2019届高考数学一轮复习 不等式选讲 第二节 不等式的证明课件 文

1、第二节不等式的证明总纲目录教材研读1.比较法考点突破2.综合法与分析法3.反证法考点二用综合法、分析法证明不等式考点一比较法证明不等式考点三放缩法证明不等式4.放缩法5.平均值不等式考点四柯西不等式的应用1.比较法比较法(1)作差法(a、bR):a-b0ab;a-b0a0,b0):1ab;1ab1,x=a+,y=b+,则x与y的大小关系是()A.xyB.xb1得ab1,a-b0,所以0,即x-y0,所以xy.1a1bbbaab()(1)ab abab()(1)ab ababA3.若a,b,mR+,且ab,则下列不等式一定成立的是()A.B.C.D.b,-=0,即,故选B.bmamba()()m

2、 aba ambmambaB4.设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为.22mn答案答案5解析解析根据柯西不等式得=|ma+nb|=,当且仅当=(a2+b2=5,ma+nb=5),即m=a=n=b=时取等号,故的最小值为.22mn152222()()mnab155manb10222mn555.设a0,b0,若是3a与3b的等比中项,求证:+4.31a1b证明证明由是3a与3b的等比中项得3a3b=3,即a+b=1.要证原不等式成立,只需证+4,即证+2.因为a0,b0,所以+2=2当且仅当=,即a=b=时,取等号,所以+4.3abaabbbaabbaabb aa b

3、baab121a1b6.若a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求+的最大值.abc解析解析(+)2=(1+1+1)2(12+12+12)(a+b+c)=3.当且仅当a=b=c=时,等号成立.(+)23.故+的最大值为.abcabc13abcabc3典例典例1设a,b是非负实数,求证:a3+b3(a2+b2).ab考点一考点一比较法证明不等式比较法证明不等式考点突破考点突破证明证明a,b是非负实数,a3+b3-(a2+b2)=a2(-)+b2(-)=(-)()5-()5.当ab时,从而()5()5,得(-)()5-()50;当ab时,从而()50.所以a3+b3(a2+b2).abaabbb

4、aababababababababababab方法技巧方法技巧作差比较法证明不等式的步骤(1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”是关键,通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负.注:作商比较法也有类似的步骤,但注意其比较的是两个正数的大小,且第(3)步要判断商与1的大小.1-1已知a,b都是正数,且ab,求证:a3+b3a2b+ab2.证明证明(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2.因为a,b都是正数,所以a+b0.又因为ab,所以(a-b)20.于是(a+b)(a-b)20,即(a3+b3)-(a2b+ab

5、2)0,所以a3+b3a2b+ab2.1-2已知a,b(0,+),证明:aabb(ab.2)a b证明证明a,b(0,+),= =,当a=b时,=1.当ab时,1,0,则1.当ba时,01,1.综上可知,aabb(ab成立.2()aba ba bab2a ba2b ab2a bab2a babab2ab2a babab2ab2a bab2)a b典例典例2(2017课标全国理,23,10分)已知a0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.考点二考点二用综合法、分析法证明不等式用综合法、分析法证明不等式证明证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+

6、a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+(a+b)=2+,所以(a+b)38,因此a+b2.23()4ab33()4ab规律总结规律总结1.利用综合法证明不等式时,应注意对已证不等式的使用,常用的不等式有:(1)a20;(2)|a|0;(3)a2+b22ab,它的变形形式有(a+b)24ab,等;(4)(a0,b0),它的变形形式有a+2(a0),+2(ab0),+-2(abcd,则+;(2)+是|a-b|cd,所以(+)2(+)2.因此+.(2)(i)若|a-b

7、|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,ababcdcdabcdabcd即(a+b)2-4abcd.由(1)得+.(ii)若+,则(+)2(+)2,即a+b+2c+d+2.因为a+b=c+d,所以abcd.abcdabcdabcdabcd于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|+是|a-b|c-d|的充要条件.abcd典例典例3若a,bR,求证:+.|1 |abab|1 |aa|1 |bb考点三考点三放缩法证明不等式放缩法证明不等式证明证明当|a+b|=0时,不等式显然成立.当|a+b|0时,由0|a+b|a|+|b|,所以=+.1|ab1|ab

8、|1 |abab111|ab111|ab|1 |abab|1 |aab|1 |bab|1 |aa|1 |bb规律总结规律总结(1)在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换:变换分式的分子和分母,如,.以上不等式中kN*,k1;利用函数的单调性;真分数性质“若0a0,则”.(2)在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度.21k1(1)k k 21k1(1)k k 1k21kk1k21kkabambm3-1设n是正整数,求证:+n(k=1,2,n),得.当k=1时,;当k=2时,;当k=n时,所以=+=1.原不等式成立.12n1nk1n12n11n1n12n12

9、n1n12n1nn1n122nn11n12n12nnn典例典例4已知x,y,z均为实数.(1)若x+y+z=1,求证:+3;(2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值.31x32y 33z 3考点四柯西不等式的应用考点四柯西不等式的应用解析解析(1)证明:因为(+)2(12+12+12)(3x+1+3y+2+3z+3)=27.所以+3.当且仅当x=,y=,z=0时取等号.(2)因为6=x+2y+3z,所以x2+y2+z2,当且仅当x=,即x=,y=,z=时,x2+y2+z2有最小值.31x32y 33z 31x32y 33z 32313222xyz1491872y3z3767971

10、87规律总结规律总结(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构:(+)(1+1+1)2=n2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.21a22a2na22212111naaa4-1设x,y,zR,x2+y2+z2=25,试求x-2y+2z的最大值与最小值.解析解析根据柯西不等式,有(1x-2y+2z)212+(-2)2+22(x2+y2+z2),即(x-2y+2z)2925,所以-15x-2y+2z15,故x-2y+2z的最大值为15,最小值为-15.4-2已知大于1的正数x,y,z满足x+y+z=3.求证:+.3223xxyz223yyzx223zzxy32证明证明由柯西不等式