高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 抛物线及其性质课件 理

1、9.6 抛物线及其性质高考理数高考理数考点一抛物线的定义及其标准方程考点一抛物线的定义及其标准方程平面内到一个定点F和一条定直线l(F l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线,抛物线关于过焦点F且与准线垂直的直线对称,这条直线叫抛物线的对称轴,简称抛物线的轴.在抛物线中,记焦点F到准线l的距离为p,以抛物线的焦点F到准线l的垂线段的中点为坐标原点,以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系,可以得到抛物线的四种不同形式的标准方程y2=2px,x2=2py,其中p0.知识清单考点二抛物线的几何性质考点二抛物线的几何性质考点三直线与抛物线的位置关系考点三直线与抛物线的位

2、置关系凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题,要注意利用根与系数的关系,避免求交点坐标的复杂运算.解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质.焦点弦及其性质设AB为过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则(1)x1x2=;(2)y1y2=-p2;(3)弦长|AB|=x1+x2+p=(为直线AB的倾斜角);(4)SAOB=;(5)+=;(6)以弦AB为直径的圆与准线相切;(7)以AF为直径的圆与y轴相切;(8)焦点F对A,B在准线上射影的张角为90.24p22sinp22sinp1|FA1|FB2p【知识拓展】1.点P(x

3、0,y0)与抛物线y2=2px(p0)的位置关系(1)点P(x0,y0)在抛物线内2px0.2.若AB是抛物线x2=2py(p0)的任意一条焦点弦,分别过A,B作抛物线的切线,交于点P,则(1)P的轨迹为准线y=-;(2)PAPB;(3)PFAB;(4)xP=.20y20y20y2p2ABxx1.定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定p的值,得到抛物线的标准方程.2.待定系数法(1)根据抛物线焦点在x轴上还是y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于p的方程,解出p,从而写出抛物线的标准方程.(2)当焦点位置不确定时,有两种方法解决:一种是分情况讨论,注意要对四种形式的标准

4、方程进行讨论,对于焦点在x轴上的抛物线,为避免开口方向不确定而分为y2=2px(p0)或y2=-2px(p0)两种情况求解.另一种是设成y2=mx(m0),若m0,则开口向右;若m0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则抛物线的方程为.解题导引解析设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上,又圆的面积为36,圆的半径为6,则|MF|=xM+=6,即xM=6-,又由题意可知xM=,=6-,解得p=8.抛物线方程为y2=16x.2p2p4p4p2p答案y2=16x抛物线是到定点和定直线距离相等的点的轨迹,利用该定义可有效地实现抛物线上的

5、点到焦点和到准线的距离的转化,将有利于问题的解决.解题时要充分利用定义,多关注焦点和准线.例2(2016广东广州3月模拟,6)如果P1,P2,Pn是抛物线C:y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,xn,F是抛物线C的焦点,若x1+x2+xn=10,则|P1F|+|P2F|+|PnF|=(A)A.n+10B.n+20C.2n+10D.2n+20抛物线定义的应用策略抛物线定义的应用策略方法2解题导引解析由抛物线的方程y2=4x可知其焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,由抛物线的定义可知|P1F|=x1+1,|P2F|=x2+1,|PnF|=xn+1,所以|P1F|+|P2F|+|Pn

6、F|=x1+1+x2+1+xn+1=(x1+x2+xn)+n=n+10.故选A.评析掌握抛物线的定义是解题的关键.1.设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p0),直线与抛物线交点的个数等价于方程组解的个数,也等价于方程ky2-2py+2bp=0解的个数.当k0时,若0,则直线和抛物线相交,有两个公共点;若=0,则直线和抛物线相切,有一个公共点;若0)相交,有一个公共点.特别地,当直线l的斜率不存在时,设l:x=m,则当m0时,l与抛物线相交,有两个公共点;当m=0时,l与抛物线相切,有一个公共点;当m0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A、B两点,且|AF|=4|FB|,O为坐标原点,若AOB的面积为,则p=.58解题导引解析易知抛物线y2=2px的焦点F的坐标为,准线为x=-,不妨设点A在x轴上方,如图,过A、B作准线的垂线AA,BB,垂足分别为A,B,过点B作BHAA,交AA于H,则|BB|=|AH|,设|FB|=t,则|AF|=|AA|=4t,|AH|=|AA|-|AH|=3t,又|AB|=5t,在RtABH中,cosHAB=,02p2p35tanHAB=,则可得直线AB的方程为y=.由得8x2-17px+2p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+