正确处理数学概念解析与解题训练的关系

1、正确处理数学概念解析 与与解题训练的关系湖南师大附中湖南师大附中 李昌平李昌平. 从2016年全国卷概率统计题谈起（2016年全国年全国卷卷(理理)第第19题）题）某公司计划购买某公司计划购买2台机器，该台机器，该种机器使用三年后即被淘汰种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个可以额外购买这种零件作为备件，每个200元元. 在机器使用期间，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个如果备件不足再购买，则每个500元元. 现需决策在购买机器时应现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了同时购买

2、几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这以这100台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易台机器更换的易损零件数发生的概率，记损零件数发生的概率，记X表示表示2台机器三年内共需更换的易损台机器三年内共需更换的易损零件数，零件数，n表示购买表示购买2台机器的同时购买的易损零件数台机器的同时购买的易损零件数.08910112040频频数数更更换换的的易易损损零零件件数数()0 .5PXn（I）求）求X的分布列；的分布列；（II）若要求）若要求 ，

3、确定确定n 的最小值；的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在望值为决策依据，在n=19与与n=20之中选其一，应选用哪个？之中选其一，应选用哪个？. 从2016年全国卷概率统计题谈起近三年我省概率统计题得分对照表近三年我省概率统计题得分对照表与往年相比，今年我省考生的平均分却大幅度下降，原因何在？与往年相比，今年我省考生的平均分却大幅度下降，原因何在？（1）本题突出了对概率统计知识基本概念的理解与运用，如概）本题突出了对概率统计知识基本概念的理解与运用，如概率计算、随机变量、数学期望及其意义；率计算、随机变量、数学期望及其意义；（2）本题突

4、出了对运用概率统计知识解决实际问题的过程与方法）本题突出了对运用概率统计知识解决实际问题的过程与方法的考查；的考查；（3）本题渗透了概率与统计学科的基本思想，即：对在实际生）本题渗透了概率与统计学科的基本思想，即：对在实际生活和工作中提出的这类问题，先通过抽取样本进行统计分析，获得活和工作中提出的这类问题，先通过抽取样本进行统计分析，获得相关数据，如事件的频率等，再利用频率估计概率的思想，进行有相关数据，如事件的频率等，再利用频率估计概率的思想，进行有关计算（如分布列、数学期望等），并根据计算结果解释说明实际关计算（如分布列、数学期望等），并根据计算结果解释说明实际问题的解决方法问题的解决方法

5、. 从2016年全国卷概率统计题谈起. 从2016年全国卷概率统计题谈起 这是一种对学生数学素养的考查，体现了以能力立意的命这是一种对学生数学素养的考查，体现了以能力立意的命题指导思想题指导思想. 它当然不是用题海战术训练出来的学生所能解决的，它当然不是用题海战术训练出来的学生所能解决的，也是忽视基本概念理解、忽视基本思想和方法理解运用带来的也是忽视基本概念理解、忽视基本思想和方法理解运用带来的必然结果，（例如，这样训练出来的学生只知道套用公式计算必然结果，（例如，这样训练出来的学生只知道套用公式计算数学期望，而不知道数学期望的意义及运用），因而今年该题数学期望，而不知道数学期望的意义及运用）

6、，因而今年该题的得分大幅度下滑就不奇怪了的得分大幅度下滑就不奇怪了. . 高三数学复习教学的现状和问题 基本方式：基础知识复习基本方式：基础知识复习 + + 解题训练解题训练 主要问题：主要问题： 对于基础知识，往往只是通过列表展示或通过填空的方式对于基础知识，往往只是通过列表展示或通过填空的方式将基础知识进行记忆、背诵，间或提出几项注意，而高考数学考将基础知识进行记忆、背诵，间或提出几项注意，而高考数学考查的着眼点是对概念、定理、性质和公式的理解和掌握，不是能查的着眼点是对概念、定理、性质和公式的理解和掌握，不是能够记忆和再认；够记忆和再认； 对于解题方法，往往只是就题论题，列举步骤，学生只

7、是对于解题方法，往往只是就题论题，列举步骤，学生只是“照葫芦画瓢照葫芦画瓢”解题，然后进行大题量训练，直至解题，然后进行大题量训练，直至“熟练熟练”，而，而高考数学考查的着眼点是数学思维能力及运用数学知识和方法的高考数学考查的着眼点是数学思维能力及运用数学知识和方法的能力；能力； 对于基本数学思想，往往也是就题论题，不能深入解析基本对于基本数学思想，往往也是就题论题，不能深入解析基本数学思想解决问题的思维过程和运用过程，不能或没有让学生从数学思想解决问题的思维过程和运用过程，不能或没有让学生从学科体系上去整体把握思想和方法，提升学生的数学素养。而高学科体系上去整体把握思想和方法，提升学生的数学

8、素养。而高考数学考查的着眼点是以能力立意命题，突出数学思维能力的考考数学考查的着眼点是以能力立意命题，突出数学思维能力的考查，查，“多考点想的，少考点算的多考点想的，少考点算的”. 解题训练的目标通过解题，使学生能更深入地理解数学概念、定理、公通过解题，使学生能更深入地理解数学概念、定理、公式和性质等的本质与内在联系，形成知识的整体结构；式和性质等的本质与内在联系，形成知识的整体结构；通过解题，理解数学方法的原理通过解题，理解数学方法的原理，掌握，掌握操作过程，形成技操作过程，形成技能；能；通过解题，领悟数学思想，并将其内化为自己的思维能通过解题，领悟数学思想，并将其内化为自己的思维能力，提升

9、学生的数学素养力，提升学生的数学素养. 而不是通过大题量的反复训练而不是通过大题量的反复训练而形成的机械式而形成的机械式“熟练熟练”.解题训练解题训练 形成形成能力能力、提升素养、提升素养理解概念理解概念掌握方法掌握方法领悟思想领悟思想. 高三数学复习教学要充分重视概念教学 常见现象常见现象 学生可以说出某个概念，但却不能运用概念解决与其相关的学生可以说出某个概念，但却不能运用概念解决与其相关的一些问题，特别是稍微有些深度的问题一些问题，特别是稍微有些深度的问题. 主要原因主要原因 重解题训练、轻概念解析，造成概念与解题、理论与应用重解题训练、轻概念解析，造成概念与解题、理论与应用脱节脱节.有

10、些教师认为概念在高一、高二已学过，没有必要花太多时有些教师认为概念在高一、高二已学过，没有必要花太多时间；间；甚至只仅仅要求学生记忆数学概念，而对于概念的内涵与甚至只仅仅要求学生记忆数学概念，而对于概念的内涵与外延没有进行充分的挖掘外延没有进行充分的挖掘;有些教师认为高考不会考概念，复习课能多讲题就多讲题，有些教师认为高考不会考概念，复习课能多讲题就多讲题，认为认为“考好数学的唯一诀窍就是做题考好数学的唯一诀窍就是做题”，所以不必再花时间在，所以不必再花时间在概念复习上概念复习上. 学生在没有理解掌握数学概念和思想方法的情况下，就盲目学生在没有理解掌握数学概念和思想方法的情况下，就盲目进行大运

11、动量解题训练，往往导致学生虽然花费大量时间学数进行大运动量解题训练，往往导致学生虽然花费大量时间学数学，完成了无数次解题训练，却仍不得要领，达不到能力的提学，完成了无数次解题训练，却仍不得要领，达不到能力的提高高. . 高三数学复习教学要充分重视概念教学. 高三数学复习教学要充分重视概念教学本题只不过将函数的对应关系换了种说法，做了一定的限定，本题只不过将函数的对应关系换了种说法，做了一定的限定，可绝大部分考生未能做出，可见即使像函数这样的核心概念也没可绝大部分考生未能做出，可见即使像函数这样的核心概念也没有很好地被理解有很好地被理解. . 而高考是非常注重对这些数学核心概念的考查而高考是非常

12、注重对这些数学核心概念的考查的，因为核心概念是最能代表该学科核心基础的内容，包括了重的，因为核心概念是最能代表该学科核心基础的内容，包括了重要概念、原理、理论等的基本理解和解释，是学科知识结构的主要概念、原理、理论等的基本理解和解释，是学科知识结构的主干部分干部分. . 高考考查核心概念，不是考查学生单纯凭借记忆正确回高考考查核心概念，不是考查学生单纯凭借记忆正确回答问题的能力，而是考查学生较高层次的认知过程答问题的能力，而是考查学生较高层次的认知过程. . 事实上，教师数学概念教学的质量，直接影响着学生学习事实上，教师数学概念教学的质量，直接影响着学生学习数学的质量。学生的数学抽象能力、逻辑

13、推理能力、数学建模能数学的质量。学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、数学建模能力、数学运算能力、直观想象能力、数据分析能力等数学核心素力、数学运算能力、直观想象能力、数据分析能力等数学核心素养，无一不是以清晰、准确的概念为基础的养，无一不是以清晰、准确的概念为基础的. . 这些能力的高低与这些能力的高低与相应概念明确、理解的深度、广度有着密切的联系相应概念明确、理解的深度、广度有着密切的联系. . 如上述概率如上述概率统计题，只有充分理解了随机变量、数学期望的概念及其意义，统计题，只有充分理解了随机变量、数学期望的概念及其意义，才能顺利地解决问题才能顺利地解决问题. . . 高三数学复习教学要充

14、分重视概念教学 数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！ 中国科学院院士中国科学院院士 李邦河李邦河. 高三数学复习教学中如何加强概念教学“串珠成线串珠成线”，构建知识网络，使学生从学科基本思想及体，构建知识网络，使学生从学科基本思想及体 系上理解把握概念系上理解把握概念 复习课中的概念教学，不仅是对概念的回顾和记忆，而是复习课中的概念教学，不仅是对概念的回顾和记忆，而是对已学过的概念进行再次学习和梳理，特别要注意从学科基本对已学过的概念进行再次学习和梳理，特别要注意从学科基本思想及体系上揭示概念的形成、发展、概念间的联系和应用的思想及体

15、系上揭示概念的形成、发展、概念间的联系和应用的过程，构建知识网络，并充分挖掘数学概念中蕴含的数学思想过程，构建知识网络，并充分挖掘数学概念中蕴含的数学思想方法，以使学生能从学科基本思想及体系上理解把握它们，养方法，以使学生能从学科基本思想及体系上理解把握它们，养成成“回到概念中去思考、解决问题回到概念中去思考、解决问题”的习惯，形成运用这些知的习惯，形成运用这些知识的意识和能力识的意识和能力. . 高三数学复习教学中如何加强概念教学案例案例1 1：在复习统计与统计案例第一节随机抽样时，为使学生能在复习统计与统计案例第一节随机抽样时，为使学生能从学科基本思想及体系上理解把握它们，教师可作如下的解

16、说和从学科基本思想及体系上理解把握它们，教师可作如下的解说和概括：概括： 今天，我们开始复习统计与统计案例今天，我们开始复习统计与统计案例. .我们知道，我们知道，统计学是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，统计学是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据它可以为人们制定决策提供依据. . 而现代社会是信息化而现代社会是信息化社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，作出合理的决策有价值的信息，作出合理的决策. .因此，统计学的基础知因此，统计学的基础知识已经成为现代社会公民的必备素养识已经成为

17、现代社会公民的必备素养. .当然也是高考中的当然也是高考中的重要考查内容重要考查内容. .明确学科的意义和明确学科的意义和作用作用. 高三数学复习教学中如何加强概念教学 统计的基本数学思想是用样本估计总体，即通常不统计的基本数学思想是用样本估计总体，即通常不是直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，是直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况根据样本的情况去估计总体的相应情况. . 为了使样本具有代表性、具有较高的可信度，必须为了使样本具有代表性、具有较高的可信度，必须研究如何抽样，设计抽样方法时必须使总体中的每个个研究如何抽样，设计抽样方法时必须使

18、总体中的每个个体被抽取的概率都相等体被抽取的概率都相等. . 我们学过的简单随机抽样、系我们学过的简单随机抽样、系统抽样、分层抽样都满足这一要求统抽样、分层抽样都满足这一要求. . 在实际应用中，应在实际应用中，应根据实际情况合理选择抽样方法根据实际情况合理选择抽样方法. .（再解析简单随机抽样、系统抽样、分层抽样这三种抽样方法（再解析简单随机抽样、系统抽样、分层抽样这三种抽样方法的操作步骤、使用时机、要注意的问题以及它们的联系与区别等的操作步骤、使用时机、要注意的问题以及它们的联系与区别等，精选例题和习题，在解题训练中进一步深化理解和运用，精选例题和习题，在解题训练中进一步深化理解和运用.

19、.）明确学科基本思想明确学科基本思想抽样方法设计的抽样方法设计的基本原则基本原则. 高三数学复习教学中如何加强概念教学 倡导倡导“问题驱动问题驱动”教学法，促进对概念的深入理解教学法，促进对概念的深入理解 所谓所谓“问题驱动问题驱动”教学，是指教师在课堂教学中以一系列教学，是指教师在课堂教学中以一系列问题为载体，通过学生的独立思考、自主探究、合作讨论等问题为载体，通过学生的独立思考、自主探究、合作讨论等方式来解决问题，从而达到学习学科知识、掌握相关方法、方式来解决问题，从而达到学习学科知识、掌握相关方法、提高思维能力等的一种教学方法和策略提高思维能力等的一种教学方法和策略. . 将将“问题驱动

20、问题驱动”教学法，运用于高三基本概念的复习教学，教学法，运用于高三基本概念的复习教学，就是围绕基本概念，按照一定逻辑结构，精心设计就是围绕基本概念，按照一定逻辑结构，精心设计“问题串问题串”，引发学生积极思考，在问题驱动下引发学生积极思考，在问题驱动下完完成概念复习，促进对概念成概念复习，促进对概念的深入理解，掌握知识本质，从而实现将学生的思维从识记、的深入理解，掌握知识本质，从而实现将学生的思维从识记、模仿等低层次活动向分析、综合等高层次活动的飞跃模仿等低层次活动向分析、综合等高层次活动的飞跃. . 高三数学复习教学中如何加强概念教学 倡导倡导“问题驱动问题驱动”教学法，促进对概念的深入理解

21、教学法，促进对概念的深入理解案例案例2 关于函数的单调性复习关于函数的单调性复习问题问题1 1 从以下角度看，你是如何理解从以下角度看，你是如何理解“增函数增函数”这个概念的这个概念的? ? (1) (1) 从图象变化的趋势看从图象变化的趋势看； (2) (2) 从代数刻画的角度看从代数刻画的角度看； (3) (3) 从导数的角度看从导数的角度看； (4) (4) 从增量的角度看从增量的角度看. .意图：意图：回顾增函数的直观描述、严格定义、与导数的联系，并回顾增函数的直观描述、严格定义、与导数的联系，并给出给出“当当x1、x2A且且x1x2时，都有时，都有 （或（或 ）”这一等价定义这一等价

22、定义.1212()()0fxfxxx1212()( ( )()0 xxf xf x追问：追问：减函数呢减函数呢?. 高三数学复习教学中如何加强概念教学 倡导倡导“问题驱动问题驱动”教学法，促进对概念的深入理解教学法，促进对概念的深入理解案例案例2 关于函数的单调性复习关于函数的单调性复习问题问题2 如何理解函数如何理解函数 f（x）的增区间与减区间）的增区间与减区间?意图：意图：点明以下几点：函数的增区间与减区间都应是其定义点明以下几点：函数的增区间与减区间都应是其定义域的子集；函数的单调区间描述的是函数图象在局部的变化域的子集；函数的单调区间描述的是函数图象在局部的变化趋势；在某个增区间内，

23、当趋势；在某个增区间内，当x1 x2时，不等式时，不等式f（x1） f（x2）应是恒成立的；一个函数可有多个增区间或减区间，中间不应是恒成立的；一个函数可有多个增区间或减区间，中间不可随便用可随便用“”号联接号联接. 高三数学复习教学中如何加强概念教学 倡导倡导“问题驱动问题驱动”教学法，促进对概念的深入理解教学法，促进对概念的深入理解案例案例2 关于函数的单调性复习关于函数的单调性复习问题问题3 3 如何理解函数如何理解函数 f（x）是单调函数）是单调函数? 意图：意图：点明以下几点：说明函数点明以下几点：说明函数f（x）在其定义域内要么是增）在其定义域内要么是增函数，要么是减函数；对函数函

24、数，要么是减函数；对函数 f（x）定义域内任意的）定义域内任意的x1 x2，恒有恒有f（x1） f（x2）)；若；若 存在，则存在，则 (或或 )，其中，其中 = 0只能有有限个根（或只能有有限个根（或其根不能构成区间）；从图象上看，函数其根不能构成区间）；从图象上看，函数f（x）的图象与直线）的图象与直线y=a (a R)至多有一个交点至多有一个交点.( )fx( )0fx( )0fx( )fx 这里的每个问题都对应着一个重要的数学概念，这些问题这里的每个问题都对应着一个重要的数学概念，这些问题的解决能起到的解决能起到“强化概念的多元表征，加深学生对有关概念的强化概念的多元表征，加深学生对有

25、关概念的理解，警示一些注意点，等等理解，警示一些注意点，等等”的作用的作用. 通过师生互动的方式更通过师生互动的方式更有助于学生理解与以后的应用有助于学生理解与以后的应用. . 高三数学复习教学中如何加强概念教学 正确处理数学概念解析与解题训练的关系正确处理数学概念解析与解题训练的关系全面深刻地理解把握概念能更好的分析问题和解决问题，而全面深刻地理解把握概念能更好的分析问题和解决问题，而分析、解决问题的过程又能促进更好地理解掌握概念分析、解决问题的过程又能促进更好地理解掌握概念. . 进行解题训练时，不能只盯住或总结解题步骤，要注意解析进行解题训练时，不能只盯住或总结解题步骤，要注意解析包含在

26、问题中的所有概念，通过精心设计编排的例题和习题，挖包含在问题中的所有概念，通过精心设计编排的例题和习题，挖掘概念的深层次内涵，深化对概念的理解，把握本质，建立相关掘概念的深层次内涵，深化对概念的理解，把握本质，建立相关概念的有机联系，促进学生形成更加全面、完整的认知结构，实概念的有机联系，促进学生形成更加全面、完整的认知结构，实现它们的灵活运用现它们的灵活运用. . 高三数学复习教学中如何加强概念教学 解题训练中，不能忽视任何概念解题训练中，不能忽视任何概念【点评】这是【点评】这是20142014年湖南卷理科第年湖南卷理科第2 2题，属容易题、送分题，但题，属容易题、送分题，但结果难度却为结果

27、难度却为0.682. 0.682. 表明近三分之一的考生没有理解随机抽样表明近三分之一的考生没有理解随机抽样必须满足每个个体被抽到的概率都相等的设计思想和原理，忽视必须满足每个个体被抽到的概率都相等的设计思想和原理，忽视了（或没有）对这些基本概念进行理解学习，或只是记忆背诵了了（或没有）对这些基本概念进行理解学习，或只是记忆背诵了这些抽样方法的操作步骤这些抽样方法的操作步骤. . 因此在解题训练中，这样的基本题也因此在解题训练中，这样的基本题也不要一带而过，而是要以试题为背景进行阐释，以使学生清晰、不要一带而过，而是要以试题为背景进行阐释，以使学生清晰、准确地理解掌握相关概念，不忽视任何知识点

28、准确地理解掌握相关概念，不忽视任何知识点. . 高三数学复习教学中如何加强概念教学 解题训练中，要注意解题训练中，要注意“回到定义回到定义”. 高三数学复习教学中如何加强概念教学 这里，利用抛物线的定义，我们方便地找到了这里，利用抛物线的定义，我们方便地找到了 与与|AF|、|BF|联系，从而解决问题联系，从而解决问题.因此在解题训练中，重视运用定义解因此在解题训练中，重视运用定义解题，善于从定义角度分析和思考应成为一种重要的策略意识题，善于从定义角度分析和思考应成为一种重要的策略意识. |BCAC 解题训练中，要注意解题训练中，要注意“回到定义回到定义”. 高三数学复习教学中如何加强概念教学

29、 解题训练中，要注意解题训练中，要注意“回到定义回到定义”. 高三数学复习教学中如何加强概念教学. 高三数学复习教学中如何加强概念教学 解题训练中，要注意解题训练中，要注意“回到定义回到定义” 近年来，在高考解析几何题中，通过几何条件与关系判断近年来，在高考解析几何题中，通过几何条件与关系判断并写出圆锥曲线方程以考查圆锥曲线的概念也是常考的手法之并写出圆锥曲线方程以考查圆锥曲线的概念也是常考的手法之一一. . 因此在解题训练中，要注意强化定义在解题中的运用，实因此在解题训练中，要注意强化定义在解题中的运用，实际上，在求解任何问题的时候，都要考虑包含在问题中的所有际上，在求解任何问题的时候，都要

30、考虑包含在问题中的所有概念概念. . 高三数学复习教学中如何加强概念教学 通过解题训练，深化概念理解通过解题训练，深化概念理解 通过本题的学习，可以让学生深刻地理解向量投影的概通过本题的学习，可以让学生深刻地理解向量投影的概念及运用念及运用. . 因此在解题训练中，要注意通过解题过程的分析处因此在解题训练中，要注意通过解题过程的分析处理，指导学生深化对概念的理解和把握理，指导学生深化对概念的理解和把握. . 高三数学复习教学中如何加强概念教学 通过解题训练，深化概念理解通过解题训练，深化概念理解. 高三数学复习教学中如何加强概念教学 通过解题训练，深化概念理解通过解题训练，深化概念理解 在解题

31、训练中，要注意选编有关此类核心概念、重要定义的在解题训练中，要注意选编有关此类核心概念、重要定义的试题进行解析，高考对高中数学主体内容中的核心概念、重要定试题进行解析，高考对高中数学主体内容中的核心概念、重要定义的考查是从不吝啬的义的考查是从不吝啬的. . 高三数学复习教学中如何加强概念教学通过解题训练，把握相关概念的有机联系通过解题训练，把握相关概念的有机联系 ，实现灵活转化求解，实现灵活转化求解【点评】【点评】 这是一道涉及函数零点的较难问题，怎么办？回到定这是一道涉及函数零点的较难问题，怎么办？回到定义去！由定义可知：义去！由定义可知： 函数函数f(x)有零点有零点 函数函数f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点 方程方程f(x) = 0有实数根有实数根这个关系将函数的零点、函数图象与这个关系将函数的零点、函数图象与x轴的交点、方程的实数根轴的交点、方程