正态分布的概念及应用

1、丹寨民族高级中学丹寨民族高级中学普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书人教人教A版选修版选修 主要内容主要内容一一、课程目标课程目标二、二、创设情境创设情境三、三、知识建构知识建构四、四、应用示例应用示例五、五、体验高考体验高考六、六、课堂小结课堂小结七、七、课堂作业课堂作业八、数学趣苑八、数学趣苑九九、封底、封底【教学重点教学重点】【教学目标教学目标】【教学难点教学难点】【教学手段教学手段】多媒体电脑与投影仪多媒体电脑与投影仪正态分布曲线的特点；正态分布曲线的特点；正态分布曲线所表示的意义正态分布曲线所表示的意义了解了解正态分布曲线的特点；正态分布曲线的特点；在实际中什么样的随

2、机变量服从正态分布在实际中什么样的随机变量服从正态分布正态分布曲线所表示的意义正态分布曲线所表示的意义了解了解正态分布曲线所表示的意义正态分布曲线所表示的意义25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.4225.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.4325.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.3625.38 25.31 25.43 25.40 25.38 25.37 25.4425.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.

3、50 25.3725.35 25.32 25.45 25.40 25.43 25.54 25.3925.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.3725.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.4625.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.3225.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.3525.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.4025.37 25.33 25.4

4、0 25.35 25.41 25.37 25.47 25.3925.42 25.47 25.38 25.39 某钢铁加工厂生产内径为某钢铁加工厂生产内径为25.40mm25.40mm的钢管的钢管, ,为了为了检验产品的质量检验产品的质量, ,从一批产品中任取从一批产品中任取100100件检测件检测, ,测测得它们的实际尺寸如下得它们的实际尺寸如下: :( (一一) )创设情境创设情境1 1列出频率分布表列出频率分布表 100件产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535产品内径尺寸产品内径尺寸/ /mm频率频率组距组距25.26525.325

5、25.38525.44525.50525.565o2468频率分布直方图频率分布直方图200件产品尺寸的频率分布直方图产品内径尺寸产品内径尺寸/ /mm频率频率组距组距o2468产品内径尺寸产品内径尺寸/ /mm频率频率组距组距o2468样本容量增大时样本容量增大时频率分布直方图频率分布直方图正态曲线 可以看出可以看出, ,当样本容量无限大当样本容量无限大, ,分组的组距分组的组距无限缩小时无限缩小时, ,这个频率直方图上面的折线就会无这个频率直方图上面的折线就会无限接近于一条光滑曲线限接近于一条光滑曲线-正态曲线正态曲线. . 这个试验是英国科学家这个试验是英国科学家高尔顿设计的高尔顿设计的

6、,具体如下具体如下:在一在一块木板上块木板上,订上订上n+1层钉子层钉子,第第1层层2个钉子个钉子,第第2层层3个钉子个钉子,第第n+1层层n+2个钉子个钉子,这些钉子这些钉子所构成的图形跟杨辉三角形所构成的图形跟杨辉三角形差不多差不多.自上端放入一小球自上端放入一小球,任任其自由下落其自由下落,在下落过程中小在下落过程中小球碰到钉子时球碰到钉子时,从左边落下的从左边落下的概率是概率是P,从右边落下的概率是从右边落下的概率是1- -P,碰到下一排也是如此碰到下一排也是如此.最最后落入底板中的某个格后落入底板中的某个格.下面下面我们来试验一下我们来试验一下:( (一一) )创设情境创设情境2 2

7、1. 正态分布的定义正态分布的定义如果对于任何实数如果对于任何实数ab,随机变量随机变量 X 满足满足则称则称X的分布为的分布为正态分布正态分布(normal distribution).正态分布正态分布常记作：常记作：2( ,N ) ). .,()( )baP aXbx dx 随机变量随机变量 X服从服从正态分布正态分布,则记为则记为2( ,XN ) ). .（1）当 = 时,函数值为最大.(3) 的图象关于 对称.（2） 的值域为 （4）当 时 为增函数.当 时 为减函数.)(xf)(xfxxx)(xf)(xf正态密度曲线的图像特征（，（，+）01 2-1-2x-33X= 正态曲线22()

8、21( )2xf xe =21, 0(x)(Rx(1)(1)曲线在曲线在x x轴上方轴上方, ,与与x x轴不相交轴不相交. .(2)(2)曲线关于直线曲线关于直线x=x=对称对称. .(3)(3)在在x=x=时位于最高点时位于最高点. .(4)(4)当当xxx时时, ,曲线下降曲线下降. .并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x x轴为渐近线，向它无限靠近。轴为渐近线，向它无限靠近。0.512一定O正态曲线的性质正态曲线的性质(1)非负性：非负性：曲线曲线 在轴的上方在轴的上方,与与x轴轴不相交不相交( (即即x轴是曲线的渐近线轴是曲线的渐近线).).(2

9、)定值性定值性:曲线曲线 与与x轴围成的面积为轴围成的面积为1,( )x ,( ) x (3)对称性：对称性：正态曲线正态曲线关于直线关于直线 x= =对称，对称，曲线成曲线成“钟形钟形”(4)(4)单调性：单调性：在在直线直线 x= =的左边的左边, 曲线是上升的曲线是上升的; ;在在直线直线 x= =的右边的右边, 曲线是下降的曲线是下降的. .2.2.正态曲线的性质正态曲线的性质(5)(5)当当一定时，一定时， 曲线的形状由曲线的形状由确定。确定。越越大，曲线越大，曲线越“扁平扁平”，表示总体的分布越分，表示总体的分布越分散；散；越小，曲线越越小，曲线越“尖陡尖陡”，表示总体的，表示总体

10、的分布越集中分布越集中0.512一定一定O正态曲线的性质正态曲线的性质221( ),R2xf xex知识点四：标准正态曲线知识点四：标准正态曲线其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态总体总体N N（0 0，1 1）在正态总体的研究中占有重）在正态总体的研究中占有重要地位。任何正态分布的问题均可转化成要地位。任何正态分布的问题均可转化成标准总体分布的概率问题标准总体分布的概率问题。当当0 0，1 1时，正态总体称为标准正时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表达式是态总体，其相应的函数表达式是, 2 ,2 3,30.68260.95440.99743.

11、33. 3个特殊结论个特殊结论若若, ,则则2( ,)XN 4. 3原则原则正态总体几乎总取值于区间正态总体几乎总取值于区间 之内之内,而在此区间以外取值的概率只有而在此区间以外取值的概率只有0.26,通通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 3 ,3 在实际应用中在实际应用中，通常认为服从于正态分布通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量只取的随机变量只取 之间的之间的值，并称为值，并称为3原则原则 2 2 3 3 3 ,3 例例1.若若XN(5,1),求求P(6X7).(课本课本P.P.8686B2)B2)解解: :因为因为X XN(5,1)

12、,N(5,1),5,1. 又因为正态密度曲线关于直线又因为正态密度曲线关于直线 x=5 =5 对称对称, ,1(57)(37)2PxPx 10.95440.4772,2 1(56)(46)2PxPx 10.68260.3413,2 (67)(57)(56)PxPxPx 0.47720.34130.1359. 1(5 2 15 2 1)2Px 例例2.2.在某次数学考试中在某次数学考试中, ,考生的成绩考生的成绩X X服从正态服从正态分布分布X XN(90,100).(1)N(90,100).(1)求考试成绩求考试成绩X X位于区间位于区间(70,110)(70,110)上的概率是多少上的概率是

13、多少?(2)?(2)若此次考试共有若此次考试共有20002000名考生名考生, ,试估计考试成绩在试估计考试成绩在(80,100)(80,100)间的间的考生大约有多少人考生大约有多少人? ?解解: :依题意依题意,X,XN(90,100),N(90,100),90,10. (70110)PX (22 )0.9544.PX (80100)PX ()0.6826.PX 即考试成绩在即考试成绩在(80,100)(80,100)间的概率为间的概率为0.6826.0.6826.考试成绩在考试成绩在(80,100)(80,100)间的考生大约有间的考生大约有2000 0.68261365. 归纳小结 3

14、 正态曲线的性质（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线关于直线x=对称.（3）曲线在x=时位于最高点.（4）当 x时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近.(5)当一定时，曲线的形状由确定 .越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 【1】某校高三男生共】某校高三男生共1000人，他们的身人，他们的身高高X(cm)近似服从正态分布近似服从正态分布 ,则则身高在身高在180cm以上的男生人数大约是以上的男生人数大约是（ B ） 683 B.159 C.46 D.317(176,16)N xyo 从从200

15、32003年以来年以来山东山东卷连续五年在高考卷连续五年在高考中没有考查正态分布中没有考查正态分布.07年有四套卷子考查了年有四套卷子考查了正态分布，正态分布，安徽卷第安徽卷第10题、湖南卷第题、湖南卷第5题、浙题、浙江卷第江卷第5题和全国卷（题和全国卷（）第）第14题题. 高考对正态分布的考查以选择题、填空题高考对正态分布的考查以选择题、填空题为主为主.主要题型有主要题型有:(1) 求正态总体在一个区间上的概率求正态总体在一个区间上的概率(共有共有=36=36种情况种情况)(2)考查对正态分布的定义考查对正态分布的定义,性质的理解性质的理解.(3)解答题解答题(06湖北湖北).29Cxyo

16、这说明成绩在这说明成绩在90分以上分以上(含含90分分)的学生人数的学生人数约占全体参赛人数的约占全体参赛人数的2.28,因此因此, 参赛总人数约参赛总人数约为为解解:()设参赛学生的分数为设参赛学生的分数为 ,【4】(2006湖北湖北)在某校举行的数学竞赛中在某校举行的数学竞赛中,全体参全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70,100).N1(5090)2P1(|70| 20)2PX1 0.954420.0228.0228. 012P(90)1P(90)526（人）（人）.()试问此次参赛的学生总数约为多少人？试问此次参赛的学生总数约为多少人？已知成绩在已知成绩在90分以上分以上(含含90分分)的学生有的学生有12名名.因为因为(70,100)N ,由条件知，由条件知，222)(21)(xexf),(x1. 正态分布的定义正态分布的定义3. 正态曲线的性质正态曲线的性质2.2.正态曲线正态曲线(1)非负性非负性 (2)定值性定值性 (3)对称性对称性(4)单调性单调性 (5)最值性最值性 (6)几何性几何性.4. 3原则原则学案学案：P.19-20作业作业:学案学案 P.19 8(1)课本课本：P.38 A4 正态分