矩阵特征值与特征向量的计算ppt课件

1、第第8章章 矩阵特征值和特征向量的计算矩阵特征值和特征向量的计算 很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、构造或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义艰苦。 求解线性方程组的迭代法，重要一点是判别迭代法的收敛性；判别方法之一就是看迭代矩阵的特征值的模能否都小于1。PA( )是是 的高次的多项式，它的求根是很困难的。设法经的高次的多项式，它的求根是很困难的。设法经过数值方法是求它的根。过数值方法是求它的根。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。假设要求一切的特征值，那么可以对A做一系列的类似变换，“收敛到对角阵或上下三角阵，从而求得

2、一切特征值的近似。n阶方阵A的特征值是特征方程 PA()=det(A-E)=0 的根. A的特征向量是齐次线性方程组 (A-E)x=0 的非零解. 特征根和特征向量的定义复习定理定理1 ：AR nn， 1, , n为为A的特征值，那么的特征值，那么 niiniiiaAtr11)( 2A的行列式值等于全体特征值之积，即的行列式值等于全体特征值之积，即nA 21)det( 1A的迹数等于特征值之和，即的迹数等于特征值之和，即特征根和特征向量的根本结论。 定理2 设为AR nn的特征值且Ax=x，其中x不为0,那么1c 为为cA的特征值的特征值c为常数且不为为常数且不为0); 2 -p为为A-pI

3、的特征值，即的特征值，即(A-pI)x=( -p)x; 3 3 k k为为AkAk的特征值；的特征值； 4 4 设设A A为非奇特阵，那么为非奇特阵，那么 且且 为为 特征值，即特征值，即011A.11xxA定义定义 设矩阵设矩阵A, BR nn，假设有可逆阵，假设有可逆阵P，使使 那么称那么称A与与B类似。类似。APPB1定理定理 假设矩阵假设矩阵A, BR nn且类似，那么且类似，那么1A与与B的特征值完全一样；的特征值完全一样；2假设假设x是是B的特征向量，那么的特征向量，那么Px便为便为A的特征向量。的特征向量。类似矩阵及定义其性质8.1 幂法和反幂法幂法和反幂法 8.1.1 幂法幂法

4、 幂法是用来求矩阵A按模最大的特征值和相应的特征向量的方法.也称为主特征值和主特征向量。 设A是单构矩阵, 即A有n个线性无关的特征向量. A的n个特征值为 |1 2 n 对应的特征向量为1, 2,n 线性无关. 我们要求1 和1. 幂法的根本思想是取初始非零向量x0Rn,作迭代 xk+1=Axk =Ak+1x0, k=0,1,2, 产生迭代序列xk. 由于1,2,n 线性无关, 从而有 x0 =11+22+nn (8.3)xk = Akx0 =1 1k1+2 2k2+n nkn设|12n , 这时,上式可写成)()(11222111nknkkknx假设10, 那么对充分大的k有 111xkk

5、kkkxx111111因此有 niikik, 2 , 1)/()(11xx从而特征向量1 xk.乘幂法的收敛速度取决于|2 /1|的大小. 故有故有 8.1.1 幂法幂法因此，常把每一步计算的迭代向量xk规范化。 对非零向量x,用max(x)表示x的按绝对值最大的分量,称向量y=x/max(x)为向量x的规范化向量. 例如, 设向量x=(2,1,-5,-1)T,那么max(x)=-5,y=(-0.4,-0.2,1,0.2)T.可见规范化向量y总满足y=1.幂法的规范化计算公式为: 任取初始向量x0=y0 0,计算, 3 , 2 , 1,/kmyxkkk1kkxyA)max(kkmy可得)max

6、(00 xAxAxkkk)(max()(21121111niikiniikiii实践计算时，思索到当11时，xk的非零向量趋于无穷； 当11时, xk趋于零；导致计算时机出现上溢或下溢。 8.1.1 幂法幂法所以)max()max(lim111111kkx其收敛速度由比值|2/1|来确定.又由于)(max)(max2111211111niikiniikiii)max(max()max()max(0101xAxAAxymkkkkk所以1limkkm因此,当k充分大时可取: 1 mk , 1 xk.)max(00 xxxkkkAA)(max()(21121111niikiniikiii 8.1.1

7、 幂法幂法算法8.1 幂法 程序见p174。(1)输入矩阵A，非零初始向量y0，最大迭代次数N，精度 ，置k:=0，u=0；(2) 计算 mk = max (yk)； (3)计算(4) 假设 |mk-u| |n| 0 对应的特征向量为1, 2, n, 那么有A-1的特征值为1211111nnn对应的特征向量为n, n-1, 1.要想求n和n只需对A-1运用乘幂法,任取初始向量x0=y00, 作11kkyxA)max(kkxm , 3 , 2 , 1,/kmxykkk也可将上式改写成, 3 , 2 , 1,/kmxykkk)max(kkxm 11kkyxA1kkyxA)max(kkxm , 3

8、, 2 , 1,/)8 . 8(kmxykkk式(8.8)称为反幂法. 显然有)max(/lim,1limnnkknkkymxx每一步求xk需求求解线性方程组, 可采用LU分解法求解.8.1.3 反幂法反幂法征值求指定点附近的某个特是利用“原点位移”，反幂法的一个重要应用和对应的特征向量。,.,2 , 1,)()(11niaai存在，显然其特征值为如果矩阵IA的一个的特征值是。如果对应的特征向量仍然是jiAani),.,2 , 1( 近似值，且,jiaaij法计算相应的特征值和的主特征值，可用反幂是即11)()(IAaaj特征向量，计算公式为。,.2 , 1),max(/,)(, 0 100k

9、akkkkkxxyyxIAxy(8.9)分解进行可以先将为了节省计算工作量，LUa )(IA ,)(LUIA a8.1.3 反幂法反幂法程序见P178，例8.3那么每次迭代只需解二个三角形方程组，因此适用的公式为。,.2 , 1),max(/,;)( , 0100kzUyakkkkkkkxxyxLzLUIAxy8.1.3 反幂法反幂法 Jacobi方法是务虚对称矩阵全部特征值和特征向量的一种矩阵变换方法。8.2 Jacobi 方法方法 实对称矩阵A具有以下性质： (1)A的特征值均为实数;其对应的特征向量线性无关且两两正交。 (2) 存在正交矩阵Q，使QTAQ=diag(1,2,n),而且 Q

10、的第的第i个列向量恰为个列向量恰为 i的特征向量的特征向量; 3假设记A1=QTAQ, 那么A1仍为对称矩阵. 直接找直接找Q不大能够。我们可以构造一系列特殊方式的正交阵不大能够。我们可以构造一系列特殊方式的正交阵Q1,.,Qn对对A作正交变换，使得对角元素比重逐次添加，非作正交变换，使得对角元素比重逐次添加，非对角元变小。对角元变小。当非对角元曾经小得无足轻重时，可以近似以为对角元就是当非对角元曾经小得无足轻重时，可以近似以为对角元就是A的一切特征值。的一切特征值。Jacobi方法就是这样一类方法。方法就是这样一类方法。平面解析几何中的平面坐标旋转变换表示平面上坐标轴旋转角的变换.8.2.1

11、 平面旋转矩阵平面旋转矩阵(旋转正交类似变换旋转正交类似变换 1122cossinsincosyxyx 在三维空间直角坐标系中,ox1y1平面绕着oz1轴旋转角的坐标变换为1112221000cossin0sincoszyxzyx 普通地, 在n维向量空间Rn中, 沿着xi yj平面旋转角的变换矩阵为行第行第jiij11cossin11sincos11)(R称Rij()为平面旋转矩阵或Givens变换矩阵. Rij()具有以下性质: i j 8.2.1 平面旋转矩阵平面旋转矩阵(旋转正交类似变换旋转正交类似变换 xxxx1,.,T T1 12 2n n（ ）将将向向量量 = =的的第第j j个

12、个分分量量约约化化为为零零。,cossinsincos1,., ;,i jiijjijkkyRxyxxyxxyxkn ki j, ,若若令令，有有 111,222121212cossinsincoscossinsincosyxRyxxxxxxx jy调调整整 ，可可将将 约约化化为为零零。0tanjjixyx令令，得得,.,i jRxxxxxT T1 12 2n n左左乘乘向向量量 = =只只改改变变 的的第第i i个个分分量量和和第第j j个个分分量量。jxix 8.2.1 平面旋转矩阵平面旋转矩阵(旋转正交类似变换旋转正交类似变换 22cosiiijxxCrxx 所所以以，取取22,0ii

13、jijjyCxSxrxxy于于是是 ,., ,.,0,.,.i jiijnRxxxr xxxxT T1 1- -1 1+ +1 1j j- -1 1+ +1 1= = (2) Rij()为正交矩阵,即Rij-1()=RijT(); (3) 假设A为对称矩阵, 那么RijT()ARij()也为对称矩阵, 且与A有一样的特征值. (4) RijT()A仅改动A的第i行与第j行元素,ARij()仅改动A的第i列与第j列元素.8.2.1 平面旋转矩阵平面旋转矩阵(旋转正交类似变换旋转正交类似变换 22sinjjijxxSrxx 设实对称矩阵A=(apq)nn ,记B=RijT()ARij()=(bpq

14、)nn那么它们元素之间有如下关系:。jimjilabbjilaabbjilaabbaaabbaaabaaablmmllmiljlljjljlilliilijiijjjiijijjjiijjijjjiiii,;,sincos,sincos,2coscossin)(,cossin2cossin,cossin2sincos2222所以有2222jliljlilaabb22222222ijjjiiijjjiiaaabbb),(2222jilaabbljliljli8.2.1 平面旋转矩阵平面旋转矩阵(旋转正交类似变换旋转正交类似变换 8.14从而22FFABnjiijnjiijab1212,，即由上面

15、两式可得222222ijlkklijlkklaabb21221222ijnkkkijnkkkaabb 假设aij0, 适中选取角, 使02cos2sin)(21ijiijjjiijaaabb只需角满足)15. 8(4|,tan2tan122cot2daaaijjjii8.2.1 平面旋转矩阵平面旋转矩阵(旋转正交类似变换旋转正交类似变换 由式(8.15),令t=tan,那么t满足方程 t2+2dt-1=0为保证|/4,取绝对值较小的根,有)18. 8(0,10,)1)sgn(2dddddt于是,1/1cos2tc)19. 8(1/sin2tts且且0),(),(),(222222jiijkll

16、kklkjikkjjkkjikkiikijjjiijjijjjiiiibbjilkabbjikcasabbjiksacabbcsacasabcsasacab8.2.1 平面旋转矩阵平面旋转矩阵(旋转正交类似变换旋转正交类似变换 8.20的）表示（，用的对角线元素的平方和）表示（如果用AASAAD非对角线元素的平方和，非对角线元素的平方和，则对TRARB 由2222ijijaASBSaADBD）（）（）（）（22FFAB222222ijlkklijlkklaabb21221222ijnkkkijnkkkaabb方法的计算过程。依据。下面说明阵特征值和特征向量的方法求矩这就是和减少了的非对角线元素

17、的平方而增加了的对角线元素的平方和比的对角线元素的平方和这说明JacobiJacobiaBaABijij.2,2228.2.1 平面旋转矩阵平面旋转矩阵(旋转正交类似变换旋转正交类似变换 得得 。可设值最大的中选择非对角元中绝对（先在)0()0(0)ijijaaAA，平面旋转矩阵已经对角化了。再选择否则1)0(, 0RAaij换实施一系列平面旋转变对，继续这个过程，连续，计算，再类似的选择。计算出的元素使ARARARAaARARTijT212221)1(11010为充分小为止。的非对角线元素全化大的元素，直到将消除非对角线绝对值最A我们有以下的收敛性定理保证上述计算过程。我们有以下的收敛性定理

18、保证上述计算过程。8.2.2 Jacobi方法方法 Jacobi收敛性定理收敛性定理, 2 , 1,1kRARAARATkkkknn转变换施行上述一系列平面旋为实对称矩阵，设。（则有0)limkkAS证证由于设,max)()(klmmlkijaa,)(2)()(2)(1kijkkaASAS那么有）。）（）（）（1211nnASASkk定理得证。故, 0)(limkkAS反复利用上式，即得。）（）（2,) 1(21101nnnASASkk,)(1()()(2)(2)(kijmlklmkannaAS 限。的对角线元素一定有极我们指出，可以证明kA设设k充分大时，有充分大时，有,2112DRRARR

19、RRATkTTkk的近似特征值.的对角线元素就是为对角阵,那么kAAD 这里需求阐明一点这里需求阐明一点:并不是对矩阵并不是对矩阵A的每一对非的每一对非对角线非零元素进展一次这样的变换就能得到对对角线非零元素进展一次这样的变换就能得到对角阵角阵.由于在用变换消去由于在用变换消去 的时候的时候,只需第只需第 i 行行,第第 j 行行,第第 i 列列,第第 j 列元素在变化列元素在变化,假设假设 或或 为为零零,经变换后又往往不是零了经变换后又往往不是零了.ijaikajka因此,Qk=RT1RT2RTk 的列向量xj (j=1,2,n)为A的近似特征向量.8.2.2 Jacobi方法方法 的全部

20、特征值. 解解 记记 A0=A,取取i=1,j=2,aij(0)=a12(0)=2,于是于是有有例例 用用Jacobi 方法计算对称矩阵方法计算对称矩阵612152224A25. 02)0(12)0(22)0(11aaad780776. 0)1)sgn(,2dddt788206. 0)1 (cos212t615412. 0cossin,t从而有1000788206. 0615412. 00615412. 0788206. 01000cossin0sincos)(1ijRR所以 再取再取i=2,j=3,aij(1)=a23(1)=2.020190,类似地可类似地可得得以下依次有6020190.

21、2961. 0020190. 2561552. 60961. 00438448. 21011RARAT241166. 40724794. 00320386. 8631026. 0724794. 0631026. 0438448. 22A496424. 4209614. 00209614. 0320386. 8595192. 00595192. 0183185. 23A496424. 4208653. 0020048. 0208653. 0377576. 80020048. 00125995. 24A例题例题485239. 40020019. 00388761. 8001073. 0020019

22、. 0001073. 0125995. 25A485401. 4000009. 0001072. 0000009. 0388761. 800001072. 0125825. 26A485401. 4000009. 00000009. 0388761. 8000125825. 27A从而A的特征值可取为 12.125825, 28.388761, 34.485401 特征向量为R1TR2TRkT例题例题 为了减少搜索非对角线绝对值最大元素时间, 对经典的Jacobi方法可作进一步改良. 1.循环Jacobi方法:按(1,2),(1,3),(1,n),(2,3), (2,4),(2,n),(n-1

23、,n)的顺序, 对每个(i,j)的非零元素aij作Jacobi变换,使其零化,逐次反复扫描下去,直至S(A)为止. 2.过关Jacobi方法: 取单调下降收敛于零的正数序列k,先以1为关卡值,按照1中顺序,将绝对值超越1的非对角元素零化,待一切非对角元素绝对值均不超越1时,再换下一个关卡值2 ,直到关卡值小于给定的精度 .8.2.2 Jacobi方法方法 详细算法和程序见p183，p184。 用用Jacobi方法求得的结果精度普通都比较高，特别是求方法求得的结果精度普通都比较高，特别是求得的特征向量正交性很好。所以得的特征向量正交性很好。所以Jacobi方法是务虚对称矩阵方法是务虚对称矩阵全部

24、特征值和特征向量的一个较好的方法。全部特征值和特征向量的一个较好的方法。 它的弱点是计算量大，对原矩阵是稀疏矩阵，旋转变换后它的弱点是计算量大，对原矩阵是稀疏矩阵，旋转变换后不能坚持其稀疏的性质。不能坚持其稀疏的性质。普通适用于阶数不高的矩阵.8.2.2 Jacobi方法方法 8.3 QR方法方法111111121112,AAQRQ ARARQQ AQAA 由即。于是即 与 相似。k11 (1,2,). kkkkkAQ RkAR QAAA将化成相似的上三角阵（或分块上三角阵），从而求出矩阵 的全部特征值与特征向量。60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。实

25、矩阵、非奇特。实际根据：任一非奇特实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是独一的。 QRQR基本方法的基本思想是利用矩阵的分解通过迭代格式同理可得：Ak类似于A(k=2,3,),故他们有一样特征根。QR方法收敛性方法收敛性 1234*0lim AAAnkkk收敛矩阵序列一个对角线元素为 的特征值的上三角矩阵，即 *0lim AAkkk收敛矩阵序列或一个特征值易计算的上对角线块矩阵，即 QR方法收敛性方法收敛性 QR方法运算量很大，为了减少运算量，常在运用QR方法之前把矩阵A简化为拟上三角矩阵。或称之为海森伯格矩阵(次对角元以下的元素全为零)。8

26、.3.2 化普通矩阵为拟上三角矩阵化普通矩阵为拟上三角矩阵 H外形为外形为是可约的，则（有一个次对角元如若HnkhHkk),110, 1矩阵的特征值问题。问题约简为求解较小的形，可把求解特征值的约的否则是不可约。对于可Hessenberg可以用镜面反射矩阵将可以用镜面反射矩阵将A化为化为Hessenberg形形,下面引见。下面引见。定义定义8.2则称列向量设向量, 1),(22vvvRvTnTvvIvH2)(为镜面反射矩阵，或为镜面反射矩阵，或Householder变换矩阵。变换矩阵。Houholder矩阵矩阵H=H(v)有如下性质：有如下性质： 。是对称正交阵，即1) 1 (HHHHT得知又

27、由122 vvvT。IvvvvvvIHHHTTTT)(442(2)22,xyHxyRxn有记对任何(3) 记S为以v为法向量的平面,那么几何上x与y=Hx关于平面S对称。由于得知xvvIHxyT)2( 。vxvyxT)(2上式阐明向量上式阐明向量x-y与与v平行，留意到平行，留意到y与与x的长度相等，于是的长度相等，于是x经变换后的象经变换后的象y=Hx是是x关于关于s对称的向量，如以下图所示。对称的向量，如以下图所示。镜面反射变换镜面反射变换xvyx-y据前面定义和性质，据前面定义和性质，有下面的定理。有下面的定理。，使则有镜面反射矩阵且设HyxyxRyxn,22定理定理8.4得得Hx=y。

28、则有令12,)(22vvvIHyxyxvT证证知由yyxxTT。22)()(2)(2yxyxyxyyyxxxxyxTTTTT镜面反射变换镜面反射变换由此可得由此可得。yyxxyxxyxyxxxvvxHxTT)()(2222，使得有镜面反射矩阵是对该定理的一个重要应用HxxxxTn0),(211aeHx的计算公式为。矩阵其中HexxsignaT)0 , 0 , 1 (,)(121)(21,12211xaauaexuuuIHT稳定性。值计算的尽量大，从而有利于数使分母的的符号的选取，是为了关于a镜面反射变换镜面反射变换程序见P187定理得证。定理得证。只需令，变成应用是把一个已知向量该定理的还有一

29、个重要,)0, 0 ,(0),(r121TTncaabaaaa2babav2/122221)nrraaacba（，有利用22表示成可将利用vca,rnvvr0从而有TrnTrrnrnrTvvIIvvIvH022)(r0rnrHI的符号相反，因此的符号应该与其中设112, )(2rracaccba镜面反射变换镜面反射变换再利用c的值反过来计算2/1222211)(nrrraaaasignc与平面旋转变换不同的是，镜面反变换可成批的消去向量的非零元与平面旋转变换不同的是，镜面反变换可成批的消去向量的非零元.将恣意矩阵将恣意矩阵A简化为海森伯格矩阵的步骤如下：简化为海森伯格矩阵的步骤如下：11111

30、111 ,1000 01 HouseholderHHH AHHHHHnHouseholder 首首先先，选选取取矩矩阵阵使使得得经经相相似似变变换换后后的的矩矩阵阵的的第第一一列列中中有有尽尽可可能能多多的的零零元元素素。为为此此，应应取取为为如如下下形形式式其其中中为为阶阶矩矩阵阵。111211111221121311212131(,) ,(,) ,TTTnnaa HH AHH aH A Haaaaaaaa 于于是是有有 其其中中镜面反射变换镜面反射变换222222111111.(, 0) 0,2nnnnTaaAaaHH aH AHn 只只要要取取使使得得就就会会使使得得变变换换后后的的矩矩

31、阵阵的的第第一一列列出出现现个个零零元元。镜面反射变换镜面反射变换镜面反射变换镜面反射变换2211221222211221000*0100*00*0022, .nnnHouseholderHH H AH HHnnHouseholderHHHHH H AH HHHHHessenberg 同同理理，可可构构造造如如下下列列形形式式矩矩阵阵使使得得* *如如此此进进行行次次，可可以以构构造造个个矩矩阵阵使使得得其其中中为为上上矩矩阵阵AH。特特别别地地，当当 为为实实对对称称矩矩阵阵，则则经经过过上上述述正正交交变变换换后后，变变为为三三对对角角阵阵。522 23 2105 2 22 2021002

32、41A 镜面反射变换镜面反射变换例：用例：用Householder变换将矩阵变换将矩阵A化为上化为上Hessenberg阵阵解：求解：求HousholderHousholder矩阵矩阵1222,02HH 有有12, (2,2)2(1,0)(22,2) TTTu ，其中 22222104422201222224422 镜面反射变换镜面反射变换2 2TTuuHIu u21000010022 0022220022H 2112 10005222320100105222222002202102202410022100052510100103222 000223220012220022HHHA HH 于于

33、 是是 有有镜面反射变换镜面反射变换 用用Household方法对矩阵方法对矩阵A作正交类似变换作正交类似变换, 使使A类似与上类似与上Hessenberg阵，程序见阵，程序见P190(1)(1)(1)11121(1)(1)(1)21222(1)(1)1 1 nnnnnnbbbbbbBbbnGivensBQR 对对上上H essenberg阵H essenberg阵, ,通通常常用用个个变变换换阵阵可可将将它它化化成成上上三三角角矩矩阵阵，从从而而得得到到 的的分分解解式式。、用、用 GivensGivens变换对上变换对上HessenbergHessenberg阵作阵作QRQR分解分解详细步

34、骤：详细步骤：(1)210 b 假设假设否那么进展下一步否那么进展下一步取旋转矩阵R(1,2)1111cossin00sincos00001 1 (2)(2)(2)112131(2)(2)(2)22232(2)(2)(2)1232333(2)(2)1(1)(1)(1)(1)1121111112111(1,2) cos, sin, . nnnnnnnrbbbbbbRBBbbbbbbbrbbrr 其其中中1111cossin00 sincos000011 、用、用 GivensGivens变换对上变换对上HessenbergHessenberg阵作阵作QRQR分解分解2322222( 3 )( 3

35、 )( 3 )( 3 )11213111( 3 )( 3 )( 3 )223212( 3 )( 3 )( 3 )333132( 3 )( 3 )4341 0(10cossinsincos (3, 2)11 (3 , 2)nnnnnnnbRrbbbbrbbbbbbRBbb （）设设否否 则则 进进 行行 下下 一一 步步 ） ， 再再 取取 旋旋 转转 矩矩 阵阵 则则3( 3 )4( 3 )( 3 )1( 2 )( 2 )( 2 )2( 2 )23222222223222 cos, sin, ()() .nnnnnBbbbbbrbbrr 其其 中中、用、用 GivensGivens变换对上变换

36、对上HessenbergHessenberg阵作阵作QRQR分解分解1( )( )( )( )1111111( )( )( )11111( )( )( )1( )( )( )1111( )( )1 (1, ) kkkkkkkknnkkkkkkknknkkkkkknknkkkkkknknkknnnnBR kk Brbbbbrbbbbhhbbbbb 1k 假假设设上上述述过过程程已已进进行行了了步步，有有、用、用 GivensGivens变换对上变换对上HessenbergHessenberg阵作阵作QRQR分解分解()1()()1()2()21 0,11 (1,)cossinsincos1 co

37、s, sin, ()() .kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkbR kkbbrrrbb 设设取取其其中中、用、用 GivensGivens变换对上变换对上HessenbergHessenberg阵作阵作QRQR分解分解(1)(1)(1)11111(1)(1)1(1)(1)(1)111111(1)(1)(1)21212(1)(1)1 (1, )kkkkknkkkkkknkkkkkkkknknkkkkkknknkknnnnrbbbrbbR kk BBbhbbhhbb 于于是是、用、用 GivensGivens变换对上变换对上HessenbergHessenberg阵作阵作QRQR分解分解因此，最多做n-1旋转变换，即得( )( )( )( )112131( )( )2232( )33( ,1) (2,1)(1,2)nnnnnnnnnnnHR n nR nnRBrbbbrbbRrbr( ,1),(2,3, , )R i ii