2019年曲面论基本方程的性质及其应用(投聊大学报).doc

1、曲面基本方程的性质及其应用1 2 邢家省，张光照(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京100191;2.河南经贸职业学院技术科学系，郑州450000)摘要：考虑曲面的结构方程的推导方法问题引入了一种从矩阵方程出发整体推导曲面结构方程的方法此方法以矩阵乘法运算代替繁杂的张量符号变换，不仅使推导过程简化，而且也使推导的整体思路更为清晰关键词：曲面的基本方程；曲面结构方程；矩阵乘法；高斯曲率中图分类号:0186. 1文献标识码：A曲面的基本方程和曲面的结构方程是经典微分几何学的重要内容，已构成完善的理 论体系，产生了丰富深刻的结果。文献1-4中都是采用黎曼张

2、量的记号及求和给出推导转换过程的，这种推导可为后继的黎曼几何学做准备，但这种推导演算繁杂，不利于人们理解掌 握5。文献5中给出了采用矩阵表示及利用矩阵乘法来推导曲面的结构方程的方法，方法直接，简单明了。我们在综合已有结果的基础上，利用矩阵乘法给出推导曲面的结构方程的详 细过程，实现文献5，6中的思想，并对文献1-4中的相关结果给出简化的证明方法，由此 也能更清楚的看出1-4中推导方向过程的本质所在。1曲面的基本方程及其中系数的确定曲面论的基本问题是研究由曲面的第一基本形式和第二基本形式如何确定曲面存在的问题，解决的方法是从曲面的基本方程出发，寻找到了存在可解曲面的充要条件1月。给出C3类的正则

3、曲面一二 r(q,U2),(U1,U2)。按照文献1-8中的符号体系，我们给出如下一系列记号，收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目(11171013)，北京航空航天大学教改项目基金资助作者简介：邢家省(1964-)男，河南泌阳人，博士，副教授，从事数学教学和科研工作.UiEmail:.c n .Uj，gij 二吐j， gij = g ji ， i , j _ 1,2 ；g11g22 一 g12g21 二 g ；3gng12g22丿i g11g12=lg21g22 Jg g21一 g12g22_g12gn/ 11g21g12g22g丿=(gu)是A = (gj)的

4、逆矩阵;I* _ * _：2rijqUj J 一一j - ui=nUinibj二 nrijnjB = (bj)b11在曲面上取活动标架r “上,n。在曲面上的每一点处,ij可表示为i r2,n的线性组合,ni可表示为1 ,r2的线性组合（由于ni与n正交，所以与现在我们可以直接令2171j 八】，i,j=1,2 ；k =12n八叮匚，n 1,2j=1其中-k，j，jij都是待定系数.（2）式写成矩阵形式，则有将( 1),j在（4）jr1j式两端乘以ri,r2，则得= 1,2,(3)(4)541A2 )勺11g12 Sb21w 2P22丿g21g22丿于是有丐丿从而由此叫2丐丿b11 b21Yg

5、nb12b22 人 g21g12g22 J二-BA，(5)为确定八 bikQkj，i, j k d,2。二，在（1）式的两边与n作内积,即得ij = t|j ?，i,j =1,2 ； 在（3）式两端乘以r1,r2，则得V*2j .丿l2j2j 八r2 丿于是卜 仃F i n 4 4“咛八/加2卜r2j r1g2111g12g22 lij- Iji，ij，则有-l -kgkl -ikgik， k=1(6)11j21jI12j22 j故有-2-1j厂2-2j11 g12I yi1yi 2I2j 2j 八g21g22 Jg12g112j - 22j g21（6）式两端取转置，则有52 沪1jMjg2

6、2-1-2j2-2jYg1121g12g22g丿k 从而-ij二kF1丄2jr212j丿J21 j-12jg11 g12g21njg22丿严f 11g21g12g11j-12jkl g - lij ,k = k ij jii,j,k 二1,2。jlijij可得14ij1 (Pil2(抵gjl Q)，ului(7)称为 Christoffelk记号，简称克氏记号，显然-ij由曲面的第一类基本量完全确定（1）式称为Gauss公式，（2）式称为 Weingarten 至此我们得到了曲面论的 Gauss公式和Weingarten公式。公式（也称为曲面的运动方程，或称为曲面的基本方程）。:u-：u二 r

7、ifj几 r j - ji，.:A-=u11丫十11丫12丫十21丫分11丫2”+冗丫21 厂112丫*21丫22丫+22丫112丫 22 Y jV112丫22丫 JA，竺cuy所以 空 a =cu YcuyJ 12?1 22丫11 ： 21-A4冗丫r12?22 i(vr矽 11j21j将rr 12j1 22j11g12後-2j 521代入上式，则得等式2,7g227.:uI yi1yi 2yi1(丄2丫】2丫丿*2丫A(10)92曲面的基本方程的矩阵表示法将曲面的基本公式写成矩阵形式为其中ririniMjb：Tij；i(y1丄i2f1屮22-2-ij厂2-2j2=zl 1璋旳*bi* ，S

8、n八丿b22nTijgkb ij ，2jGj 22j jj,k =1,2bibii占2(8)(9)3曲面的基本方程中系数之间的关系的矩阵推导方法现在我们利用曲面的基本方程来研究曲面的第一、第二基本形式系数之间的关系对向量ri, n运用二阶连续偏导数可交换次序的法则方程组（8），（9）可解的充要条件是-2 ari4c、ri424ln丿CUi CU22丿O由此，须有一4n2，利用（8）式,-U2CU2 g 丿CUi J22-U2存在可解曲面的充要条件是广pd2 A 11 1 114、 fJ2i巧111 11严丄21丿-1-11-121b22 J1 2(bD ),时1血2、再注意到须有&二n2,:u

9、2U|利用(3) , (4)式，可得-nCU2b1 *-n趨211-un j厲2nJln2bn.b勺1半：也小2丿| bub； b 弓 飞21b1 Ub；丿电丿勺2口 b22n1 丿_心2丄b*八f爲丿1*丿|22 n 20 匹匕2 廿p2-12- 12-11:221八码222丿fr11 12r1V1 222 廿1T-.2、r1 12严1 22 7r；111(11)fr11 12r1v 22巧丿(一辭,吨打,吨:防m ”：$，17口 b2,叮11 丨 21121丿从而.:u2(b1.brjL.C12X1 121 12ATC 12 、1 11 1 111占2丿cu1应丿Tr1r2J 221 22

10、 7占2丿.r1r2211 21 7遐丿(13)b2=b2 ,b2R1丿(14)容易证明（14）式是自然成立的。事实上，由b2)七11 lb12b22 丿b21，知（b1,2bl m，b21b2 ,b2= b21, b22 A ,从而(b；, b2 )1b；, b21=(b21, b22 k1b21 丿b22 丿-bl1 ,b21A是（14）式成立。现证明（12）式与（13）式是等价的，事实上bn、.4b21占2=A&1丿lb；=Ad丿得-AJ-：u2-：u2AJ1 2也、+ F丿包心2丿2丿、T41 ?利用A得到-：u21巧2A4严1 12严1 22 J211严 丄21丿亠$ 2七1C21

11、C.b2/|+A-A 一-Acu2血丿cu21丿4丿少22 =A42T2J2222丿AJP21丿-Afr11 12r11 22-2-112-21AJAJ1卩 2121 八b22 jA1卩1冗璋b2121、fy11T12、k、(r1P21* 1 111 11P?11 1d %、况2 lb21丿CU1心?丿2121八2丿2由此可知（12）式与（13）式是等价的。= AA4曲面基本方程的Gauss定理的矩阵推导方法现考察（11）式成立的充要条件。 （11）式的右端为（b2,鸟2）一号12（口，b2）畑.丿中1 丿bn也11,b22A -1b21 A0bl2_ b|1b22b11b2 _ b120JA

12、J ,22(15)（11）式的左端为忧n 1丿T；时丫轧蔦午1yi2ydyi2 、丄12丄12|!丄11丄11tu2口巧1丿芒22巧丿 Fl人巧2丿22H人F21蔦丿T11加2 J121r i1 211r1 221 JA，+r1111j 121r 11211r1221 j A4-u2rr112212 jA 4rr112r *212r1 亠 122222 丿A _r弋122r* 222 jUA，(Tr1 1111 211rrV 1211 221丿A*frr11121212rrv 1221 222A，fT丄112r、r 122r ?1 212r1 222 丿frr、1 1111 211rrv1 1

13、211 221丿A*112212al122222 丿 GU11111 r 211l121221112 212122 - 222+ 1T1111211 112122212|112I222 丿工122-212 a-111- 211-222 - 121 - 221A-,(16)利用（5u y1：AA A J :AA = A .:u=-aa11丫/12Y-AJl12 丫 F 22 了丿于是丫111211.:AJT112212111F 211.AI1112F 212卩111T 211112F 212AA1121221 J122T 222 丿J121F 221J122222 丿J 121-221 - U2

14、,122r 22212212 T 222 JA111J，121r 212 222 JA(Tm121匚11 y221(17)由( 11), (15), (16),(17)式,(Y 111r *1211QfT1 112r 1212cu2rj 121r1221 丿rf 122r1222 丿121211、221 jAfTr1 1121 212rrV1 122丄 222fT丄112r 丄 122r j1 212r1222 丿AfT1 111r卩121221丿山22_bl1b22b11b2 _ b120J(18).迪:ui-迪），可知U|f 1/j （-2 cuj两个反对称矩阵相等，只需矩阵中左上角的元素

15、对应相等。以上给出的推导过程都是可逆的。利用ij（18）式两端都是反对称矩阵,1-7由此得到曲面方程可解的充要条件的Gauss方程。5曲面的高斯曲率的计算公式将（15）式代入（11）式，由两矩阵中左上角的元素对应元素相等，得雹2 ；扁2 一翟-為烏讪息-后普，一氏：ug于是高斯曲率1122 2K _ biH -bi2biib22 -bi2i iii2 i2 j2*2 i 2 p2 2 L : - ii - i2 - ii - 22 - i2 - ii - i2 - 2i2.2 ；= -ii) gii-_u2Muigiii22) o事实上，利用等式2,7 i :g2= -ij g ki k J=

16、、-ij gik ,k_(g 2)_ g 二：. 2 2、g 巴.:u2-u2giigii u22 gii、.g 二 112gii : u2gii; u2gii-22igii; u222类似地2)uigii2g - 2【 .g2】ii22 gii負二山為2）-i2 -i2gi2，gii+应L巧寺詈gii%詈gii : u22giigii、g】i g2】i11gii: ui2giigii: ui-ii - 7 -2 (- iigii - iigi2)giigiig故有(u2 gii二丄三仝ii壽V黑122 2i = K,g、-=Ui结果得证19v0特别地，当曲面r=r（u,v）的坐标网是正交曲线

17、网时，利用上面的结果，通过代入计算2，可得K（匕G）u）u （TEGve类似地，将（15）式代入（11）式，由两矩阵中右下角的元素对应元素相等, 得- 21- - 22 厂 1 -1- 2 厂1一 一 - 21 - 12 - 21 - 22于是高斯曲率1一11biib22 -bi2bl1b22 _bl2IK 2gi1 g22-gi2g1g1 x:进而K ：(22) - g J g221 r 21 22 厂 1 - 1 厂 2 厂1厂 11 厂 2 厂1 十 1 21】12 十1 21】22 22】11 1 22丄 21 U2 g2212) o参考文献1 梅向明，黄敬之微分几何M.第4版.北京：

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