弹簧质量阻尼系统模型

1、弹簧质量阻尼系统模型自动控制原理综合训练项目题目：关于MSD系统控制的设计目录1设计任务及要求分析 51.1 初始条件 51.2 要求完成的任务 61.3 任务分析 72系统分析及传递函数求解 71.1 系统受力分析 71.2 传递函数求解 131.3 系统开环传递函数的求解133 .用MATLAB寸系统作开环频域分析 143.1 开环系统波特图 143.2 开环系统奈奎斯特图及稳定性判断.164 .系统开环频率特性各项指标的计算 19总结 21参考文献 22弹簧-质量-阻尼器系统建模与频率特性分析1设计任务及要求分析1.1初始条件已知机械系统如图。/NN/Vb2MWVkik2IPX图 1.1

2、 机械系统图1.2 要求完成的任务(1) 推导传递函数 Y(s)/X(s), X(s)/P(s),(2) 给定 m = 0.2g,b2 =0.6Ns/m,ki =8N/m,k2=5N/m,以 p 为输入u(3) 用Matlab画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据 分析系统的稳定性。(4) 求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。(5) 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含 Matlab源程序或Simulink仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写1.3 任务分析由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出

3、的机械系统进 行受力分析，列出相关的微分方程，对微分方程做拉普拉斯变换， 将初始条件中给定的数据代入，即可得出 Y(s)/X(s), X(s)/P(s)两 个传递函数。由于本系统是一个单位负反馈系统，故求出的传递函 数即为开环传函。后在MATLAB中画出开环波特图和奈奎斯特图， 由波特图分析系统的频率特性，并根据奈奎斯特判据判断闭环系统 位于右半平面的极点数，由此可以分析出系统的稳定性。最后再计 算出系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定 性能。2系统分析及传递函数求解2.1系统受力分析单自由度有阻尼振系的力学模型如图 2-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器以物体的平衡位置0为原点

4、，建立图示坐标轴x。则物体运动微分方程为mx = cx kx式中：-cx为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反2-1将上式写成标准形式，为(2-1)(2-2)mx cx kx = 0令p2= - , 2n=-,则上式可简化为 m m_2x 2nx p = 0(2-3)这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取x = est,其中s是待定常数。代入(2-1)式得(s2+2ns + p2)est=0,要使所有时间内上式都 能满足，必须s2 +2ns + p2 =0 ,此即微分方程的特征方程，其解为一22si,2 = -n 工 n p(2-4)于是微分方程(2-1)的通解为2 2 2.2 2.xn

5、cies1 +c2es2 =e“(Cie，” 十%3 = “ )(2-5)式中待定常数C1与C2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式Jn2 - p2是实数、零、还是虚数。对应的根 S1与S2可以是不相等的负实根、相 等的负实根或复根。若S1与S2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系 数，记为cc,即cc=2mp。引进一个无量纲的量。，称为相对阻尼系数或阻尼比。=n / p = c/ 2mp = c / cC(2-6)当n邛或二1,根式Y n2 - p2是实数，称为过阻尼状态，当 np或二1,根式行二是虚数，称为弱阻尼状态，当 n = p,即，=1,称为临界阻尼状态。现分别讨论三

6、种状态下的运动特性。1.1 阻尼状态止匕时二1,即Jn2 - p2 n , (b)式中S1及S2均为负值，则es1t及es2t是两根下降的指数曲线，故(2-2)式所表示的是两条指数曲线之和，仍按指数衰减，不是振动。图 3-2所示为ClC2,Cln,或二eJt之内随时间不 断衰减的衰减振动。如图3-3所示。力.一j图2-3这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为(2-15)Pd =4p2 -n2 =PS-，2 (2-14)= f .1 _ 22 二 2 二 11T P2 -n2P.1-2.1- 2 式中P、f、T是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。由上可见，阻尼对自由振动的影响有

7、两个方面：一方面是阻尼使自由振动 的周期增大、频率减小，但在一般工程问题中n都比P小得多，属于小阻尼的情况。例，=n/p=0.05 时，fd=0.9990f, Td=1.00125T;而在，=0.20 时，fd=0.98f, Td=1.02T,所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略 去不计，即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与无阻尼自由振动的 频率和周期相等。另一方面，阻尼对于系统振动振幅的影响非常显著，阻尼使 振幅随着时间不断衰减，其顺次各个振幅是：t=ti时，Ai=Ae-nti; t=ti+Td时，A2=AeJ(t1d); t=ti+2Td时，A3=Ae,.。而

8、相邻两振幅之比是个常数。 即(2-i6)=Aj /Aj 1 = enTd式中”称为减幅系数或振幅衰减率，n称为衰减系数，n越大表示阻尼越大，振 幅衰减也越快。当 ，=0.05时，i.37, A2=Ai/i.37=0.73Ai,每一个周期内振幅减少27%,振幅按几何级数衰减，经过i0次振动后，振幅将减小到初值的 4.3%。可见，衰减是非常显著的。在工程上，通常取(2-6)式的自然对数以避 免取指数的不便，即(2-i7)(2-i8)、=Ln(Aj/Aj 1)=nTd式中6称为对数减幅或对数衰减率。将Td =2n/Jp2 -n2代入,得=2 ：n/ , p2 -n2 =2二 / , 1 - 2当 ，

9、 num=5;den=(0.6,5); margin(num,den)特性运行结果如图3-1%画系统的开环对数幅频、相频ffipjmLBOHde DigrsmGm Inf. Rfl - -180 deg (st 0 rad/s)10T10101010Frequencynd/幻图3-1 Y(s)/X(s)的开环波特图(2)对于 X(s)/P(s):G(s)=画波特图时采用的MATLAB语句如下:)； margin(num,den)特性运行结果如图3-2所示:%画系统的开环对数幅频、相频 num=0.6,5;den=(mp)若鹏F3od DiagnfnGrr - Inf dB (at hf rad

10、Js) , Pm工 IS 了 dq 3俯值心)esELLioTio1idi&3iaFrequency (rad/s)图3-2 X(s)/P(s)的开环波特图3.2 开环系统奈奎斯特图及稳定性判断(1)对于 Y(s)/X(s)画奈奎斯特图时 MATLAB语句如下： num=5; den=0.6,5; nyquist(num,den)运行结果如图3-3所示:虫至己m匚粉巴后一Jyqu!3t 旧 gi日 rr*0 6-0 44200 2 G4 0EReal Ans5- 4 3 D.D.O.图 3-3Y (s) /X (s)开环奈奎斯特图开环传函()，由于系统开环传递函数不存在右半平面的极点，故P=0

11、,从 变到 时，系统的开环幅相曲线不能包围 (-1, j0)点周数N=0,则系统位于右半平面的闭环极点数为:Z=P-2N=0,故系统是稳定的。(2)对于 X(s)/P(s)画奈奎斯特图时 MATLAB语句如下： num=0.6,5;； den= nyquist(num,den)运行结果如图3-4所示:&望 AJRUmraL=Il qn 5t Zisgrsr-0.5 D asRea Aais图 3-4X (s) /P (s)开环奈奎斯特图开环传函G(s)=,由于系统开环传递函数不存在右半平面的极点，故P=0,从变到 时，系统的开环幅相曲线不能包围(-1,j0)点周数N=0, 则系统位于右半平面的

12、闭环极点数为：Z=P-2N=0,故系统是稳定的。4 .系统开环频率特性各项指标的计算(1)对于 Y(s)/X(s):()计算各项频率指标时采用的 MATLAB语句如下： num=5;den=(0.6,5); margin(num,den); gm,pm,wcg,wcp=margin(num,den)计算幅值裕度gm(卜相位裕度pm ()、穿越频率wcg(卜截止频率 wcp( )。运行结果gm =Infpm =180wcg =NaNwcp =0由结果可知该系统幅值裕度为无穷，截止频率为0,相位裕度为180是正值，故系统稳定(2)对于 X(s)/P(s) :G(s尸计算各项频率指标时采用的MATL

13、AB语句如下： num=0.6,5;den=(1.2*10A-4,10A-3,10.8,40) margin(num,den); gm,pm,wcg,wcp=margin(num,den)计算幅值裕度gm(卜相位裕度pm ()、穿越频率wcg(卜截止频率 wcp( )。运行结果gm =Infpm =15.6933wcg =Infwcp =307.8588308rad/s,相位未&度为15.7是由结果可知该系统幅值裕度为无穷，截止频率为 正值，故系统稳定。总结本次课设是对一个弹簧-质量-阻尼器系统建模并进行频率特性 分析。首先根据这个实际的机械系统的受力分析得出它的受力微分 方程，对其进行拉普拉

14、斯变换，可以得出传递函数。在求开环传递 函数的过程中我遇到了一些困难，在老师的指点和同学的帮助下我 发现自己其实把问题想得过于复杂了，原来这是一个单位负反馈的 稳定系统，求出的传递函数即为开环传函。接下来便是MATLAB的应用，利用 MATLAB可以轻松地对系统做出频率特性分析，画 出Bode图和奈奎斯特图，并通过奈奎斯特判据判断闭环系统的稳 定性。也可以利用 MATLAB语句直接求出各项频率特性指标，从 而可以进一步对系统做出分析，完成既定目标。通过本次课设，加强了我对 MATLAB程序的应用能力，这是 一款功能强大而又实用性很强的程序，对于我们专业的学习有着很 强的帮助性；另一方面也加强了我对课本理论知识的理解，通过 MATLAB 的分析也印证了平时自己学习理论知识时所用分析方法的正确性。最后通过本次课设也提高了我个人独立思考、查阅资料 和解决问题的能力，使我受益匪浅参考文献1王子才.控制系统设计手册.北京：国