量子力学_21一维势场中粒子能量本征态的一般性质

1、第第2章章一维势场中的粒子一维势场中的粒子引言引言 本章主要是用本章主要是用Schrdinger方程来处理一维粒子的方程来处理一维粒子的能量本征态问题能量本征态问题. 下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的特点特点. V x 设质量为m的粒子在一维势场 中(考虑定态的情况下)的能量本征方程为在上式中在上式中， 222d2dV xxxm x（1）为能量本征值为能量本征值. x为相应的能量本征态为相应的能量本征态.2.1 2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质 *V xVx(实数值)在求解能量本征方程(1)时，要根

2、据具体物理问题的边条件来定解如, 等. 先讨论其一般解有关的七条基本性质其中前4条, 不仅对一维问题成立, 对于三维问题也同样适用.下面先对该方程的解的下面先对该方程的解的一般性质一般性质进行讨论进行讨论定理定理1也是方程也是方程(1)的一个解的一个解,对应的能量也是对应的能量也是. x,则则 *x设设也是方程也是方程(1)的一个解的一个解,对应的能量也是对应的能量也是对应的能量本征值为对应的能量本征值为是能量本征方程是能量本征方程(1)的一个解的一个解,设设也是方程也是方程(1)的一个解的一个解,对应的能量也是对应的能量也是 x,则则 *x 假设对应于能量的某个本征值 ,方程(1)解无简并,

3、(即只有一个独立的解),则可取为实解(除了一个无关紧要的常数因子之外).对应于能量的某个本征值对应于能量的某个本征值,总可以找到总可以找到方程方程(1)的一组实解的一组实解,凡是属于凡是属于的任何解的任何解,均可均可表示为这一组实解的线性叠加表示为这一组实解的线性叠加.定理定理2 对于能级有简并的情况对于能级有简并的情况,要用到此定理要用到此定理.定理定理3定义定义P空间反射算符空间反射算符 Prr 即把空间坐标即把空间坐标. rr 设设 具有空间反射不变性，具有空间反射不变性， 如如 是方程（是方程（1）的对应于能量本征值）的对应于能量本征值 的的解，则解，则 也是方程（也是方程（1）的对应

4、于能量）的对应于能量 的的解解. xx V x .VxV x .Pxx对于一维粒子对于一维粒子, ,则为则为 Pxxx Pxxx 偶宇称解偶宇称解(even parity) 奇宇称解奇宇称解(odd parity) 一维谐振子和一维对称方势阱都是具有空间反射一维谐振子和一维对称方势阱都是具有空间反射对称性，它们的能量本征态都有确定的宇称。对称性，它们的能量本征态都有确定的宇称。 如果对应于某能量如果对应于某能量 方程方程(1)的解无简并的解无简并,则解必有确定的则解必有确定的宇称宇称(parity)., 对于对于能级有简并能级有简并的情况，能量本征态并不一的情况，能量本征态并不一定就具有确定宇

5、称定就具有确定宇称.此时，可以用定理（此时，可以用定理（4）来处）来处理理定理定理4适用范围适用范围 设设 则对应于任何一个能量则对应于任何一个能量本征值本征值 总可以找到方程总可以找到方程(1)的一组解的一组解 (每个每个解都有确定的宇称解都有确定的宇称), 而属于能量本征值而属于能量本征值 的任的任何解，都可用它们来展开何解，都可用它们来展开. ,VxV x, 在坐标表象中, 涉及波函数 及其各阶导数的连续性问题, 应从能量本征方程(1)出发,根据 的性质进行讨论. V x x x 如 是 的连续函数, 则 与 必为 的连续函数. V x xxx 但是如 不连续, 或有某种奇异性, 则 及

6、其各阶导数的连续性问题需要具体分析. x V x对于阶梯形方位势对于阶梯形方位势21VV有限12,( ),VxaV xVxa（2）对于对于一维有限深方势阱一维有限深方势阱，这个定理明显成立，这个定理明显成立.定理定理5 能量本征函数能量本征函数 及其导数及其导数 必定是必定是连续的连续的(但如但如 ，则定理不成立，则定理不成立). x x21VV 1221xxxxx常数 与 无关 .（3）定理定理6注意注意 对于束缚态(bound state), 当时, 所以式(3)中常数必为0.x 0,结论结论 因此,对于同属于能量 的 任何两个束缚态波函数 与 121221 对于一维粒子，设 与 均为方程

7、（1）的属于同一能量 的解，则 1x 2x定理定理7! 设粒子在规则（regular）势场 ( 无奇点)中运动，如存在束缚态，则必定不简并的. V x V x 对于常见的不规则势阱(如无限深势阱, 势阱等),在绝大多数情况下上述定理也成立. 但对于某些不规则势阱,如一维氢原子 除基态外,其他束缚态均为二重简并. 其特征是波函数的节点出现在 的奇异点处,两个简并态具有不同宇称. 1/,V xx V x量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)222d20dmx 22/k

8、m 3先考虑一个理想的情况先考虑一个理想的情况无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子.0,xa在在阱内阱内 能量本征方程能量本征方程为为 0,0,0,xaV xxxa 1势阱表示为势阱表示为 为粒子质量为粒子质量,m0.令2.2 方势阱方势阱2.2.1 无限深方势阱无限深方势阱,离散谱离散谱量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版),kan 1,2,3n 5 4 sinxkx注意注意 与与 是待定常数是待定常数.A而按照边条件 , 得 即sin0,ka 0a 给出的

9、波函数 ,无物理意义,而 取负值与 取正值所给出的波函数描述的是同一个量子态.0n0n则方程(2)的解可表示为按边条件 则要求 00,0.量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)联合式(5)和(3)2222,1,2,32nnnma 6结论结论一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，即构成的能谱是离散的 称为体系的能量本征值.与En 对应的波函数记为 称为能量本征函数， n nx sin/nxn x a 70 xa量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.1

10、2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版) 20d1anxx 8利用归一化条件 2sin, 00,0,nn xxaaaxxxa 9则则归一化归一化的波函数表示为的波函数表示为2/ .Aa, 取为实数取为实数.A量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)设设 00,2,2axV xaVx102022d20dmVx 1100V0Va为阱宽为阱宽, 为势阱高度为势阱高度,以下讨论以下讨论 束缚态情况束

11、缚态情况.2ax 在阱外在阱外( ,经典禁区经典禁区),能量本征方程为能量本征方程为2.2.2 有限深对称方势阱有限深对称方势阱量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)xe ,2,2xnxaexxaex 12则方程 的解具有如下指数函数形式 11但考虑到束缚条件（要求 处 ），波函数应取如下形式 x 0 x量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版

12、第二版)222d20dmx13这正是这正是2.21无限方势阱的边条件的根据无限方势阱的边条件的根据常数 和 待定.当 （无限深势阱）即 ,则当 上式 . 2ax00V 在阱内( ,经典允许区),能量本征方程为2ax量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版) cosxkx2ax14/2/2lncoslnexx ax akx/ 2,ka/2a(a)偶宇称态偶宇称态引入无量纲参数令令 2/kmisin,cos;ekxkxkx或则方程 的解可表为如下振荡函数形式:13根据 和

13、(14)式 ,有12量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)得到得到tan22220/2mV a15(b)奇宇称态奇宇称态 对于超越方程组(15), 可用数值计算求解或用图解法近似求解. sinxkx2ax利用 的连续条件可求出ln与偶宇称态类似,量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)引进无量纲参数, 则上式化为cot/2kkacot1

14、6222220/2/4mV a 2220/2Vam 时时, 才可能出现最低的奇宇称能级才可能出现最低的奇宇称能级.即即奇宇称态与偶宇称态不同奇宇称态与偶宇称态不同, 只当只当从而能确定能量本征值.量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)2.2.3 束缚态与离散态束缚态与离散态束缚能量本征态 的能量是离散的,按照能量本征方程0V 22mxVxx 在经典允许区 波函数是 的振荡函数 ,V xxVxsin,cos,kxkx 而且在 愈大的地方,振荡愈快. 此外,由于 与

15、的正负号相反, x 总是向 轴弯曲. x 区域区域 , 曲线向下弯曲线向下弯; 区域区域 , 曲线向上弯曲线向上弯. 0 x 0 x x 0,x 0,x x结论结论量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版) ,V x与此不同与此不同, 在经典的禁区在经典的禁区波函数是波函数是 的的x指数上升或下降的函数指数上升或下降的函数e,x无振荡现象无振荡现象. 由于由于 与与 的正负号相同的正负号相同 , 总是背离总是背离 轴轴弯曲，即弯曲，即在在 区域区域, 曲线向上弯曲曲线

16、向上弯曲;在在 区域区域 曲线向下弯曲曲线向下弯曲. 0 x 0,x x 0 x 0,x x根据上述特点根据上述特点, 可以定性讨论粒子能量的可以定性讨论粒子能量的可能取值可能取值(即本征值即本征值)以及波函数的节点数以及波函数的节点数. xx量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版) 0,00,0,VxaV xxxa2.2.4 方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射 设具有一定能量 的粒子沿 轴正方向射向方势垒x 从量子力学观点来看，考虑到粒子的波动性,此问题与波碰到

17、一层厚度为 的介质相似, 即有一部分波透过,一部分波被反弹回去.a量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)222d20dmx iiiee,0e,kxkxkxRxaxSxa17先考虑 情况.在势垒外( ,经典允许区), 能量的本征方程表示为0,xxa0V由于势垒的存在, 在 区域中, 既有入射波 , 也有反射波 , 而在 区域中只有透射波 所以0 x iekxiekxxaie,kx所所以以量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量

18、本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)式 中 和 分别表示反射波与透射波, 相应的反射流密度和透射流密度分别为17iekxRiekxS2jR v反，2/jS vk m 透，18所以所以 反射系数反射系数= 投射系数投射系数=2jjR反入2jjS入透1920量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版) ee, 0 xxxxa222022d20dmVx 2102m V23其其 可取为可取为通解通解在势垒内部( ,经典禁区)

19、,其能量本征方程为0 xa量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)1Ri1kR1ii1121ii112kkRkkR24按式 在 点 的连续性条件导致17,与 220 x 与上两式相加减上两式相加减, 分别得分别得量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)iiiii111eiii111ekaakaakkkRSkkkRS2 5消去消去R 解出解

20、出i22ie1sh2ichkakSkkaa2 6类似, 在 点 的连续性条件导致 xa与量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)2222222224sh4chkTSkaka因此因此, 为为透射系数透射系数22222224sh4kkak27120011s h41aVV量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)类似, 消去S, 可得出R, 而反

21、射系数为222222222shsh4kaRkak透射系数透射系数 表示粒子被势垒反弹回去的概率, 表示粒子透过势垒的概率. 2R2S221RS可以看出可以看出 粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象, 成为隧穿效应隧穿效应.量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)2802kmV 22222224sin4kTkak2912211sin4kkk akk对于对于 情况情况,从从 式可以看出式可以看出,只需在式只需在式 中中,把把 0Vik23利用利用 式式, 可改写成可改写成

22、sh iisink ak a27量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)此时此时12211sin4kkTkakk311200sin141aVV 对于方势阱的透射, 上述理论仍然适用,透射系数T仍由式 给出,但应把 ,00VV 29022mVmkk 30即即2.2.5 方势阱的反射方势阱的反射,透射与共振透射与共振量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(

23、第二版第二版),1,2,3,k ann 3222202,1,2,32nnVnma 34由式 可以看出，如果 ，则一般来说T值很小，除非入射粒子能量E合适，使此时，T=1（反射系数 ），这现象称为共振透射. 它出现的条件是310Vsin0k a 20R或改写成 332/k由式 可求出共振时的能量3032与量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)共振能级共振能级,nE0,E 3434En如粒子能量很小，按2.2.2节的讨论，是可能形成束缚态的. 这相当于式 中量子数 较

24、小的情况. 如 较大，使 则不能形成束缚态. 但如能量 合适，满足式 ，则将出现共振透射.式 所确定的 称为34n量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)其中其中,常数常数0.不含时Schrdinger方程表示为 222d2dxxm x 2 V xx 1 设有质量为 m 的 粒子（能量E0）从左入射，碰到 势垒2.3 势势2.3.1 势的穿透势的穿透量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征

25、态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版) 22000m 3x=0 是方程的奇点，在该点 不存在，表现为在 x=0 点 不连续. 所以在 x=0 点 一般是不连续的,除非 x0limdx 2对方程 积分 ，可得得（3）式称为 势中 的跃变条件. .（0)=0 量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)解仍为但边条件有所不同，根据 x=0 点 连续以及 跃变条件 有 3 , 20,2/xkxkm 4 iiiee,0e ,0kxkxkxRxxSx 5在 处方程

26、化为0 x 2 62121iRSm SRSk量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)消去 R ，得2i1/ 1mSk 7而而由于入射波的波幅已取为 1 ，所以22ii1/ 1mmRSkk 822224221/ 11/ 12mmSk 9透射系数透射系数22222/ 122mmR10反射系数反射系数量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)2L

27、m (b) 势的特征长度为 ，特征能量为 .透射系数只依赖于 ，即特征能量与入射粒子能量之比.当22/m22/m22/m21,S 时, 即高能极限下粒子将完全穿透势垒.(a)如 势垒换为 势阱 ，透射及反射系数的值不变，仍如式 和 所示. 910 讨论：量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)（c）可以看出）可以看出 x显然在显然在 x=0 点点, 不连续，但不连续，但粒子流密度粒子流密度20,010i20i1iSRSkmkRkSS 11i2xjmxx 12却是连续

28、的，可见：从能流密度的连续性并不能得出 的连续性 . 量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)考虑粒子在 势阱 时，时，能量本征方程能量本征方程为为0 222d20dmxxx 2 ( )0V xx 1 22000m 30limdx积分积分 ，可得出，可得出 的的跃变条件跃变条件2.3.2 势阱中的束缚态势阱中的束缚态量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教

29、程(第二版第二版) 4 202,0 xxm 方程 的解的形式为 ,考虑到 ，要求束缚能量本征态（不简并）具有确定宇称. ex VxVx 4以下分别讨论以下分别讨论在 区域，方程 化为0 x 2量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)考虑到束缚态条件，偶宇称态波函数应表示为按式 ，可得粒子的能量本征值 42/m 6 e,0e,0 xxCxxCx 52220222mm 7偶宇称态偶宇称态 3为归一化常数.按 跃变条件 ，可得C量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学

30、教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)由归一化条件xL在 区域中的概率为 /1ex LxL 9 22d/1xxC 8 e,0e,0 xxAxxAx11 222de0.1353Lxx10 ：波函数应表示为：波函数应表示为奇宇称态奇宇称态量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版) 势阱对奇宇称态没有影响，因而不可能形成束缚态.连续条件连续条件 由波函数的 （x=0 点），可得出A=0，

31、所以不可能存在奇宇称束缚能量本征态.从物理上考虑: 奇宇称函数在 x=0点必为 0 , 而 势又恰好只在 x=0 点起作用.所以所以量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版) 事实上，所有涉及 势的问题,原则上均可以从方势情况下的解取极限而得以解决.2.3.3 势与方势的关系，势与方势的关系，波函数微商的跃变条件波函数微商的跃变条件势可以看成方势的一种极限情况. 但直接用 势来求解,往往要简捷得多.量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场

32、中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)考虑粒子对于方势垒考虑粒子对于方势垒NoImagex0V 的散射.考虑粒子能量 的情况.在势垒内部 ,波函数表为 eexxx 2 0,0,VxV xx 1而 eexxx 402m V 3量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)当当 不难得不难得00 ,V 即即 22000m 7 202lim0m 6 eeeexxxx 5现在让 但保持 （常数）,则方势垒 将趋于 势垒 .0,0,V 02 V 1 x利用利用量子力学教程量子力学教程量子力学教程量子力学教程2.12.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)一维谐振子的能量本征方程为则方程进化为1,2ax am(2) 22222d12d2mxxxm x(1)222d0d(3)引入无量纲参数2.4 一维谐振子一维谐振子量子力学教程量子力学教程量子力学教程