数字信号处理7

1、数字信号处理课程组数字信号处理课程组第第5章章 有限长离散变换有限长离散变换l数字信号处理课程组数字信号处理课程组第第5章章 有限长离散变换有限长离散变换l在实际应用中，将一段有限长的时域序列映射为等长的其他序列是很方便的，反之亦然，如此类的变换通常称为有限长变换有限长变换；l离散傅里叶变换、离散余弦变换离散傅里叶变换、离散余弦变换和Haar变换变换是常见的三类正交变换。数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 正交变换正交变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 正交变换正交变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 正交变换正交变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 正

2、交变换正交变换l为了验证逆变换的表达式:l将其代入到正变换的表达式数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 正交变换正交变换代入后得到:能量守恒性质:也即是帕斯瓦尔定理。数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 离散傅里叶变换离散傅里叶变换定义：N点有限长序列的离散傅里叶变换DFT可以从它的连续时间傅里叶变换DTFT在上均匀采样而得到。从连续时间傅里叶变换的定义，我们可以得到离散傅里叶变换的定义为：jX e02数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 离散傅里叶变换离散傅里叶变换注意依然是一个N点的频域序列。在DFT的表达式中，令DFT的表达式可以改写为： X k2 /jNNeW数字信号

3、处理课程组数字信号处理课程组5.1 离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶逆变换IDFT为：为了验证IDFT变换的正确性，我们在上式两边同乘以，并对进行从0到N-1之间的累加lnNWn数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 离散傅里叶变换离散傅里叶变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 离散傅里叶变换离散傅里叶变换从等式中可以得到，只有当时,项才不等于0kl数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 离散傅里叶变换离散傅里叶变换典型序列的DFT变换。单位取样序列：其DFT变换为数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 离散傅里叶变换离散傅里叶变换经过m点移位的单位取样序列它的N点

4、DFT变换为：数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 离散傅里叶变换离散傅里叶变换单频余弦序列的DFT变换。根据欧拉公式，我们可以得到数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 离散傅里叶变换离散傅里叶变换因此的N点DFT变换为： g n数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 离散傅里叶变换离散傅里叶变换根据公式：我们得到数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFT变换的矩阵表达式：根据DFT的变换表达式我们可以将其表达为矩阵形式数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 离散傅里叶变换离散傅里叶变换而是一个矩阵，表达式为：ND数字信号处理课程组数字信

5、号处理课程组5.1 离散傅里叶变换离散傅里叶变换类似的，IDFT变换能够表达为数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 离散傅里叶变换离散傅里叶变换注意数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 用用MATLAB来计算来计算FFTMATLAB中计算DFT和IDFT的函数为fft和ifft。这两个函数使用的是DFT变换的快速算法来计算，可以大幅度减少运算量。Program5_1.m和Program5_2.m演示了这两个函数的使用方法。Program5_3.m能够用来计算如下序列的DFT和DTFT数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 用用MATLAB来计算来计算FFT00.10.20.30

6、.40.50.60.70.80.910123456789/Magnitude数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 从从DFT插值得到插值得到DTFTDFT是对DTFT在频域上的等间隔采样。给定一个N点序列的DFT变换那么该序列的DTFT也能够唯一的求得。 x n X n数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 从从DFT插值得到插值得到DTFT数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 从从DFT插值得到插值得到DTFT数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 频域采样定理频域采样定理令对进行采样，得到令数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 频域采样定理频域采样定理令有数字信号

7、处理课程组数字信号处理课程组5.1 频域采样定理频域采样定理利用关系式最终得到数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 频域采样定理频域采样定理是的移位加权和。当采样点点数N大于等于序列的时候，不发生混叠。反之则发生混叠。 y n x n x n数字信号处理课程组数字信号处理课程组5.1 频域采样定理频域采样定理例子：有序列现在对它的该序列的DTFT变换在，处进行采样得到4点序列，然后进行IDFT变换得到序列：l数字信号处理课程组数字信号处理课程组DTFT的的DFT数值计算方法数值计算方法数字信号处理课程组数字信号处理课程组DTFT的的DFT数值计算方法数值计算方法定义一个新序列：数字信号处

8、理课程组数字信号处理课程组DTFT的的DFT数值计算方法数值计算方法数字信号处理课程组数字信号处理课程组DFT分类分类数字信号处理课程组数字信号处理课程组基于共轭对称性质的分类基于共轭对称性质的分类数字信号处理课程组数字信号处理课程组基于几何对称的分类基于几何对称的分类数字信号处理课程组数字信号处理课程组基于几何对称的分类基于几何对称的分类四种几何对称类型：类型1：奇数点对称类型2：偶数点对称数字信号处理课程组数字信号处理课程组基于几何对称的分类基于几何对称的分类类型3：奇数点反对称类型4：偶数点反对称数字信号处理课程组数字信号处理课程组几何对称序列的傅里叶变换几何对称序列的傅里叶变换l类型1

9、：奇数点对称序列的傅里叶变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组几何对称序列的傅里叶变换几何对称序列的傅里叶变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组几何对称序列的傅里叶变换几何对称序列的傅里叶变换l类型2：偶数点对称序列的傅里叶变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组几何对称序列的傅里叶变换几何对称序列的傅里叶变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组几何对称序列的傅里叶变换几何对称序列的傅里叶变换l类型3：奇数点反对称序列数字信号处理课程组数字信号处理课程组几何对称序列的傅里叶变换几何对称序列的傅里叶变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组几何对称序列的傅里叶变换几何对称序列的傅里叶变换l类型

10、4：偶数点反对称序列数字信号处理课程组数字信号处理课程组几何对称序列的傅里叶变换几何对称序列的傅里叶变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组DFT性质性质l和DTFT变换一样，DFT变换也满足一些性质，这些性质在实际的信号处理中非常有用。l有些性质和DTFT是一样的，但是也有一些不同于DTFT变换的性质。lDFT变换的性质表如下：数字信号处理课程组数字信号处理课程组DFT对称性质对称性质数字信号处理课程组数字信号处理课程组DFT对称性质对称性质数字信号处理课程组数字信号处理课程组DFT性质定理性质定理数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷

11、积圆周卷积数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积l例：求下面两个4点序列的4点圆周卷积。数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积l结果由下式给出：数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积l同样地：数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积l圆周卷积也可以通过Table5.3给出地基于DFT的方法来进行计算数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积l例：考虑如下4点序列的4点圆周卷积数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积l

12、因此：l类似的：数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积l因此：l上述两个4点序列的4点DFT变换也可以通过矩阵计算来实现。数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积l因此：数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积l进行4点IDFT变换得到：数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积l例：现在对上述两个4点的序列进行三点补零增加7。数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积数字信号处理课

13、程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积l7点圆周卷积结果和线性卷积结果保持一致数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积lN点的圆周卷积结果也可以写成矩阵形式：l该矩阵所有对角线上的元素是相同的，所以它是一个Toeplitz矩阵（“托普利茨矩阵”）。数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积l并且该矩阵的行向量的每个元素都是前一个行向量各元素依次右移一个位置得到的结果。l所以该矩阵是一个循环矩阵。数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积l圆周卷积的列表方法。l同样还是以上述两点4点序列的4点圆周卷积为例。数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积数字信

14、号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积l将上述的两个4点序列代入：数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积数字信号处理课程组数字信号处理课程组圆周卷积圆周卷积数字信号处理课程组数字信号处理课程组实序列的实序列的DFT变换变换l在很多情况下，信号处理的对象是实序列。l在这种情况下，Table5.2中给出的DFT对称特性能够提高DFT的计算的效率。数字信号处理课程组数字信号

15、处理课程组两个两个N点实序列的点实序列的N点点DFT变换变换l下面的例子将说明，可以通过单次DFT变换来同时计算得到两个序列的DFT变换。数字信号处理课程组数字信号处理课程组两个两个N点实序列的点实序列的N点点DFT变换变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组两个两个N点实序列的点实序列的N点点DFT变换变换ll从Table5.1我们有：数字信号处理课程组数字信号处理课程组两个两个N点实序列的点实序列的N点点DFT变换变换l例：现在计算两个4点序列的DFT变换。l将两个序列组合成一个复数序列：数字信号处理课程组数字信号处理课程组两个两个N点实序列的点实序列的N点点DFT变换变换l该复数序列的D

16、FT变换为：l因此：数字信号处理课程组数字信号处理课程组两个两个N点实序列的点实序列的N点点DFT变换变换l因此：数字信号处理课程组数字信号处理课程组利用利用N点点DFT变换计算变换计算2N点实序点实序列的列的DFT变换变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组利用利用N点点DFT变换计算变换计算2N点实序点实序列的列的DFT变换变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组利用利用N点点DFT变换计算变换计算2N点实序点实序列的列的DFT变换变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组利用利用N点点DFT变换计算变换计算2N点实序点实序列的列的DFT变换变换l即：l例：求如下序列的8点DFT：l重组得到

17、两个序列：数字信号处理课程组数字信号处理课程组利用利用N点点DFT变换计算变换计算2N点实序点实序列的列的DFT变换变换l根据之前的结论：l代入之前计算得到的Gk和Hk的值：数字信号处理课程组数字信号处理课程组利用利用N点点DFT变换计算变换计算2N点实序点实序列的列的DFT变换变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组利用利用N点点DFT变换计算变换计算2N点实序点实序列的列的DFT变换变换数字信号处理课程组数字信号处理课程组利用利用DFT计算线性卷积计算线性卷积l线性卷积是许多信号处理算法的基本运算，计算量比较大；lDFT变换可以通过FFT快速有效地计算；l圆周卷积对应于DFT的乘积；l线性

18、卷积和圆周卷积有确定的联系；l因此，可以考虑采用DFT变换来快速有效的计算线性卷积。数字信号处理课程组数字信号处理课程组两个有限长序列的线性卷积两个有限长序列的线性卷积数字信号处理课程组数字信号处理课程组两个有限长序列的线性卷积两个有限长序列的线性卷积l有线性卷积和圆周卷积的对应关系：l这样，利用DFT来计算线性卷积的流程图如下：数字信号处理课程组数字信号处理课程组The Cyclic Prefix数字信号处理课程组数字信号处理课程组有限长序列和无限长序列的线性有限长序列和无限长序列的线性卷积卷积l接下来我们考虑如下卷积问题的DFT实现：数字信号处理课程组数字信号处理课程组重叠相加法重叠相加法数字信号处理课程组数字信号处理