圆锥曲线的性质

1、有关圆锥曲线焦点弦的两个性质一节试卷评析课上的探究活动的收获数学探究是数学教与学中通常发生的活动，师生就某个数学事实，提出更有一 般规律的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，并给出解释或证明。这种 学习方式有助于学生初步了解数学概念和结论产生过程，有助于培养学生勇于质疑 和善于反思的习惯。学生直接参与数学研究的过程，体验创造的激情，提升数学学 习兴趣，培养了学生发现、提出、解决数学问题的能力。在一次高三数学测试中，试卷上有这样一道试题：已知椭圆E的右焦点F （1，0），右准线|：x4，离心率e 1。2（1）求椭圆E的方程；（2） 设A是椭圆E的左顶点，一经过右焦点 F的直线与椭圆E相交于

2、P、Q两点（P、Q与A不重合）。直线AP、AQ分别与右准线I相交于点M、N，求证：直线PN、直线QM与X轴相交于同一点。2 2答案：（1）乞红 143（2）直线PN、直线 QM与X轴相交于右顶点 B（2，0） 在试卷评析课上，笔者评讲这道题后评述：“一般”和“特殊”是相互联系、相互依存的。科学家发现某些定理，定律，都是通过一些“特殊”联想推广到一般情况， 再加以论证、核实。提出问题：2v2椭圆E: 22 1（a b 0）的左顶点为A，经过右焦点F的直线与椭圆E相交a b于P,Q两点（P、Q与A不重合）。直线AP、AQ分别与右准线I相交于点M、N， 试问：直线PN，直线QM与X轴是否三线共点？同

3、学们兴趣很高，经过思考后，大部分立即按原题思路进行探索：（1）若 PQX 轴，则 P（c,圧）,Q（c,a2 bl b!2直线PN的方程：y ba一C （x 丄）cc a-cc2（x乳）解得X a a c直线PN与x轴交于点B（ a,0）同理，直线QM与x轴交于点B ( a,0 )。从而此时直线 PN、直线QM与x轴三线共点于右顶点 B ( a,0 )(2 )若PQ与x轴不垂直b21并化简得2 设直线 PQ的方程为y k(x c)代入电 a八 22.2、22222222(b a k )x 2a k cx a k c a b 0设 P(x1,y1),Q(x2, y2)，则x22a2k2cb2 a

4、2k22 2 2 2 2a k c a b2 2 2b a k设M (弓,丫皿)小(羊,Jn)，由aP/aM 得(2a，y1)(g a，yM)kBM解得yM同理yNa)x,aa cy1a c x1akBQy2x2 a5a)(a c)k(X1 c)(X2 a) (a c)k(X2 6(召(a c) (x1 a) (x2 a)22 22 222222242c(a k c a b ) 2c(a2 c2)(a k2 a cb2a c(a c)(召 a) (x2 a)0kBMkBQ,M,B,N 三点共线。同理可证N,B,P三点共线。此时直线PN,QM与X轴也交于点B （ a,0 ） 综合（1） （2）直

5、线PN,MQ与X轴共点于B。在大家感到都很满足的同时，学生小张举手提问：与椭圆有很多共性之处的双 曲线是否也具备这样的特点？于是大家如法炮制，很快也证明了这个猜想。经过整 理归纳。性质1：椭圆（双曲线）的左（右）顶点为 A，经过右（左）焦点F 的直线与椭圆E相交于P，Q两点（P、Q与A不重合），直线AP,AQ分 别与右（左）准线I相交于M,N，贝U直线PN,QM相交于椭圆的右（左） 顶点。笔者在课后布置了配套作业中有如下题目：已知动点P到定直线I : x 8的距离与点P到定点F（2,0）的距离之比是2。（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交曲线 C于A,B两点，A,B在I上的射影分别

6、为 M,N。求证： AN与BM的公共点在X轴上。2答案：（1）乞 L 116 12（2） AN与BN的公共点Q （ 5，0）第二天课间，学生小朱与平时爱“钻牛角尖”的小周一起跑到办公室来找我：“老师，我们又有了新的发现。”2 椭圆E:笃 ab21(a0）过右焦点F的直线交椭圆于P,Q两点，P,Q两点在右准线I上的射影分别为 M,N则直线PN,直线MQ与X轴三线共点。证明：如图设|PF | m,|QM | n由椭圆第二定义：丄也匹巳 e|PM | |QN |pm | pn | e设直线PN，QM与x轴分别交于点 F , F1 2PF I |ft | m n| PQ | I 1 I e( m n)同理|FT2|冲T1，T2两点重合。即直线 PN,QM与X轴交于一点。我大加赞扬，再给他们一个任务：看看双曲线与抛物线有无类似情况？ 再过一天，他俩高兴地说：都解决了。我们经过讨论，综