 33 3课堂小结1、数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确4、数学归纳法体现的核心思想是什么？递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题注意类比思想的运用用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，