CAE应力集中问题的考察

1、应力集中问题的考察-无倒角情况前面考察了一个应力集中的问题。算例表明，当台肩处没有倒角时，在台肩处存在应力集中，且用有限元无法得到真实的应力解。这里再考察一个类似的例子如下图。该结构左边固定，而在下面直线上施加竖直向下的分布力系，现在逐渐加密网格，考察台肩处应力值的改变。（1）使用5mm的单元尺寸对该面进行网格划分得到的有限元模型如下计算结束后，绘制该面的米塞斯应力云图如下，此时，固定端的上下边沿显现出最大值。（2）使用2mm的单元尺寸对该面进行网格划分得到的有限元模型如下计算结束后，绘制该面的米塞斯应力云图如下，此时，固定端的上下边沿显现出最大值，但应力值上升。（3）使用1mm的单元尺寸对该

2、面进行网格划分得到的有限元模型如下计算结束后，绘制该面的米塞斯应力云图如下，此时，应力最大值点已经转移到台肩处，应力大幅度增加。（4）继续使用1mm的单元尺寸对该面进行网格划分，但是对上述应力最大值点局部加密网格。得到的有限元模型如下计算结束后，绘制该面的米塞斯应力云图如下，此时，应力最大值点仍旧在台肩处，应力暴增。（5）继续使用1mm的单元尺寸对该面进行网格划分，但是对上述应力最大值点局部加密网格第二次。得到的有限元模型如下计算结束后，绘制该面的米塞斯应力云图如下，此时，应力最大值点仍旧在台肩处，应力继续暴增。5）继续使用1mm的单元尺寸对该面进行网格划分，但是对上述应力最大值点局部加密网格

3、第三次。得到的有限元模型如下计算结束后，绘制该面的米塞斯应力云图如下，此时，应力最大值点仍旧在台肩处，应力以几倍的速度上升，结果已经毫无意义。【评论】 有限元软件无法计算尖锐转角处的应力。 CAE分析中，如果我们得到的模型中存在尖锐转角，那么一定要高度警惕，需要仔细询问该模型是否已经经过了简化。 如果我们得到了一个尖锐转角的模型，而又确信该处并非我们所关注的地方，那么在计算时，就不要对此处加密网格，而只是在我们所关心的地方加密网格。 如果我们得到的是有倒角的模型，那么当我们对之做简化而删去倒角时，一定要谨慎。这可能会导致计算中的应力无限增大，此时我们会得到虚假的结果，从而导致误判。应力集中问题

4、的考察-倒斜角情况前面两篇文章考察了没有倒角情况下的应力集中问题。结果表明，当没有倒角时，台肩处应力会无限增大，因此有限元无法计算此处的应力。在机械零件中，经常使用倒斜角的情况，那么，有限元软件能够对此处的应力进行正确计算吗？我们使用了一个例子如下。该轴是一个阶梯轴，在截面变化处有一个45度的斜角。该轴的左端面固定，而右端面施加1MPa的分布拉伸载荷，现在我们考察轴肩处的应力情况。（1）单元尺寸5mm.得到的有限元模型如下计算的应力云图如下可见，轴肩拐角处应力是1.33MPa.（2）单元尺寸2mm.得到的有限元模型如下计算的应力云图如下可见，轴肩拐角处应力是1.82MPa.增幅为37%。（3）

5、单元尺寸2mm.在该应力最大点加密网格第1次，得到的有限元模型如下计算的应力云图如下可见，轴肩拐角处应力是2.33MPa.增幅为28%。（4）单元尺寸2mm.在该应力最大点加密网格第2次，得到的有限元模型如下计算的应力云图如下可见，轴肩拐角处应力是3.73MPa.增幅为60%。（5）单元尺寸2mm.在该应力最大点加密网格第3次，得到的有限元模型如下计算的应力云图如下可见，轴肩拐角处应力是7.6MPa.增幅为104%。（6）单元尺寸2mm.在该应力最大点加密网格第4次，得到的有限元模型如下计算的应力云图如下可见，轴肩拐角处应力是21.81MPa.增幅为187%。【评论】随着网格的加密，应力越来越

6、大，没有减缓的趋势，这是一个令人忧心的结果。可见，即便倒了斜角，有限元软件也不能正确计算拐角处应力的值，那么，如果此处倒圆角会出现什么结果呢？能够保证应力的计算出现收敛吗？下篇文章将讨论此问题。应力集中问题的考察-倒圆角情况前面的研究表明，对于无倒角，以及倒斜角情况，有限元软件并不能正确计算出轴肩处的应力。那么，如果此处倒圆角呢？本文考察这种情况下有限元软件的计算能力。例子如下，在轴肩处倒了圆角。下面不断加密网格，看在台肩处应力是否收敛。（1）单元尺寸5mm,得到的有限元模型如下计算完毕后得到的应力云图如下可见，最大值在固定端处，应力为75MPa,而台肩处应力也比较大。（2）单元尺寸2mm,得

7、到的有限元模型如下计算完毕后得到的应力云图如下可见，最大值已经转移到台肩处，应力值上升到89MPa.（3）单元尺寸1mm,得到的有限元模型如下计算完毕后得到的应力云图如下可见，最大值又经转移到固定端处，应力值上升到100MPa.（4）单元尺寸1mm,局部加密应力集中处第一次，得到的有限元模型如下计算完毕后得到的应力云图如下可见，最大值又转移到台肩处，应力值小幅上升。（5）单元尺寸1mm,局部加密应力集中处第二次，得到的有限元模型如下（台肩处）计算完毕后得到的应力云图如下可见，此时最大值仍旧在台肩处，应力只增加了1MPa.（6）单元尺寸1mm,局部加密应力集中处第三次，得到的有限元模型如下计算完

8、毕后得到的应力云图如下可见，此时最大值仍旧在台肩处，应力只增加了0.5MPa.（7）单元尺寸1mm,局部加密应力集中处第四次，得到的有限元模型如下计算完毕后得到的应力云图如下可见，此时最大值仍旧在台肩处，应力只增加了0.036MPa.结果已经收敛。【评论】 当台肩处存圆角时，只要不断细分网格，结果会出现收敛。 对于有圆角的台肩处，必须不断加密网格，才能得到精确的结果。随便划分一个粗糙的网格，结果是完全不可信的。例如最开始划分的5mm的网格，可以发现台肩处应力只有75MPa左右，而最后的收敛解却是104MPa,显然结果悬殊。应力集中问题的考察-有孔零件的情况前面几篇文章考察了轴肩处无倒角，倒斜角

9、，倒圆角时，有限元软件的计算能力，这里接着考察有孔零件的有限元分析。有孔的零件同样存在应力集中，那么有限元软件在对之进行计算时，能否得到收敛的结果呢？这是我们在分析中必须关注的另外一个问题。算例如下，一带孔板件，左边固定，右边施加1MPa的均布拉力，现在考察小孔处的应力。（1）单元尺寸5mm,得到的有限元模型如下应力云图如下可见，在孔的周围已经出现了应力集中。按照弹性力学理论，最大应力应该出现在孔的上下边沿，此时因为网格很粗，最大应力是在该孔的其它地方出现的。（2）单元尺寸2mm,得到的有限元模型如下应力云图如下可见，孔的上下边沿应力最大，为2.79MPa.（3）单元尺寸1mm,得到的有限元模

10、型如下应力云图如下可见，应力上升到3.16MPa.（4）单元尺寸1mm,孔周围第一次局部加密，得到的有限元模型如下应力云图如下可见，应力上升到3.37MPa.（5）单元尺寸2mm,孔周围第二次局部加密，得到的孔周围有限元模型如下应力云图如下可见，在远离孔处，应力已经均匀分布，这意味着网格划分已经大致合适。应力上升到3.41MPa.（6）单元尺寸2mm,孔周围第三次局部加密，得到的有限元模型如下应力云图如下可见，应力上升到3.42MPa.结果已经收敛。【评论】 对于有孔的零件，通过不断加密网格，有限元分析软件可以得到收敛的结果。 如果结构中存在孔洞，在有限元分析前不要随便简化这些小结构，除非我们

11、坚信这些地方并非危险处。应力集中问题的考察-有倒角的三维模型前面的一系列仿真表明，对于应力集中问题，（1）如果是倒圆角，或者是有圆孔，那么网格的细分可以得到收敛的结果，此时有限元软件是可以相信的。（2）如果是没有倒角，或者倒斜角，那么网格的细分并不能得到收敛的结果，此时不应该相信有限元在此处的计算结果。尽管如此，我们知道，在机械中，对于零件倒斜角是非常普遍的情况。难道有限元软件对此真的没有计算办法吗？这件事情让笔者十分的忧虑，为此，笔者又考察了一个三维模型，是一个倒斜角的阶梯轴。现在试图对该轴进行拉伸，考察轴肩处应力的计算情况。现在固定小端的端面，而在大端的端面上施加1MPa的分布拉伸载荷，通

12、过对于轴肩处网格的细分来考察其应力的计算结果。（1）单元尺寸5mm。得到的有限元模型如下而应力云图如下此处的应力是4.16MPa.（2）局部网格细分第1次。得到的有限元模型如下而应力云图如下此处的应力是5.09MPa.增长22.4%.（3）局部网格细分第2次。得到的有限元模型如下而应力云图如下此处的应力是7.18MPa.增长41.1%.（4）局部网格细分第3次。得到的有限元模型如下而应力云图如下此处的应力是11.10MPa.增长54.6%.可见，这种增长并没有收敛的趋势。如此看来，有限元软件对于这种倒斜角问题的计算能力实在值得忧虑。而倒斜角的轴在机械中出现得何其多！难道，对于这种问题我们就无能

13、为力了吗？莫非我们还需要借助于手册，去查阅此处的应力集中系数吗？这真是一个令人不安的问题。应力集中问题的考察-倒角处位移的变化前面的分析表明，当网格细分时，倒角处应力会一直增加，但这种现象并不适用于位移。换一句话说，当在此处网格细分时，位移值只是缓慢增加，而且会趋于收敛，下面举例子以说明此问题。仍旧取前面的例子如下图。变截面轴在轴肩处倒角，左边固定，而右边加分布载荷，现在考察图示关键点的位移变化情况。首先给整个面均匀划分网格如下图然后对上述关键点逐渐加密网格如下图连续加密四次，考察该点位移的变化情况，其结果如下表。表中位移的单位是mm，而相对误差是用当前位移值与前面位移值的差除以前面位移得到的

14、。可见，随着网格的加密，该点的位移变化缓慢。在第一次加密时，位移只有很缓慢的增长，0.32%,按照有限元分析3%的容许误差，都可以认为此时已经达到正确解了。但是我们依然连续加密网格，可以看到相对误差逐渐减小，直到最后的0.02%,误差已经相当小，完全可以认为收敛了。把上述位移值用折线图表达出来，结果是也可以发现，结果的确趋于收敛。可见，虽然有限元软件并不能正确计算该点的应力，但是对于位移的计算却是相当好的，从而位移值是可以相信的，但是应力的计算却不容乐观。实际上，位移有限元法以位移作为基本求解变量，它在组装方程以后，首先求出的是位移，然后基于几何方程得到应变，再根据虎克定律得到应力。因此，位移

15、是最精确的，而应变和应力则是通过求导数而得到，其精确性会降低。对于应力集中点，这尤其明显。这也提醒我们，在应力集中处，有限元软件仍旧正确的计算了位移。而且我们可以相信，在应力集中点的附近，由于位移保持了连续性，因此应力也一定是保持连续的，基于这个原理我们可以推算该点的正确应力。下篇文章将阐述这种方法。有限元分析的一些基本考虑-位移解应变解和应力解我们知道，经过单元方程的组装以后，ANSYS所形成的结构静力学有限元方程如下其中，F-节点载荷向量；K-总体刚度矩阵；d-节点位移向量在引入边界条件以后，解上述方程组，就可以得到节点位移向量d.这是求解结构静力学方程组所得到的第一组解，它是最精确的。得

16、到节点的位移解后，下面是求取应变解和应力解。与位移解不同，它们并不是直接在节点上获得，而是首先在积分点上获得的。所谓积分点是指，在对单元建立方程时，例如刚度矩阵是需要通过积分而得到的，而积分时为了能够方便计算，大多数有限元软件采用了所谓高斯积分的方式，即在单元内分布一些高斯点，如下图的1,2,3,4点这样，有限元软件会首先获得这些高斯点的应力和应变，其方法如下：在高斯积分点上，依据几何方程计算出高斯积分点上的应变然后基于虎克定律及几何方程推导的结果来计算高斯积分点的应力。可见，在应变和应力计算方面，高斯积分点的应变和应力是最最准确的。那么，如何计算节点的应力和应变呢？此时，利用特定单元的形函数

17、以及高斯点的应力，应变值，将这些值外推到该单元的节点上，就得到了单元上节点的应力应变值。显然，不同的单元会共用一些节点，而从不同单元内的积分点外推到这些公共节点的应变值和应力值一般不相同，那么到底取哪个单元的外推结果呢？此时，可以采用平均主义的思想。即使将一个公共节点的多个应力进行平均，以代表该节点的应力值，该平均过程称为“平滑”。总之，求解节点应力的步骤是：（1）根据总体方程，得到节点的位移解。（2）根据几何方程，得到单元高斯点的应变解。（3）根据物理方程，得到单元高斯点的应力解。（4）在某一个单元内，基于形函数，将高斯点的应力外推到该单元的所有节点。（5）对于某一个公共节点，将该节点关联的

18、所有单元所推出的该节点的应力解进行平均，最终得到该节点的应力解。在ANSYS WORKBENCH的后处理中，如果我们加入了一个应力对象，我们可以看到其细节视图中有下列选项-积分点结果选项，如下图那么这里面的7项是什么含义呢？下面阐释这七项的意义。(1)unaveraged:显示没有进行平均的应力结果。(2)averaged：显示平均后的应力结果。(3) nodal difference：对于公共节点，计算其相连各单元计算得到的非平均应力的差的最大值。(4)nodal fraction：计算公共节点的nodal difference与节点平均值的比值。(5)elemental differenc

19、e：对于一个单元上的所有节点，计算其非平均结果的最大差值。(6)elemental fraction：计算element difference与单元平均值的比值。(7)elemental mean:根据平均化的应力结果来计算单元的平均值。这样，我们在浏览应力结果时，应根据需要来选择我们需要查看的对象。如何对待有限元分析中的应力集中问题前面的一系列研究表明，在有限元分析中，对于非圆处的尖锐转角进行网格细分时，应力会一直增大，从而得不到正确的结果。那么如何对待这种问题呢？首先，我们承认，这是有限元分析中的一个事实。其次，我们要认识到，在分析研究对象的时候，并非总是面对一个抽象的任意的几何体，而是一

20、个实际的零件。而实际零件在结构设计中已经遵循了一些设计原则（见上篇博文），遵循这些设计原则所得到的零件已经具有良好的结构，并不一定会出现我们所忧虑的那种情况。笔者又查阅了其它的机械设计准则，发现：（1）倒角出现的位置。大部分出现在孔口或者轴端，目的是为了便于安装或者安全操作。（2）圆角出现的位置。为了避免在阶梯轴或者阶梯孔在轴肩处因尖角而导致的应力集中，在轴肩处加工了圆角。对于上述（2）种情况，前面的分析表明，有限元分析的结果是收敛的，可以得到正确的结果。对于上述（1）种情况，倒角出现在孔口或者轴端，此处几乎处于不受力或者受力很小的位置，所以这里不会是危险点出现的地方，基于这种直觉判断，我们不用对此处进行网格加密来分析其应力。但是我们在实际分析中也发现了这样的结构它在中间过渡处存在着尖锐的转角，这显然是不合理的设计结构。那么如何对待这种问题呢？笔者的建议是：（1）向设计方提出此疑问，希望改善结构设计。（2）如果设计方坚持此处的尖锐转角，而又需要得到应力结果，那么只能采取计算外推的方式来推算此处拐角的应力。即：在拐角一定距离处细分网格，得到其附近的精确应力结果后，