北京邮电大学高等数学课件

1、北京邮电大学高等数学北京邮电大学高等数学设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的有界上的有界函数，将闭区域函数，将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1v ，2v , ,nv ，其中，其中iv 表示第表示第i个小闭区域，也个小闭区域，也表示它的体积表示它的体积, , 在每个在每个iv上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并作和，并作和, ,如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(zyxf在闭区域

2、在闭区域上的上的三重积分三重积分，记为，记为 dvzyxf),(, ,一、三重积分的定义一、三重积分的定义北京邮电大学高等数学即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 的的平平面面来来划划分分用用平平行行于于坐坐标标面面在在直直角角坐坐标标系系中中，如如果果.lkjizyxv 则则三三重重积积记记为为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .积积元元素素叫叫做做直直角角坐坐标标系系中中的的体体其其中中dxdydz北京邮电大学高等数学直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、三重积分

3、的计算二、三重积分的计算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz北京邮电大学高等数学函函数数，则则的的只只看看作作看看作作定定值值，将将先先将将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区间间计计算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDdd

4、zzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得北京邮电大学高等数学 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意于两点情形于两点情形相交不多相交不多的边界曲面的边界曲面直线与闭区域直线与闭区域内部的内部的轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于Sz 北京邮电大学高等数学例例 1 1 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三为三次积分，其中积分区域次积分，其中积分区域 为由曲面为由曲面 222yxz 及及22xz 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影

5、影区区域域, 122 yx北京邮电大学高等数学故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI北京邮电大学高等数学例例2 2 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三为三次积分，其中次积分，其中 积分区域积分区域 为由曲面为由曲面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所围所围成的空间闭区域成的空间闭区域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如图，如图，北京邮电大学高等数学xyz例例 3 3 将将 1010022),(yxdzzyxfdydx按按xzy,

6、的的次次序序积积分分.1D： 1002yxz解解1D北京邮电大学高等数学 10100),(2dyzyxfdzdxx原原式式 1101222),(xzxxdyzyxfdzdx.2D： 11222yxzxzx2D北京邮电大学高等数学截面法的一般步骤：截面法的一般步骤：(1) 把积分区域把积分区域 向某轴向某轴（例如（例如z 轴）投影，得投轴）投影，得投影区间影区间,21cc；(2) 对对,21ccz 用过用过z轴且平行轴且平行xoy平面的平面去平面的平面去截截 ，得截面，得截面zD;(3) 计算二重积分计算二重积分 zDdxdyzyxf),( 其结果为其结果为z的函数的函数)(zF；(4)最后计算

7、单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积分值即得三重积分值.z北京邮电大学高等数学例例 4 4 计计算算三三重重积积分分 zdxdydz，其其中中 为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面1 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域.解解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原原式式 102)1(21dzzz241 .xozy111北京邮电大学高等数学 zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111北京邮电大学高等数

8、学例例 5 5 计算三重积分计算三重积分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 椭球面椭球面1222222 czbyax所成的空间闭区域所成的空间闭区域.: ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原原式式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解北京邮电大学高等数学)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式北京邮电大学高等数学例例 6 6 计算三重积分计算三重积分dxdydzxy 21，其中，其中 由曲面由曲面221zxy ，122 zx，1

9、 y所所围成围成.将将 投投影影到到zox平平面面得得:xzD 122 zx,先先对对y积积分分，再再求求xzD上上二二重重积积分分,解解如图如图,北京邮电大学高等数学 112221zxDydydxdzxxz原原式式dzzxxdxxx21221111222 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31dxxx.4528 北京邮电大学高等数学三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三、小结北京邮电大学高等数学思考题思考题 为六个平面为六

10、个平面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z围成的区域，围成的区域，),(zyxf在在 上连续，上连续，则累次积分则累次积分_ dvzyxf),(.选择题选择题:北京邮电大学高等数学;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD北京邮电大学高等数学一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所围成所围成, , 则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(化为三次积分是化为三次积

11、分是 _. .2 2、 若若 是由曲面是由曲面0( cxycz),),12222 byax, ,0 z所所围成的在第一卦限内的闭区域围成的在第一卦限内的闭区域, ,则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(可化为三次积分为可化为三次积分为_._.3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,则则 dxdydzzyx)(可化为三次积分可化为三次积分_,_,其值为其值为_._.练练 习习 题题北京邮电大学高等数学 4 4、若若 : :是是由由),0(, 0, 0 hhzzx )0(2222 aayxayx及及所所围围成成, ,则则三三重重积积 分分 dvzyxf),(可可化化为为：(

12、 (1 1) ) 次次序序为为xyz的的三三次次积积分分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .( (2 2) )次次序序为为zxy的的三三次次积积分分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . ( (3 3) )次次序序为为yzx的的三三次次积积分分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、计计算算 dxdydzzxy32, ,其其中中 是是由由曲曲面面xyz , ,与与平平 面面01, zxxy和和所所围围成成的的闭闭区区域域 . .北京邮电大学高等数学三、计算三、计算 xzdxdydz, ,其中其中 是曲面是曲面1, 0 yyzz, ,以及抛物柱面以及抛物柱面2xy 所围成的闭区域所围成的闭区域. .四、计算四、计算 dvyx221, ,其中其中 是由六个顶点是由六个顶点 ),0 , 0 , 2(),2 . 1 . 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(DCBA )4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(FE组成的三棱锥台组成的三棱锥台. .北京邮电大学高等数学一、一、1 1、 111112222),(yxxxdzzyxfdydx； 2 2、 cxyaxbadzzy