16.第十三讲 非平稳时间序列

1、时间序列回归时间序列回归平稳性时间序列的条件平稳性时间序列的条件平稳时间序列的期望、方差、自协方差、自相关系数平稳时间序列的期望、方差、自协方差、自相关系数等数字特征均不随时间推移而改变。等数字特征均不随时间推移而改变。( )()ttsYE YE Y2( )()ttsVar YVar Y( ,)()()ttstYtsYsCOV Y YE YY非平稳时间序列非平稳时间序列非平稳时间序列：常规假设检验、置信区间、非平稳时间序列：常规假设检验、置信区间、预测均失效。预测均失效。非平稳时间序列的两个例子：非平稳时间序列的两个例子：1. 趋势趋势2. 突变突变一个一个平稳的时间序列平稳的时间序列在图形上

2、往往表现出在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程；一种围绕其均值不断波动的过程；而而非平稳序列非平稳序列则往往表现出在不同的时间则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。降）。 什么是趋势什么是趋势趋势趋势(trend)是指变量随时间持续长期的运动。是指变量随时间持续长期的运动。 时间趋势中有时间趋势中有确定性确定性和和随机性随机性两种类型的趋势。其中两种类型的趋势。其中确确定性趋势定性趋势是时间的非随机函数。例如，确定性趋势为时是时间的非随机函数。例如，确定性趋势为时间的线性函数，若通货膨胀中有每季度上升间的线性函数，若通货

3、膨胀中有每季度上升0. 1个百分个百分点的确定性时间趋势，则该趋势可表为点的确定性时间趋势，则该趋势可表为0.1t，其中，其中t表示表示季度。季度。 随机性趋势随机性趋势是随机的且随时间变化的趋势。是随机的且随时间变化的趋势。例如通货膨胀中的随机性趋势显示出较长时间例如通货膨胀中的随机性趋势显示出较长时间的下降之后伴随着较长时间的上升。的下降之后伴随着较长时间的上升。 建立含随机性趋势的经济时间序列模型要建立含随机性趋势的经济时间序列模型要比建立含确定性趋势的时间序列模型更为恰当。比建立含确定性趋势的时间序列模型更为恰当。因为经济是一个很复杂的东西，很难调和确定因为经济是一个很复杂的东西，很难

4、调和确定性趋势暗含的可预测性和面临的复杂因素和意性趋势暗含的可预测性和面临的复杂因素和意外。但这些变动同样也是复杂经济力量的结果，外。但这些变动同样也是复杂经济力量的结果，由于这些力量的变化不可预测，因此通常认为由于这些力量的变化不可预测，因此通常认为这些趋势中存在着较大的不可测或随机成分。这些趋势中存在着较大的不可测或随机成分。 我们提到时间序列数据中的我们提到时间序列数据中的“趋势趋势”时，除时，除非特别指出，一般我们指随机性趋势。非特别指出，一般我们指随机性趋势。趋势的随机游走模型趋势的随机游走模型AR(1) 为平稳时间序列的条件是：为平稳时间序列的条件是： |1| 1其中其中ut是一个

5、简单的随机时间序列：具有零是一个简单的随机时间序列：具有零均值同方差的独立分布序列：均值同方差的独立分布序列： ti.i.dut被称为是一个白噪声（被称为是一个白噪声（white noise）。）。 由于由于ut具有相同的均值与方差，且协方具有相同的均值与方差，且协方差为零，白噪声序列差为零，白噪声序列ut是平稳的。是平稳的。随机游走的基本思想是序列明天的取值就是它今天的随机游走的基本思想是序列明天的取值就是它今天的取值再加上一个不可测变化，因为取值再加上一个不可测变化，因为Yt前进的路径是由前进的路径是由随机项随机项ut组成的，所以这一路径为一个组成的，所以这一路径为一个“随机游走随机游走”

6、。随机游走表明：明天的取值的最佳预测为今天的取随机游走表明：明天的取值的最佳预测为今天的取值。值。带漂移的随机游走带漂移的随机游走随机游走是非平稳的随机游走是非平稳的证明一：证明一：证明二：假设证明二：假设Y0=0Y1=Y0+u1=u1 Y2=Y1+u2=u1+u2Yt=u1+u2+ut212( )(.)ttuVar YVar uuut ()0tVar u随机游走的例子：随机游走的例子：use random,cleartsset treg r1 L.r1line r1 t一般来说，对一般来说，对Y Y取一阶差分（取一阶差分（first differencefirst difference）:

7、: Y Yt t=Y=Yt t-Y-Yt-1t-1= = t t由于由于 t t是一个白噪声，则差分后序列是平稳的。是一个白噪声，则差分后序列是平稳的。 后面将会看到后面将会看到: :如果一个时间序列是非平稳的，如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。 事实上，随机游走过程是下面我们称之为事实上，随机游走过程是下面我们称之为1 1阶自回阶自回归归AR(1)AR(1)过程的特例过程的特例 Y Yt t=Y Yt-1t-1+ + t t 不难验证不难验证:1。 |1，不平稳。该随机过程生成的时，不平稳。该随机过程生成的时间序列是发散

8、的，表现为持续上升间序列是发散的，表现为持续上升( 1)或持或持续下降续下降( -1)，因此是非平稳的；，因此是非平稳的；随机性趋势、自回归模型和单位根随机性趋势、自回归模型和单位根对于对于AR(1)来说，时间序列平稳的条件来说，时间序列平稳的条件是是|1| 1。对于对于AR(p)来说，需要引入滞后算子：来说，需要引入滞后算子：定义一阶滞后算子定义一阶滞后算子L为：为： Lxt = xt -1 k阶滞后算子定义为阶滞后算子定义为 Lkxt = xt - k 由于常数项与是否平稳无关，因此，原方程可由于常数项与是否平稳无关，因此，原方程可以写为：以写为：11221tttpptYYYYu11221

9、tttpptYYYYu122ttttpttpLYYL YYL YY11221tttpptYYYYu122ttttpttpLYYL YYL YY将滞后算子带入到方程，得：将滞后算子带入到方程，得：212ptttpttYLYL YL Yu212(1)ppttLLL Yu定义定义特征多项式特征多项式为为(L)：212( )1ppLLLL AR(p)为平稳序列的条件是：为平稳序列的条件是：212( )10ppLLLL 的所有根的绝对值都大于的所有根的绝对值都大于1。例如：例如：随机性趋势带来的问题随机性趋势带来的问题若回归变量中包含随机性趋势若回归变量中包含随机性趋势(有单位根有单位根)，则，则其系数

10、的其系数的OLS估计量及其估计量及其OLS t统计量即使在统计量即使在大样本下也不服从标准大样本下也不服从标准(即非正态即非正态)分布。分布。(1)当当AR(1)中的自回归系数真值为中的自回归系数真值为1时其估时其估计量偏向于计量偏向于0；(2)包含随机性趋势的回归变量系数的包含随机性趋势的回归变量系数的t统计量统计量即使在大样本下也服从非正态分布；即使在大样本下也服从非正态分布；(3)随机性趋势带来的风险的极端例子是包含随机性趋势带来的风险的极端例子是包含有随机性趋势的两个独立序列会以较高的概率有随机性趋势的两个独立序列会以较高的概率错误地呈现出相关关系，即所谓的伪回归。错误地呈现出相关关系

11、，即所谓的伪回归。问题问题1：偏向于零的自回归系数：偏向于零的自回归系数自回归系数向左偏向于自回归系数向左偏向于0。假设对于。假设对于AR(1)： 其真实值为其真实值为1=1。然而，。然而，OLS 估计出的估计出的1 却不是却不是渐近正态分布，甚至不是对称分布，即使是在大样渐近正态分布，甚至不是对称分布，即使是在大样本下，而是向左偏向于本下，而是向左偏向于0。这是因为，由于。这是因为，由于Yt 不不是平稳序列，中心极限定理不再适用。是平稳序列，中心极限定理不再适用。011tttYYu问题问题2：t统计量的非正态分布统计量的非正态分布若回归变量中包含随机性趋势，则常用的若回归变量中包含随机性趋势

12、，则常用的OLS t统计量在原假设成立时即使在大样本下也服统计量在原假设成立时即使在大样本下也服从非正态分布。这意味着常用的置信区间是不从非正态分布。这意味着常用的置信区间是不正确的，也不能像往常一样进行假设检验。由正确的，也不能像往常一样进行假设检验。由于这个于这个t统计量的分布依赖于有问题的回归变统计量的分布依赖于有问题的回归变量和其他回归变量之间的关系，因此一般无法量和其他回归变量之间的关系，因此一般无法列表给出其分布。列表给出其分布。问题问题3：伪回归：伪回归随机性趋势会使两个没有相关关系的时间序列随机性趋势会使两个没有相关关系的时间序列呈现出相关性，这个问题称为伪回归。呈现出相关性，

13、这个问题称为伪回归。1965-19811982-2004这个矛盾结论的来源是两个序列都含有随机这个矛盾结论的来源是两个序列都含有随机性趋势。这两个趋势碰巧在性趋势。这两个趋势碰巧在1965-1981年间年间保持一致，但在保持一致，但在1982-2009年期间却没有。年期间却没有。事实上，也不存在令人信服的经济或政治理事实上，也不存在令人信服的经济或政治理由相信这两个序列中的趋势是相关的。简言由相信这两个序列中的趋势是相关的。简言之，这些回归是虚假的。之，这些回归是虚假的。一种确保某些基于回归的方法可靠的特例是一种确保某些基于回归的方法可靠的特例是两个序列的趋势成分相同，即序列中包含了两个序列的

14、趋势成分相同，即序列中包含了共同的随机性趋势。如果是这样的话，序列共同的随机性趋势。如果是这样的话，序列称为是称为是协整协整的。的。随机性趋势探测：单位随机性趋势探测：单位AR根的检验根的检验因此，针对式因此，针对式 Y Yt t= =0+ + Y Yt-1t-1+ + t t 我们关心的检验为：我们关心的检验为：零假设零假设 H0： =0。 备择假设备择假设 H1： 0 上述检验可通过上述检验可通过OLS法下的法下的t检验完成。检验完成。 然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的统计量也是有偏误的（向

15、下偏倚），通常的t 检验无法检验无法使用。使用。 Dicky和和Fuller于于1976年提出了这一情形下年提出了这一情形下t统计量服从统计量服从的分布（这时的的分布（这时的t统计量称为统计量称为 统计量），即统计量），即DF分布分布（见下表）。（见下表）。由于由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏态分布。态分布。 因此，可通过因此，可通过OLS法估计法估计 Y Yt t= =0+ + Y Yt-1t-1+ + t t 并计算并计算t统计量的值，与统计量的值，与DF分布表中给定显著性水分布表中给定显著性水平下的临界值比较：平下的临界值比较：

16、如果：如果：t临界值，则拒绝零假设临界值，则拒绝零假设H0： =0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。认为时间序列不存在单位根，是平稳的。表表 9.1.3 DF 分分布布临临界界值值表表 样 本 容 量 显著性水平 25 50 100 500 t分布临界值 （n=） 0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 -3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86 -1.65 0.10 -2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -1.28 2、ADF检验检验 进一步的问题：进一步的问题：在上述对时间序列进行平稳性检在上述对

17、时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误验中，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。生成的。 但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，如归过程生成的，如AR(3)，或者随机误差项并非是白，或者随机误差项并非是白噪声，这样用噪声，这样用OLS法进行估计均会表现出随机误差项法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关出现自相关（autocorrelation），导致），导致DF检验无效。检验无效。 另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的另外，如果时间序列包

18、含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随机误差项问题。中的自相关随机误差项问题。 因此，因此，Dicky和和Fuller对对DF检验进行了扩充，形检验进行了扩充，形成了成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）检验）检验。ADF检验是通过下面三个模型完成的：检验是通过下面三个模型完成的：111YYYt+pititipititipititiYuYuYutt-1t0t-1t0t-1模型1： = Y+模型2： =+ Y+模型3： =+Y+模型模型3 3 中的中的t t是时间变量，代表了时间序列随是时

19、间变量，代表了时间序列随时间变化的某种趋势（如果有的话）。时间变化的某种趋势（如果有的话）。 检验的假设都是：针对检验的假设都是：针对H1: H1: 0,1991) （生成虚拟变量）（生成虚拟变量） gen d1=L.y*d （生成虚拟变量与（生成虚拟变量与GDP滞后滞后的交乘项）的交乘项） gen d2=L.c*d （生成虚拟变量与消费滞后（生成虚拟变量与消费滞后的交乘项）的交乘项） reg c L.c L.y d d1 d2 test d d1 d2突变时间未知时的突变检验突变时间未知时的突变检验算法：算法：1. 假定怀疑在两个日期假定怀疑在两个日期0和和1间发生结构突变。此时可间发生结构

20、突变。此时可修改修改chow检验。要使检验。要使QLR统计量分布的大样本近似较统计量分布的大样本近似较好。子样本端点好。子样本端点0和和1不能太靠近样本起点或终点。为不能太靠近样本起点或终点。为此，实际此，实际QLR统计量是用样本的统计量是用样本的“修剪修剪”范围进行计范围进行计算。通常选择剔除算。通常选择剔除15%,即令即令0=0.15T， 1=0.85T，剔，剔除后的突变时间的除后的突变时间的F统计量是用中间统计量是用中间70%样本计算的。样本计算的。突变的可能时间一般是未知的或只知道落在某突变的可能时间一般是未知的或只知道落在某一范围内。一范围内。2. 在在 范围内，对每个样本点进行范围

21、内，对每个样本点进行chow检验，求出检验，求出F值来。这样可以得出一系值来。这样可以得出一系列不同的列不同的F值，我们取最大的值，我们取最大的F值，即为值，即为QLR 统计量，然后取出约束个数统计量，然后取出约束个数q（F检验的解释检验的解释变量的个数），查书上变量的个数），查书上QLR临界值表，如果临界值表，如果拒绝原假设，则拒绝原假设，则QLR 统计量统计量对应的那统计量统计量对应的那个样本点为结构突变点。个样本点为结构突变点。警告：即使你认为你的确知道时你也可能不警告：即使你认为你的确知道时你也可能不知道突变时间。知道突变时间。有时某专家会认为他或她知道突变的可能时有时某专家会认为他或她知道突变的可能时间，因此可采用间，因此可采用Chow检验而非检验而非QLR检验。但检验。但如果这种认知是基于专家自身对分析序列的如果这种认知是基于专家自身对分析序列的认识，则尽管他采用的是一种非正式方法，认识，则尽管他采用的是一种非正式方法，但事实上这个时间也是用数据估计出来的。但事实上这个时间也是用数据估计出来的。突变时间的初始估计表明常用的突变时间的初始估计表明常用的F临界值不能临界值不能用于那个时间上突变的用于那个时间上突变的Chow检验。因此在这检验。因此在这种情况下采用种情况下采用QLR统计最仍然是恰当的。统计最仍