文科经管类微积分第九章常微分方程ppt课件

1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：教案制作：微分方程的基本概念上页下页铃结束返回首页 设所求曲线的方程为yy(x). 例例1. . 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(x, y)处的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程. 根据导数的几何意义, 可知未知函数yy(x)应满足 解解: 此外, 未知函数yy(x)还应满足下列条件: 由(1)式得，其中C是任意常数. xdxy2, xdxdy2. (1)x1时, y2. (2) 把条件“x1时, y2”代入(3)式, 得 212C, C1.把C1代入(3)式, 得所求曲线方程: yx21. (3), 即Cxy2, 下页上页下页铃结束返回

2、首页微分方程 常微分方程与偏微分方程 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 下页凡含有凡含有未知函数未知函数的导数或微分的方程叫的导数或微分的方程叫微分方程微分方程. .例例,xyy ,e32xyyy , yxxz , 0dd)(2 xxyxy.)(dd2xyxxy 上页下页铃结束返回首页 例例2. . 列车在平直线路上以20m/s的速度行驶; 当制动时列车获得加速度0.4m/s2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解解: 设列车制动后t秒所行驶的距离为s(t)米. 根据题意未知函数ss(t)应

3、满足: s0.4. (1) s|t00, s|t020. (2)由(1)式，积分一次, 得 s0.4tC1; (3)再积分一次, 得 s0.2t2 C1tC2, (4)这里C1, C2都是任意常数. 把条件s|t020代入(3)式得 20C1; 把条件s|t00代入(4)式得 0C2. 把C1, C2的值代入(3)及(4)式得 v0.4t20, (5) s0.2t220t. (6) 在(5)式中令v0, 得t50(s). 再把t50代入(6), 得 s0.25022050500(m). 下页上页下页铃结束返回首页提示:微分方程 常微分方程与偏微分方程 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方

4、程. 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 它们都是微分方程xdxdy2. 例1中所列的关系式为s0.4. 例2中所列的关系式为下页凡含有凡含有未知函数未知函数的导数或微分的方程叫的导数或微分的方程叫微分方程微分方程. .例例,xyy ,e32xyyy , yxxz 2()dd0,yxyx x.)(dd2xyxxy 上页下页铃结束返回首页微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. 提示:xdxdy2. 例1中所列的关系式为s0.4. 例2中所列的关系式为这是一阶微分方程这是二阶微分方程v几个基本概念 下页上页下页铃结束返回首页v几个基本概念 提示:

5、微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解. 在例1中, 微分方程y2x的解有yx2C和yx21. 在例2中, 微分方程s0.4的解有 s0.2t2 C1tC2, s0.2t2 20tC2和s0.2t220t. 下页上页下页铃结束返回首页求所给函数的导数: 解解: :这表明函数 满足所给方程, 因此所给函数是所给方程的解. 下页0 yy是方程是方程验证函数验证函数xxycos3sin2 例例2 2.的解的解,sin3cos2xxy ,cos3sin2xxy 由上式得: 0 yyxxycos3sin2 上页下页铃结束返回首页下页若一个函数中出现的两个常数不能通过运算合并为一个常数，那么这

6、两个常数是独立的，12xyCC e中的12,C C是独立的， 而12xyCCe中的12,C C可以合并为一个常数，所以这里的 不独立例如12,C Cv常数互相独立 上页下页铃结束返回首页v几个基本概念 提示:微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解. 通解 如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解. 特解 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解叫特解. 在例1中, 微分方程y2x的解有yx2C和yx21. 在例2中, 微分方程s0.4的解有 s0.2t2 C1tC2, s0.2t2

7、 20tC2和s0.2t220t. 通解通解通解特解什解什么解?下页上页下页铃结束返回首页解通解特解其它共同点：不同点：上页下页铃结束返回首页v几个基本概念 提示:初始条件 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 对于一阶微分方程, 通常用于确定任意常数的条件是 对于二阶微分方程, 通常用于确定任意常数的条件是当0 xx时,0yy, 或写成当0 xx时, 0yy, 0yy, 或写成0yy, 或写成00yyxx. 0yy, 或写成00yyxx, 00yyxx. 例1是求微分方程满足初始条件y|x12的解. 例2是求微分方程s0.4满足初始条件s|t00, s|t020的解. 下页y2x上

8、页下页铃结束返回首页v几个基本概念 初始条件 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 求一阶微分方程yf(x, y)满足初始条件00yyxx的解的 问题, 记为 00),(yyyxfyxx. 提示:例1是求微分方程满足初始条件y|x12的解. 例2是求微分方程s0.4满足初始条件s|t00, s|t020的解. 下页y2x上页下页铃结束返回首页 例解解处上任意一点的平面曲线设通过点 ),( )2 , 1 ( 0yxMLM . 2 的方程，求此曲线的切线的斜率为Lx，则有设曲线的方程为)( xyy .2ddxxy应满足条件此外，函

9、数 )(xyy ， 2)(1xxy) 1 (积分，得式两边关于将 ) 1 (xCxxxy2d2)2()3(，得代入将)3()2(, 1C 故所求的曲线方程为12 xy微分方程微分方程初始条件初始条件通解通解特解特解上页下页铃结束返回首页作业P1651. (1)(3)(5) 3. 2. 5. 高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：教案制作：可分离变量的微分方程上页下页结束返回首页铃9.2 可分离变量的微分方程上页下页铃结束返回首页第二节第二节 可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程xxfyygd)(d)( xxfyygd)(d)(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg

10、和和)(xf的的某某个个原原函函数数, CxFyG )()(为微分方程的通解为微分方程的通解.两边积分两边积分,为为可分离变量的方程可分离变量的方程. . 称称则则 f xdydxg y上页下页铃结束返回首页下页221xyyxdxdy 例例2. . 求微分方程 的通解. )1)(1 (2yxdxdy, 方程可化为 解解: :dxxdyy)1 (112, 分离变量得 两边积分得 dxxdyy)1 (112, )21tan(2Cxxy. 于是原方程的通解为 dxxdyy)1 (112, 即Cxxy221arctan. 求求方方程程xyxy2dd 的的通通解解. . 解解分分离离变变量量, , xx

11、yyd2d , , 或解或解分分离离变变量量, , xxyyd2d , , 例例2 222xCxCyeee 22,xCxCyeee 2,Cxyee ( C1为任意常数 )上页下页铃结束返回首页例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得2d3dyxxy两边积分xxyyd3d2得31ln yxC即13Cxey 31xCee 3xeCy 1CCe 令( C 为任意常数 )说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y0 )上页下页铃结束返回首页作业P1721. (1)(2)(3)(4) 3. (1)2. (1)(2)(5)高等

12、院校非数学类本科数学课程脚本编写：教案制作：一阶线性微分方程上页下页结束返回首页铃一、线性方程二、伯努利方程9.3 一阶线性微分方程上页下页铃结束返回首页第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()(ddxQyxPxy 一阶一阶线性线性微分方程微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当例如例如,dd2xyxy ,sindd4xyxxy , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnC

13、xxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.ed)( xxPCy1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法:使用分离使用分离变量法变量法这这里里记记号号 xxPd)(表表示示)(xP的的某某个个确确定定的的原原函函数数. . ,lnd)(CxxPeey 2.2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(ddxQyxPxy 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换 xxPxuyd)(e )(,e)()(e )(d)(d)( xxPx

14、xPxPxuxuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ),(e )(d)(xQxuxxP ,de)()(d)(CxxQxuxxP 积分得积分得所以一阶线性非齐次微分方程的通解为所以一阶线性非齐次微分方程的通解为:de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)( 对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解,e )()(d)( xxPxQxu代代入入原原方方程程得得和和将将yy ),(e )(d)(xQxuxxP xxPxuyd)(e )(.sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ

15、 Cxxxyxxxxdesined1d1 Cxxxxxdesinelnln)dsin(1 Cxxx. )cos(1Cxx 解解de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 例例1 1上页下页铃结束返回首页例例7 7 求方程3(1)2(1)xdyxyexdx 解解 将方程改写为 的通解. 22(1) .1xdyyexdxx 先求齐次方程的通解. 201dyydxx 分离变量, 得 2.1dydxyx 两端积分并整理, 得齐次方程的通解 2(1) .yc x用常数变易法求非齐次线性方程的通解， 2( )(1) ,yc xx令2( )(1)( )2(1)ycxxc xx 两端求导, 得 ( ).xc

16、 xec故原方程的通解为：y = (ex + c) (x+1)2 将 y与y代入非齐次方程, 并整理, 得( ).xcxe 两端积分, 得上页下页铃结束返回首页例1求方程11dyydxx 的通解.解: 对应的齐次方程为:10.dyydxx分离变量得11.dydxyxlnln,yxC即,Cyxe或所以齐次方程的通解为:.yCx用常数变易法求非齐次线性方程的通解， ( ),yC xx令代入方程11dyydxx 得 1,CxxC xC x 即 1,Cxx 所以 1ln.C xdxxCx 因此非齐次方程的通解为:ln.yx Cx上页下页铃结束返回首页二、伯努利方程v伯努利方程方程nyxQyxPdxdy

17、)()(n0, 1)叫做伯努利方程. (1)xxydxdy42; (2)5xyydxdy; (3)xyyxy; (4)4)21 (3131yxydxdy. 下列方程中哪些是伯努利方程？ 讨论:提示:下页方程为方程为线性线性微分方程微分方程.,1 , 0时时当当 nnnyxQyxPxy)()(dd )1 , 0( n解法解法: :二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方程方程得得两两端端除除以以，ny),()(dd1xQyxPxyynn ,1 nyz 令令，则则xyynxzndd)1(dd ),()(dd11xQzxPxzn 求出通解后求出通解后, 将将 代入即得代入即得原方程的通解原方程的

18、通解 .nyz 1代入上式得代入上式得 ),(1)(1ddxQnzxPnxz 上页下页铃结束返回首页4 求方程2)(lnyxaxydxdy的通解. 例例3. .以y2除方程的两端, 得 解解: :xayxdxdyyln112, 令zy1, 则上述方程成为 xazxdxdzln1. 这是一个线性方程, 它的通解为 )(ln22xaCxz. 以y1代z , 得所求方程的通解为 1)(ln22xaCyx. xayxdxdyyln112, 即xayxdxydln1)(11. 下页上页下页铃结束返回首页例3求4dyyxydxx0,0yx的通解.解: 此方程是伯努利方程:124.dyyxydxx方程两边同

19、乘 得,12y11224.dyyyxdxx即112242.dyyxdxx令12,zy得41.22dzzxdxx上页下页铃结束返回首页 )()(ddygxfxy变量可分离方程变量可分离方程 0)(ddyxpxy一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程)()(ddxqyxpxy一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程伯努利方程伯努利方程d( )( )dnyp x yq x yx上页下页铃结束返回首页, 2lnd2)()(20 ttfxfxfx满足关系式满足关系式设设).()( xf则则; 2ln.xeA; 2ln.2xeB; 2ln. xeC2ln.2 xeDB一阶微分方程一阶微分方程 1991年考研数学一年

20、考研数学一, 3分分上页下页铃结束返回首页解解: )(xf)(2)(xfxf fx222 可分离变量方程可分离变量方程xxfxfd2)()(d 两边积分两边积分ln( )2lnf xxC2( ).xf xCe由原关系式由原关系式2ln)0( f, 2ln C得得得得. 2ln)(2xexf 分离变量分离变量, 2lnd2)()(20 ttfxfxfx满足关系式满足关系式设设).()( xf则则; 2ln.xeA; 2ln.2xeB; 2ln. xeC2ln.2 xeDB两边对关于 求导,x2lnd2)(20 ttfxfx上页下页铃结束返回首页1dydxxy,dxxydy,xy dydx求方程的

21、通解.将 与 互换,得方程xy,dyyxdx齐次方程0,dyydx分离变量得1.dydxy所以齐次方程的通解为:.xyCe用常数变易法求非齐次线性方程 的通解， ( ),xyC x e 令dyyxdx得 ,xCx ex .xxxxxC xxdexee dxxeeC 的通解为: dyyxdx .xxxyxeeC e 上页下页铃结束返回首页1dydxxy,dxxydy,xy dydx求方程的通解.将 与 互换,得方程xy的通解为: dyyxdx.xxxyxeeC e 将 与 换回,得方程xydxxydy的通解为: .yyyxyeeC e 上页下页铃结束返回首页作业P1772. (1)(3)(5)1

22、. (2)(4)(6)3.5. 6. 7. 8.(1) 高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：教案制作：二阶线性微分方程上页下页结束返回首页铃一、二阶线性微分方程举例二、线性微分方程的解的结构9.4 二阶线性微分方程上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、二阶线性微分方程举例v二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为若方程右端f(x)0时, 方程称为齐次的, 否则称为非齐次的. )()()(22xfyxQdxdyxPdxyd, 或 yP(x)yQ(x)yf(x). 下页上页下页铃结束返回首页二、线性微分方程的解的结构C1y1C2y2P(x)C1y1C2y2Q(x)C1y1C2y2

23、000.C1y1P(x)y1Q(x)y1C2y2P(x)y2Q(x)y2 方程yP(x)yQ(x)y0的任意两个解y1(x)与y2(x)的线性组合C1y1(x)C2y2(x)也是它的解, 其中C1、C2是任意常数. 简要证明: 这是因为v定理1(齐次方程的解的叠加原理)下页举例：举例： 已知cos x与sin x都是方程yy0的解. 方程的通解为 yC1cos xC2sin x. 上页下页铃结束返回首页rxey 将其代入方程将其代入方程, 0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有20rprq2422, 1qppr 特征根特征根0 qyypy二阶二阶设解设解得得特征方程特征方程二阶常系数齐

24、次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程常系数常系数齐次齐次线性方程线性方程(characteristic equation)(characteristic root)二、二阶二、二阶常系数齐次常系数齐次线性方程解法线性方程解法其中其中r为待定常数为待定常数. 上页下页铃结束返回首页,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个两个 特解特解y (0) 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程有两个不相等的实根有两个不相等的实根20rprq特征方程特征方程1r xe2C2r xe1C得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为rxey 设设解解其中其中r为待定

25、常数为待定常数. 上页下页铃结束返回首页有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr (0) 一特解为一特解为112()r xeCC x代入到代入到，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u( ),u xx,12xrxey 2y. 0 qyypy化简得化简得.)(为待定函数为待定函数其中其中xu0 0 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程设设)(xu,1xre取取则则知知y 1r xe1r xxe1C2C得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为rxey 其中其中r为待定常数为待定常数. 设设解解20rprq特征方程特征方程242pp

26、qr有一对共轭复根有一对共轭复根,1 ir ,2 ir ,)(xie xrey22 (0) )sincos(21xCxCeyx 0,21 qyypyyy为为方方程程为了得到实数形式的解为了得到实数形式的解,重新组合重新组合二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的两个的两个复数形式复数形式的解的解.rxey 其中其中r为待定常数为待定常数. xrey11 xie)( 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为用欧拉用欧拉(Euler)公式公式:xixeixsincos 设设解解242ppqr20rprq特征方程特征方程由由欧欧拉拉公公式式知知 由由叠叠加加原原理理, , xiyyyxyy

27、yxx sine2/ )(cose2/ )(212211 )sin(cose)sin(cose21xixyxixyxx 02 qprr0 qyypy小结小结 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式 21rr 21rr ir 2, 1实根实根实根实根复根复根xrxrCCy21ee21 )(e211xCCyxr )sincos(e21xCxCyx 0 qyypy的通解的不同形式的通解的不同形式.特征根特征根r的不同情况决定了方程的不同情况决定了方程上页下页铃结束返回首页 例解解 032 的的通通解解。求求方方程程 yyy2 230 rr特征方程，12 1 3 rr 特征根 ， 321。所

28、求通解为所求通解为xxeCeCy特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21实根实根1212r xr xyC eC e)( 21实实重重根根112()r xyeCC x)( i2, 1共轭复根共轭复根)sincos(21xCxCeyx12rr12rr1,2r上页下页铃结束返回首页 例解解 052 的通解。的通解。求方程求方程 yyy2 250 rr特征方程，12 12i 1 2i rr 特征根， )2sin2cos( 21。所所求求通通解解为为xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21实根实根1212r xr xyC eC e)( 21实实重重根根112()r xyeC

29、C x)( i2, 1共轭复根共轭复根)sincos(21xCxCeyx12rr12rr1,2r上页下页铃结束返回首页称为称为.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0442 rr221 rr故所求通解为故所求通解为 y例例由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法确定其通解的方法二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程特征方程法特征方程法. .特征根特征根xexCC221)( )( 21实实重重根根112()r xyeCC x12rr上页下页铃结束返回首页250.yyy求方程的通解解解 特征方程特征方程0522 rr

30、故所求通解为故所求通解为 y例例二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程特征根特征根)2sin2cos(21xCxCex 1 212 .ri ，特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21实根实根1212r xr xyC eC e)( 21实实重重根根112()r xyeCC x)( i2, 1共轭复根共轭复根)sincos(21xCxCeyx12rr12rr1,2r上页下页铃结束返回首页例例 解初值问题解初值问题 . 2, 4, 09241600 xxyyyyy解解 特征方程特征方程0924162 rr特征根特征根43 r所以方程的通解为所以方程的通解为41 CxexCy43

31、2)4( xexCCy4322433 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程4(二重根二重根)00 12 C特解特解.)4(43xexy 0023412()xCC x ey 上页下页铃结束返回首页作业P1881. (2)(4)高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：教案制作：二阶常系数线性非齐次微分方程二、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法二、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法回顾回顾)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)( 对应齐次方对应齐次方程的

32、通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解(1)(xfqyypy 上页下页铃结束返回首页提示: 我们把方程yP(x)yQ(x)y0叫做与非齐次方程 yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程. 设y*(x)是二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解, Y(x)是对应的齐次方程的通解, 那么 yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解. v定理3(非齐次方程的通解的结构)举例: 已知YC1cos xC2sin x是齐次方程yy0的通解, y*x22是非齐次方程yyx2的一个特解, 因此 yC1cos xC2sin xx22是非齐次方程yyx

33、2的通解. 下页上页下页铃结束返回首页证明提示: Y(x)y*(x)P(x)Y(x)y*(x)Q(x)Y(x)y*(x) Y P(x)YQ(x)Yy*P(x)y*Q(x)y* 0f(x)f(x). 设y*(x)是二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解, Y(x)是对应的齐次方程的通解, 那么 yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解. v定理3(非齐次方程的通解的结构)下页上页下页铃结束返回首页)(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的

34、方法：根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式, 待定系数法待定系数法三角函数三角函数多项式多项式指数函数指数函数)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy1. ( )( ) xnf xeP x的情形 )( 1110。其中其中nnnnnaxaxaxaxP方程方程 (2) 对应的齐次方程对应的齐次方程 (1) 的特征方程及特征根为的特征方程及特征根为2 0 rprq特征方程；12 .rr特征根，单根单根二重根二重根一对共轭复根一对共轭复根为常数 方程方程( ) xnypyqye P x有下列形式的特解：有下列形式的特解：( ) xye Q x，上页下页铃结束返回首

35、页假设方程假设方程( ) (2)xnypyqyeP x有下列形式的特解：有下列形式的特解：( ) xye Q x，则则 xxye Q xe Qx， 22 xxxye Q xe Qxe Qx，代入方程代入方程 (2) ，得，得 2(2)()( ) xxneQxp Qxpq Q xeP x，即即情情形形2 2 若若 是是特特征征方方程程的的单单根根, , 即即02 qp , , 即即 而而02 p , , 则则令令 情情形形3 3 若若 是是特特征征方方程程的的二二重重根根, , 即即02 qp , , 即即 且且02 p , , 则则令令 情情形形1 1 若若 不不是是特特征征根根, , 即即

36、242ppq综上讨论可知综上讨论可知 )(xQ不是特征根不是特征根 )(exPqyypynx 设特解为设特解为，)(xQn是单特征根是单特征根 ，)(xxQn是二重特征根是二重特征根 ，xxQy e)( 其中其中，)(2xQxn代入原方程代入原方程, ,来确定来确定Q(x). .*( ) kxnyx e Q x上页下页铃结束返回首页 例例2. . 求微分方程y5y6yxe2x的通解. 这里Pm(x)x, 2. 与所给方程对应的齐次方程为y5y6y0, 它的特征方程为r25r 60. 特征方程有两实根r12, r23.于是齐次方程的通解为YC1e2xC2e3x. 由于2是特征方程的单根, 所以特

37、解应设为y*x(b0 xb1)e2x. 解解: :把 代入所给方程, 得 2b0 x2b0b1x. 比较两端x同次幂的系数, 得2b01, 2b0b10. 由此求得210b, b11. 于是求得所给方程的一个特解为 xexxy2) 121(*. 从而所给方程的通解为 xxxexxeCeCy223221)2(21. 首页*( ) kxnyx e Q x2201xyb xb x e解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0962 rr特征根特征根，32, 1 r.e )(321xxCCY 求求微微分分方方程程xxyyy3e96 的的通通解解. . 因因为为3 是是二二重重特特征征根

38、根, , xbax 26, , 解解得得 0,61 ba, , 所所以以特特解解 xxy33e61 , , 即即原原方方程程的的通通解解为为 xxxxCCy33321e61e )( . . 代入原方程代入原方程得得例例6 6*( ) kxnyx e Q x上页下页铃结束返回首页解解 2。的的通通解解求求方方程程xxyy 2( ) 0 2 ( ( )( ) ) xnf xxxnf xe P x，。对应的齐次方程的特征方程为对应的齐次方程的特征方程为210 r ，特征根为特征根为1,2i .r 对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为 sincos21。xCxCy 0 ，原原方方程程有有特特解

39、解不不是是特特征征根根，故故取取由由于于k *2120，bxbxby将它代入原方程，得将它代入原方程，得 2221200，xxbxbxbb*( ) kxnyx e Q x上页下页铃结束返回首页比较两边同类项的系数，得比较两边同类项的系数，得 10，b 11，b 0220，bb 10，b 11，b 2 2，b故原方程有一特解为故原方程有一特解为 2*2。xxy综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为 2sincos*221。xxxCxCyyy 2221200，xxbxbxbb解解 *2120，bxbxby 2。的的通通解解求求方方程程xxyy 上页下页铃结束返回首页解解 32 。的通解的通解求方程求方程xeyyy ( ) 1 0 ( ( )( ) ) xxnf xenf xeP x ，。对应的齐方程的特征方程为对应的齐方程的特征方程为2230 rr，特征根为特征根为123 1.rr ，对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为 231。xxeCeCy 1 ，原原方方程程有有特特解解是是单单特特征征根根，故故取取由由于于k *0，bexyx将它代入原方程，得将它代入原方程，得