代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用课件VIP

1、代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用第一章 代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用直接法间接法直接法间接法N3二分法弦截法插值法牛顿迭代法GaussGauss消去法消去法Gauss-Seidel迭代法代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用例：压力对化学反应中反应物平衡转化率的影响例：压力对化学反应中反应物平衡转化率的影响任何气相化学反应 达平衡时有B0B 0BBAB = CD abcdBB0/(1)(1)()()()nmolaxbxcx dxa b c d xa bx n 起始nB,0/mol a b 0 0平衡nB/mol a(1-x) b(1-x) cx dx1-1-11 二分法问

2、题的提出代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用温度一定，K0为常数， 平衡时，K0与总压p之间关系为：B)(BpnpKKn即BB00B0B()()() (1) (1)/()(1)cdabcdcda babcxdxpKaxbxn pxcdppxabn令BBB()()cdabSRabSPcdcdKNab 反应物产物上式整理为：KNppnKxxSRSP/)/()1 (BB01-1-11 二分法问题的提出代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用令0/)/()1 ()(BBKNppnKxxxFSRSP此方程为含x的高次方程，x:0.01.0之间 用二分法1-1-11 二分法问题的提出代数方程及代数方程

3、组的求解在化学中的应用有函数有函数f(x)=0，求在区间，求在区间a,b内的实根。内的实根。设：设：函数函数f(x)在区间在区间a,b内连续。内连续。 函数在函数在a、b两点之值两点之值f(a)与与f(b)异号，说明在异号，说明在 区间区间a,b中至少有一实根。中至少有一实根。abx0 x1可得一系列区间套：可得一系列区间套：),(),(),(),(1111babababannnn它们必须满足：它们必须满足：nnnnnababbfaf20)()(xyf(x)x21-1-12 二分法方法原理代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用1.取x的初值 计算函数f(x0)值，若| f(x0) |EPS，

4、计算并比较函数值，取与f(x0)异号的区间为新的区间，（可能为x0,b或a,x0），如图）aa,x0 x0,bbx0（EPS取10-5）EPSabnn判据：判据：1-1-12 二分法方法原理（ ）代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用A1=A B1=B F0=F(A)X=(A1+B1)/2 F=F(X)A1=X RETURNHALF(A,B,EPS,F,X)F=0F0*F0noB1=X|(B1-A1)/X|EPSyesnoyesyesno改进的二分法：将区间a,b划分成若干小区间1-1-13 二分法 程序框图代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用开始输入：M,N(I),K0,P计算SR,S

5、P,KNA=0.0 B=1.0 A1=A B1=B F1=F(A1) F2=F(B1)调用二分法子程序二分法子程序求解方程F0，解出转化率x输出：转化率x结束定义函数SN，F=F(x)显示程序显示程序1-1-14 二分法应用示例代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用计算反应 )(NH)(H23)(N21322ggg在773K时，不同压力下的平衡转化率，结果如下：（已知773K时反应平衡常数K0=0. 3007）p/MPa转化率转化率x0.10.9865475.00.99809710.00.99865530.00.9992231-1-14 二分法应用示例代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用

6、例：已知醋酸例：已知醋酸HAc浓度为浓度为c的溶液，求其的溶液，求其pH。解：解：HAc稀溶液中存在：稀溶液中存在：质量平衡：质量平衡：电荷平衡：电荷平衡：将将Ac-，HAc代入（代入（1）将将OH-=Kw/H+代入（代入（3）解上述方程得解上述方程得H+Newton-Raphson迭代法1-1-21代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用Newton-Raphson迭代法有非线性有非线性N次方程式次方程式 在在x=x0- 0附近附近进行泰勒（进行泰勒（Taylor）级数展开）级数展开 （1） f (x)有明确表示式且容易计算有明确表示式且容易计算（2）容易确定根的初值）容易确定根的初值x0忽

7、略二阶以上的忽略二阶以上的 0误差项误差项Newton法适用条件法适用条件n次迭代次迭代 Newton公式公式1-1-22代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用（EPS取10-5） 判据：判据： 几何意义：切线法xyy=f(x)x0 x1x2x*P Newton-Raphson迭代法1-1-22代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用Newton-Raphson迭代法FX=F(X0) GX=G(X0)X=X0-FX/GXRETURNNEWN(X0,EPS,F,G,X)|(X-X0)/X|EPSyesnoX0=X 改进：1.一阶导数不便计算时，用差商代替导数 2.引进比例因子，便于收敛1-1-

8、23代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用 Newton-Raphson迭代法)(23)()()(w2ww23KcKxKxxfKKxKcKxKxxfaaaaa设H+ =x：输入C,KA,KW,EPS 开始计算初值acKx 0调用Newton法子程序计算X 计算pH=-lgx输出H +,pH结束初值：acKx 0显示程序显示程序1-1-24代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用例例2：已知：已知300K-500K之间，甲苯胺的饱和蒸汽压计算公式为之间，甲苯胺的饱和蒸汽压计算公式为TTplg081. 5/3 .34808369.23lg其中，其中，p为压力为压力/kpa，T为温度为温度/K ，

9、试求甲苯胺的正常沸点。，试求甲苯胺的正常沸点。解：按题意，将 p=101.325kPa代入上述方程：0lg081. 5/3 .34808239.21)(TTTf则TTTf/2067. 2/3 .3480)(2初值：T0=300K Newton-Raphson迭代法1-1-24代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用输入p =101.325kPa开始 初值T0=300K调用Newton法子程序计算T输出T结束 Newton-Raphson迭代法1-1-24代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用例：质谱法测定多组分混合物中组分含量背景 质谱法：质谱法：通过将样品转化为运动的气态离子并按质通过将样

10、品转化为运动的气态离子并按质荷比荷比(me或或 mz)大小进行分离记录的分析方法。所大小进行分离记录的分析方法。所得结果即为质谱图得结果即为质谱图(亦称质谱，亦称质谱，Mass spectrum)。主要应用：主要应用：鉴定复杂分子并阐明其结构、确定元素的鉴定复杂分子并阐明其结构、确定元素的同位素质量及分布等。同位素质量及分布等。 1-2-1-1 Gauss消去法（列主元）代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用对于一定质荷比（m/e）：), 2 , 1(1nipsrHnjjjijiHi：混合物样品中第i个 峰高pj：组分j的分压sj：组分j的灵敏度因子rij：组分j形成的第i种离子 的相对含量

11、已知sj rij Hi ，得PRSHniprsHnjjiji)(), 2 , 1()(1即解方程组解方程组 H(RS)P ,得各组分的分压得各组分的分压pj由式：由式：njjjjppm1/100得混合物中各组分的含量得混合物中各组分的含量mj 1-2-1-1 Gauss消去法（列主元）代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用线性方程组：BAX 基本思想： 用行的初等变换，逐次消去未知数的方法， 把原来的方程组AX=B，化为与其等价的上三角方程组。nnnnnnnnbbbxxxaaaaaaaaa2121212222111211 1-2-1-2 Gauss消去法（列主元）代数方程及代数方程组的求解在

12、化学中的应用例：求下列方程组的根72452413221321321xxxxxxxx解：增广矩阵为：第1步消元321AAA133122111112/BABBABaAB第2步消元23322225 . 1/CBCbBC第3步消元3333/cCD 代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用x3x3 ,x2x2x1 回 代步骤：)1()1(maxkiknikklkaa 1-2-1-2 Gauss消去法（列主元）代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用2.2.消元消元增广矩阵：第1步第k步第n步 1-2-1-2 Gauss消去法（列主元）代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用公式：)()1()1()()1

13、()1()(/kkjkikkijkijkkkkkjkkjaaaaaaakinkkikjnkkjnk, 2, 11, 2, 1, 2 , 13.3.回代回代1 , 2, 11)()(1,)(1,nnixaaxaxnijjnijnniinnnn 1-2-1-2 Gauss消去法（列主元）代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用GS(A,N,M,EPS)Do K=1,N ,L=K,N,J=K,MK)MAX(A(I,K)A(L,A(L,K)MAXITRETURNnoyesyesyes1)(KI(K)IXXnono 1-2-2-3 GaussSeidel迭代法代数方程及代数方程组的求解在化学中的应用开始输入：物质名称 给定不同波长下各纯物质及混合物的摩尔吸光度Eij,Ai,即为线性方程组的系数A(N,M)；MN1 选主元精度EPS 调用GaussSeidel迭代法子程序子程序求解线性方程组ECA计算混合物中各组分的浓度Cj输出：混合物中各组分的浓度Cj结束显示程序显示程序显示输出显示输出 1-2-2-4 GaussSeidel迭代法代数方程及代数方程组的求