有限单元法-第三章

1、第三章第三章济南大学机械工程学院济南大学机械工程学院杆单元分析杆单元分析第三章第三章 杆系结构的有限元法杆系结构的有限元法 工程中最简单的结构可以认为是铰支的杆件，工程中最简单的结构可以认为是铰支的杆件，类似于类似于弹簧弹簧 . 弹簧系统力弹簧系统力F与弹簧伸长量与弹簧伸长量（位移）（位移）之间关系由胡克定律之间关系由胡克定律 kF k为弹簧刚度，是弹簧的固有参数；为弹簧刚度，是弹簧的固有参数；要求要求，可以采用，可以采用 Fk1第三章第三章 杆系结构的有限元法杆系结构的有限元法 复杂的复杂的铰支杆铰支杆系统，要确定系统在力系统，要确定系统在力P的作用下，结点的作用下，结点B,C,D处的变形，

2、进而求解杆件内应力和各杆所受的处的变形，进而求解杆件内应力和各杆所受的轴向轴向力力。可以类似于弹簧系统。这是刚度。可以类似于弹簧系统。这是刚度k为一个矩阵，为一个矩阵，K，各点位移采用矩阵各点位移采用矩阵，再加上矩阵，再加上矩阵F,就构成了就构成了 KF K称为对应于施加在系统上各称为对应于施加在系统上各结点力的刚度矩阵结点力的刚度矩阵 第三章第三章 杆系结构的有限元法杆系结构的有限元法 一、单个弹簧的刚度矩阵一、单个弹簧的刚度矩阵 弹簧的作用力向量和位移向量为弹簧的作用力向量和位移向量为 21FF21uu计算总的平衡方程为计算总的平衡方程为 212221121121uukkkkFF第三章第三

3、章 杆系结构的有限元法杆系结构的有限元法只有结点只有结点1 1可以变形，点可以变形，点2 2固定固定 由力的平衡为由力的平衡为 11kuFa112210kuFFFFaaaa2121-uukkkkFF只有结点只有结点2 2可以变形，点可以变形，点1 1固定固定 bbFkuF122作用于结点作用于结点1 1上的合力上的合力 babaFFFFFF222111作用于结点作用于结点2 2上的合力上的合力 杆单元：杆单元：等截面的杆件等截面的杆件 第三章第三章 杆系结构的有限元法杆系结构的有限元法桁架：桁架：当单元两端为铰接时，杆件内部只有轴向力存在。当单元两端为铰接时，杆件内部只有轴向力存在。 桁架桁架

4、的连接处可以自由转动，只承受拉压作用，内部应的连接处可以自由转动，只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。截面面积起主要作用。力为拉压应力。截面面积起主要作用。刚架：刚架：单元两端可以承受弯矩和剪力作用，即是单元两端可以承受弯矩和剪力作用，即是梁单元梁单元。采用固定连接，不能自由转动。采用固定连接，不能自由转动。 梁梁能够承受拉压、弯曲和扭转；应力大小和分布与截面能够承受拉压、弯曲和扭转；应力大小和分布与截面大小、截面形状和方位有关。大小、截面形状和方位有关。 工程上许多由工程上许多由金属构件金属构件所组成的结构，如所组成的结构，如塔式桁构支承塔式桁构支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑

5、架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等可以等可以归结为杆系结构。归结为杆系结构。 杆系结构按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为杆系结构按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平平面杆系和空间杆系面杆系和空间杆系结构。杆系结构可以由结构。杆系结构可以由杆单元、梁单杆单元、梁单元元组成组成。 (a) Liebherr塔式起重机塔式起重机 (b) Liebherr履带式起重机履带式起重机(c) 钢结构桥梁钢结构桥梁 (d) 埃菲尔铁塔埃菲尔铁塔 第三章第三章 杆系结构的有限元法杆系结构的有限元法第三章第三章 杆系结构的有限元法杆系结构的有限元法 3.1 结构离散与向量表示结构离散与向量表示 第

6、三章第三章 杆系结构的有限元法杆系结构的有限元法3.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵 3.3 坐标变换及单元刚度矩阵坐标变换及单元刚度矩阵 3.4 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 3.5 约束处理及求解约束处理及求解 3.6 计算示例计算示例 3.7 ANSYS桁架结构计算示例桁架结构计算示例3.8ANSYS刚架结构计算示例刚架结构计算示例 3.1.1 结构离散化结构离散化 由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段( ( 一根杆又分一根杆又分为几个单元为几个单元

7、 ) )作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点称为结点。称为结点。杆系结构的离散化的要点可参考如下：杆系结构的离散化的要点可参考如下： a. a. 杆件的杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承点以及沿杆长截面突变处点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。等均可设置成结点。这些结点都是根据结构本身特点来确定的。这些结点都是根据结构本身特点来确定的。 b. b. 结构中两个结点间的每一个结构中两个结点间的每一个等截面直杆等截面直杆可以设置可以设置为一个单元。为一个单元。3.1 结构离散与向量表示结构离散与向量

8、表示 第三章第三章 c. c. 变截面杆件变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段可分段处理成多个单元，取各段中点中点处的处的截面近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算。截面近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算。 d. d. 对对曲杆曲杆组成的结构，可用组成的结构，可用多段折线多段折线代替，每端折线为一代替，每端折线为一个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。 e. e. 在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结非结点载荷作用点载荷作用时，应该按照时，应该按照

9、静力等效静力等效的原则将其变换为作用在结的原则将其变换为作用在结点上的等效结点载荷。点上的等效结点载荷。(a) 结点载荷处理方式结点载荷处理方式 (b) 等效结点载荷处理方式等效结点载荷处理方式 杆系结构离散化示意图杆系结构离散化示意图 3.1 结构离散与向量表示结构离散与向量表示 第三章第三章3.1.2 坐标系坐标系 坐标系示意图坐标系示意图 为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。构坐标系或称之为整体坐标系、

10、总体坐标系。 3.1 结构离散与向量表示结构离散与向量表示 第三章第三章 作单元分析时，建立每个单作单元分析时，建立每个单元的局部坐标系，元的局部坐标系，x x方向与轴线方向与轴线方向一致。方向一致。 整体坐整体坐标系标系局部坐标系局部坐标系3.1.3 向量表示向量表示 在有限单元法中力学向量的规定为：当在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及应力线位移及应力与与坐坐标轴方向一致标轴方向一致时为时为正正，反之为负；转角位移和力矩，按，反之为负；转角位移和力矩，按右手法右手法则则定出的矢量方向若与定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致坐标轴正向相一致时为时为正正。对于任意方。对于任意方向的力学向量

11、，应分解为沿坐标轴方向的分量。向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向的分量。 刚架结构示意图刚架结构示意图 (b) (b) 结点位移和结点力分向量结点位移和结点力分向量 3.1 结构离散与向量表示结构离散与向量表示 第三章第三章 Tiiiivu Tjjjjvu结点位移结点位移列向量为列向量为 单元单元e e结点位移列向量为结点位移列向量为 Tjjjiiijieuu 结点力向量为结点力向量为 TeiiieiMVUF TejjjejMVUF单元单元e e结点力列向量为结点力列向量为 TejjjiiiejeieMVUMVUFFF3.1 结构离散与向量表示结构离散与向量表示 第三章第三章刚架梁单元刚架梁单

12、元 3.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵 3.2.1 轴向拉压杆单元的位移函数轴向拉压杆单元的位移函数 有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构的位移分布规律的数学模型的性能、能否真实反映真实结构的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性。等，直接影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性。 为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足为了保证解的收敛性，

13、选用的位移函数应当满足: a. 单元位移函数的项数，单元位移函数的项数，至少应等于单元的至少应等于单元的自由度数。自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。项，则应视单元的类型而定。第三章第三章 b. 单元的单元的刚体位移状态和应变状态刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位应当全部包含在位移函数中。移函数中。 c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的元之间的位移协调性位移协调性。 即，所谓的相邻单元在公共边界处即，所谓的相邻单元在公共边

14、界处位移连续性，单元内的位移协调性，要求位移连续性，单元内的位移协调性，要求单元之间不会出单元之间不会出现开裂也不会出现重叠现象现开裂也不会出现重叠现象。3.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵 第三章第三章 对于对于铰接杆单元铰接杆单元，在，在小变形假设小变形假设的前提下，与杆的前提下，与杆垂直方向的位移并不使杆产生应变和应力。对每个垂直方向的位移并不使杆产生应变和应力。对每个结点只需考虑一个结点位移和结点力。结点只需考虑一个结点位移和结点力。 由单元结点位移，确定待定系数项由单元结点位移，确定待定系数项 所以所以 用结点位移表示用结点位移表示 其中其中 、 分别表示当分别表

15、示当 ， 时；时； ， 时时的单元内的轴向位移状态，故称为的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数轴向位移形函数。0 xlx iuu juu iu1luuij2jjuiiuuNNxu)(lxNiu 1lxNjuiuNjuN1iu0ju0iu1ju3.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵 第三章第三章 xxu21 3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数梁单元平面弯曲的位移函数 梁单元梁单元平面弯曲平面弯曲仅考虑结点的四个位移分量仅考虑结点的四个位移分量 ， ， ， ，由材料力学知由材料力学知,各截面的转角各截面的转角: iijjxv3.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元

16、的刚度矩阵 第三章第三章 对于梁结构，一般指其横剖面尺寸远小于纵向尺寸的细长平对于梁结构，一般指其横剖面尺寸远小于纵向尺寸的细长平直柱体，主要承受垂直于中心线的横向载荷并发生弯曲变形。直柱体，主要承受垂直于中心线的横向载荷并发生弯曲变形。认为变形前垂直于梁中心线的剖面，变形后仍为平面且外廓认为变形前垂直于梁中心线的剖面，变形后仍为平面且外廓形状不变，并继续垂直于中心线，因此不存在形状不变，并继续垂直于中心线，因此不存在剪切变形剪切变形，称，称为为工程梁理论工程梁理论。 3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数梁单元平面弯曲的位移函数 梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定梁单元平面弯曲的位

17、移表达式可分为仅包含四个待定系数系数 为为 多项式多项式 为为单元结点位移条件单元结点位移条件当当 时时 ， 当当 时时 ，1234342321)(xxxxv0 xivv ixvlx jvv jxvjijijijiiilvvllvvlv2342321122133.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵 第三章第三章32233223223322112312231xlxlNxlxlNxlxlxNxlxlNjjviivjjjjviiiivNvNNvNxv)( ejjiiNNNNv0000 eNf称为形函数矩阵。称为形函数矩阵。 N3.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵

18、 第三章第三章3.2.3 单元的应力应变单元的应力应变 在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元刚架单元内任一点的轴向内任一点的轴向线应变线应变由两部分组成，即由两部分组成，即轴轴向应变向应变与与弯曲应变弯曲应变之和，其之和，其轴向应变与平面桁架轴向轴向应变与平面桁架轴向应变相同应变相同。 轴向应变为轴向应变为 弯曲应变为弯曲应变为 xulx22xvybx弯曲应变计算示意图弯曲应变计算示意图 3.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵 第三章第三章3.2.3 单元的应力应变单元的应力应变 y为梁单元任意截面上任意点至中性轴为梁单

19、元任意截面上任意点至中性轴(x轴轴)的距离。的距离。 得出平面刚架单元应变得出平面刚架单元应变 弯曲应变计算示意图弯曲应变计算示意图 22xvyxubxlxx exB则则 xllyxllylxllyxllylB232232621261641261平面刚架梁单元的应变转换矩阵平面刚架梁单元的应变转换矩阵。 B exxBEE3.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵 第三章第三章22xvybx 位移法位移法：以位移作为基本未知量，通过结点平以位移作为基本未知量，通过结点平衡方程求出结点位移，再由位移反推出各单元的内衡方程求出结点位移，再由位移反推出各单元的内力的方法。力的方法。 总结

20、有限元法：总结有限元法： 把一个结构看成是由有限个单元通过结点拼合把一个结构看成是由有限个单元通过结点拼合起来的整体，除去起来的整体，除去边界上被固定的结点边界上被固定的结点外，对可以外，对可以产生位移的各结点，利用产生位移的各结点，利用平衡条件平衡条件求出它们的位移，求出它们的位移，然后由然后由结点位移结点位移求出各求出各单元内力单元内力。 3.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵 第三章第三章3.2.4 平面刚架梁单元的刚度矩阵平面刚架梁单元的刚度矩阵 设梁单元的设梁单元的i，j结点发生虚位移为结点发生虚位移为 T*jjjiiieuu 单元内相应的虚应变应为单元内相应的虚应

21、变应为 exB*由虚功原理有由虚功原理有 dxdydzFxvxeeT*T* evedxdydzBEBTT* 由于结点虚位移由于结点虚位移 的任意性，的任意性，故上式可写成故上式可写成 e eeevekdxdydzBEBFT 上式称为局部坐标下的平面刚架单元的刚度方程。上式称为局部坐标下的平面刚架单元的刚度方程。 3.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵 第三章第三章外力功外力功内力功内力功 结构受力分析中所假设结构受力分析中所假设的从其平衡位置偏离一个的从其平衡位置偏离一个无限微小的并为约束条件无限微小的并为约束条件所容许的位移所容许的位移 dxdydzBEBkveT横截面积横

22、截面积A 横截面对形心轴横截面对形心轴z的静矩的静矩S 横截面对主惯性轴横截面对主惯性轴z的惯性矩的惯性矩I 得到四个得到四个3 3子块所组成的局部坐标系下的平面刚架梁单元的单子块所组成的局部坐标系下的平面刚架梁单元的单元刚度矩阵。元刚度矩阵。 AdydzA0AydydzSAdydzyI2 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkkkkkejjejieijeiie4602606120612000002604606120612000002223232223233.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵

23、 第三章第三章 计算相应的挠计算相应的挠度和弯矩度和弯矩 3.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵 第三章第三章(a) 梁单元梁单元i端产生单位位移端产生单位位移 (b) 梁单元梁单元j端产生单位位移端产生单位位移 (c) 梁单元梁单元i端产生单位角位移端产生单位角位移 (d) 梁单元梁单元j端产生单位角位移端产生单位角位移 平面刚架单元刚度系数的物理意义平面刚架单元刚度系数的物理意义 平面桁架的单元刚度矩阵为平面桁架的单元刚度矩阵为 lEAlEAlEAlEAkkkkkejjejieijeiie3.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵 第三章第三章(a) 杆单元

24、杆单元i端产生单位位移端产生单位位移 (b) 杆单元杆单元j端产生单位位移端产生单位位移 平面桁架单元刚度系数的物理意义平面桁架单元刚度系数的物理意义 空间刚架单元每个结点有空间刚架单元每个结点有6个位移分量，其单元结点个位移分量，其单元结点位移列向量位移列向量 Tjzjyjxjjjiziyixiiijiewvuwvu 空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是1212的。的。 3.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵 第三章第三章空间桁架单元每个结点有空间桁架单元每个结点有3个位移分量，其单元结点位移个位移分量，其单元结点位移列向量列向量 Tjjji

25、iijiewuwu 00000000000000000000000000000000lEAlEAlEAlEAkkkkkejjejieijeiie 空间桁架局部坐标下的单元刚度矩阵是空间桁架局部坐标下的单元刚度矩阵是663.2.5 单元的刚度矩阵的性质单元的刚度矩阵的性质 a. 单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与单元的横截面积仅与单元的横截面积A、惯性矩、惯性矩I、单元长度单元长度l、单元的弹、单元的弹性模量性模量E有关。有关。 b. 单元刚度矩阵是一个单元刚度矩阵是一个对称阵对称阵。在单元刚度矩阵对。在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置

26、上的两个元素数值相等，即，根据是角线两侧对称位置上的两个元素数值相等，即，根据是反力互等定理。反力互等定理。 c. 单元刚度矩阵是一个单元刚度矩阵是一个奇异阵奇异阵。 d. 单元刚度单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的的物理意义物理意义。3.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵 第三章第三章3.3 坐标变换及单元刚度矩阵坐标变换及单元刚度矩阵 3.3.1 坐标变换坐标变换-适应于倾斜杆的分析适应于倾斜杆的分析 在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向量列向量 可分别表示成可分别表示成 Tjjj

27、iiiejeievuvu TjjjiiijieMYXMYXFFF (a) 向量转换分析向量转换分析 (b) 向量转换向量转换 sincosiiivuucossiniiivuvii第三章第三章iiiiiivuvu1000cossin0sincos对于梁单元，则有对于梁单元，则有 jjjiiijjjiiivuvuvuvu1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos可简写为可简写为 eeT3.3 坐标变换及单元刚度矩阵坐标变换及单元刚度矩阵 第三章第三章 同理同理 eeFTF -平面刚架梁单元的从局部坐标系向整体坐标系的转换矩阵。平面刚架梁

28、单元的从局部坐标系向整体坐标系的转换矩阵。 T 1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosT整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的单元刚度矩阵 eeeeeeekTkTTkTFT1 式中式中 整体坐标下的单元刚度矩阵。整体坐标下的单元刚度矩阵。 ek TTkTkee 和和 一样，一样， 为对称阵、奇异阵。为对称阵、奇异阵。 ek ek3.3 坐标变换及单元刚度矩阵坐标变换及单元刚度矩阵 第三章第三章3.4 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 3.4.1 整体刚度矩阵的建立整体刚度矩阵的建立 整体刚度矩阵也称之为结构刚度矩阵或总体刚度整体刚度矩

29、阵也称之为结构刚度矩阵或总体刚度 矩矩阵。整体刚度矩阵的求解是建立在结构平衡条件的基阵。整体刚度矩阵的求解是建立在结构平衡条件的基础之上，础之上， 因此研究对象以整体坐标系为依据。因此研究对象以整体坐标系为依据。 载荷向量示意图载荷向量示意图 刚架结构，其结点载荷列向量分别为刚架结构，其结点载荷列向量分别为 T111. 1MPPPyx T2212. 2MPPPyx T3333MPPPyx T444. 4MPPPyx第三章第三章结点载荷列向量结点载荷列向量 T4321PPPPP T444333222111MPPMPPMpPMPPPyxyxyxyx结点位移列向量结点位移列向量 T4321 T444

30、333222111vuvuvuvu对于结点对于结点1对于结点对于结点2对于结点对于结点3对于结点对于结点4111111111MPPMYXyx 111PF222222222121212MPPMYXMYXyx 22212PFF333333333232323MPPMYXMYXyx 33323PFF444343434MPPMYXyx 434PF建立建立结点结点平衡平衡条件条件方程方程式式 3.4 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 第三章第三章用分块矩阵的形式，建立杆端内力与结点位移的关系式。用分块矩阵的形式，建立杆端内力与结点位移的关系式。对于单元对于单元1 1有有 简写为简写为 单元单元1 1的刚度矩阵的刚

31、度矩阵 关系式展开为关系式展开为 211221211121111211kkkkFF 111kF 1221211121111kkkkk21221121122112111111kkFkkF3.4 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 第三章第三章对于单元对于单元2有有 简写为简写为 单元单元2的刚度矩阵的刚度矩阵 关系式展开为关系式展开为 322332322232222322kkkkFF 222kF 2332322232222kkkkk32332232232223222222kkFkkF3.4 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 第三章第三章对于单元对于单元3有有 简写为简写为 单元单元3的刚度矩阵的刚度矩阵 关系式展

32、开为关系式展开为 433443433343333433kkkkFF 333kF 3443433343333kkkkk43443343344334333333kkFkkF3.4 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 第三章第三章 单元刚度矩阵由单元刚度矩阵由22的子矩阵组成，的子矩阵组成， 每个子矩阵是每个子矩阵是33的方阵。的方阵。 的上角标表示单元编号，下角标表示单元的上角标表示单元编号，下角标表示单元j端单位端单位位移所引起的位移所引起的i端相应力。端相应力。 将杆端内力与结点位移关系式代入结点的平衡条件方程将杆端内力与结点位移关系式代入结点的平衡条件方程式中，经整理得：式中，经整理得： eijk43

33、214321344343334333233232223222122121112111000000PPPPkkkkkkkkkkkk简写为简写为 PK 结构原始平衡方程结构原始平衡方程 344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkkK为整体刚度矩为整体刚度矩 阵。阵。 K3.4 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 第三章第三章3.4.2 整体刚度矩阵的集成整体刚度矩阵的集成 整体刚度矩阵是由在整体坐标系下，矩阵按照结点编号整体刚度矩阵是由在整体坐标系下，矩阵按照结点编号的顺序组成的行和列的原则，将全部单元刚度矩阵扩展成的顺序组成的行和列的原则，将

34、全部单元刚度矩阵扩展成n nn n方阵后对号入座叠加得到。方阵后对号入座叠加得到。 对于单元对于单元1 1 0000000000001221211121111kkkkK对于单元对于单元2 2 0000000000002332322232222kkkkK对于单元对于单元3 3 34434333433330000000000000kkkkK单元刚度矩阵集成得出整体刚度矩阵单元刚度矩阵集成得出整体刚度矩阵 34434333433323323222322212212111211132100000043214321kkkkkkkkkkkkKKKK结点编号3.4 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 第三章第三章3.

35、4.3 整体刚度矩阵的性质整体刚度矩阵的性质 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 中位于主对角线上的子块中位于主对角线上的子块 ，称为主子，称为主子块，其余块，其余 为副子块。为副子块。 a. 中主子块中主子块 由结点由结点i的各相关单元的主子块扩展之后的各相关单元的主子块扩展之后叠加求得，叠加求得， 即即 b. 当结点当结点i、 j为单元为单元e的相关结点时，的相关结点时， 中副子块中副子块 为该为该单元单元e相应的副子块，即相应的副子块，即 。 c. 当结点当结点i、 j为非相关结点时，为非相关结点时， 中副子块中副子块 为零子块，为零子块，即即 。 d. 仅与各单元的几何特性、材料特性，即仅与各单

36、元的几何特性、材料特性，即A、I、l、E等等因素有关。因素有关。 e. 为对称方阵，为对称方阵， f. 为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件。矩阵时没有考虑结构的边界约束条件。 KiiKijK KeiiiikK KijKeijijkK KijK 0ijK K KjiijKK K3.4 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 第三章第三章ijK3.5 约束处理及求解约束处理及求解 3.5.1 约束处理的必要性约束处理的必要性 建立结构原始平衡方程式建立结构原始平衡方程式 时，并未考虑支承条件时，并未考虑支承条件（约束），也就是

37、说，将原始结构处理成一个自由悬空的、存在（约束），也就是说，将原始结构处理成一个自由悬空的、存在刚体位移的几何可变结构。整体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无刚体位移的几何可变结构。整体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无法求解。结合实际工程结构引入支承条件，即对结构原始平衡方法求解。结合实际工程结构引入支承条件，即对结构原始平衡方程式做约束处理。程式做约束处理。 约束处理后的方程称为基本平衡方程。约束处理后的方程称为基本平衡方程。 统一记为统一记为 PK PF PK3.5.2 约束处理方法约束处理方法 约束处理常用方法有填约束处理常用方法有填0置置1法和乘大数法。采用这两种方法和乘大数法。采用这两种方法不

38、会破坏整体刚度矩阵的对称性、稀疏性及带状分布等特性。法不会破坏整体刚度矩阵的对称性、稀疏性及带状分布等特性。 第三章第三章 对刚架结构约束处理对刚架结构约束处理设结点位移列向量为设结点位移列向量为设结点载荷列向量为设结点载荷列向量为 T9321T321uuuu T9321T321ppppPPPP固定支座固定支座 (b) 支座强迫位移已知支座强迫位移已知 结构约束结构约束3.5 约束处理及求解约束处理及求解 第三章第三章其原始平衡方程式为其原始平衡方程式为 32132123323222322212212111211100PPPkkkkkkkk 按照每个结点的位移分量将上式展开为按照每个结点的位移

39、分量将上式展开为987654321987654321999897969594939291898887868584838281797877767574737271696867666564636261595857565554535251494847464544434241393837363534333231282726262524232221191817161514131211pppppppppuuuuuuuuukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk3.5 约束处理及求解约束

40、处理及求解 第三章第三章结构约束（支座）位移全部为零，采用填结构约束（支座）位移全部为零，采用填0置置1法法 结点结点1、3处为固定支座，处为固定支座， 将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部置换成将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部置换成1， 相应行和列上的其它元素均改为相应行和列上的其它元素均改为0。 所在同一行上的载荷分所在同一行上的载荷分量替换成量替换成00987321uuuuuu3.5 约束处理及求解约束处理及求解 第三章第三章00000001000000001000000000100000000000000000000000000000010000000001000000

41、000165498765432192666564565554464544pppuuuuuuuuukkkkkkkkkk654654666564565554464544pppuuukkkkkkkkk3.5 约束处理及求解约束处理及求解 第三章第三章 22222122Pkk (2) 乘大数法乘大数法 结点结点1为固定支座，结点为固定支座，结点3处在方向的约束为已知强迫位移。即处在方向的约束为已知强迫位移。即 将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部乘以一个大数将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部乘以一个大数N，一般取一般取 。同时，将相应同一行上的载荷分量替换。同时，将相应同一行上的载荷分量

42、替换成成 N 乘以其主对角刚度系数和给定的强迫位移（包括零位移）。乘以其主对角刚度系数和给定的强迫位移（包括零位移）。 097321uuuuu088uu 15101010N3.5 约束处理及求解约束处理及求解 第三章第三章00000888654987654321999897969594939291898887868584838281797877767574737271696867666564636261595857565554535251494847464544434241393837363534333231282726262524232221191817161514131211kNpppuu

43、uuuuuuukNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkN0921111jjukukN由于由于N 足够大，可以近似认为足够大，可以近似认为 0921jjuk01u同时得到同时得到09732uuuu088uu 求出位移求出位移 之后，即可以求出结构的应力场之后，即可以求出结构的应力场 。 3.5 约束处理及求解约束处理及求解 第三章第三章 用有限单元法计算空间刚架结构，在原理上及推导用有限单元法计算空间刚架结构，在原理上及推导过程与计算平面刚架结构相同。由于空间的每一

44、结点一过程与计算平面刚架结构相同。由于空间的每一结点一般具有六个自由度，故计算较之复杂。般具有六个自由度，故计算较之复杂。设两杆的杆长和截面尺寸相同，设两杆的杆长和截面尺寸相同， 3 . 0kN/m101 . 227，E杆件长杆件长 m。 10l第三章第三章3.6 计算示例计算示例结构离散化后结构离散化后 将结构划分为将结构划分为4个结点、个结点、3个单元个单元2m5 . 0A43m2411215 . 0I截面积截面积 ，惯性矩，惯性矩 (2) 求结点载荷求结点载荷 首先须求局部坐标系中固定端内力首先须求局部坐标系中固定端内力 eF0单元单元1作为两端固定梁反力示意图作为两端固定梁反力示意图

45、单元单元2作为两端固定梁反力示意图作为两端固定梁反力示意图 第三章第三章3.6 计算示例计算示例单元单元1 mKN8012106 . 912kN482106 . 922212101102101glMMglVVo单元单元2 mKN20081016081KlMMPVV在局部坐标系下单元载荷列向量在局部坐标系下单元载荷列向量 单元单元1 804808048010F单元单元2 20080020080020F单元单元3 00000030F第三章第三章3.6 计算示例计算示例 为了求出在整体坐标下的载荷列向量，先求单元得为了求出在整体坐标下的载荷列向量，先求单元得坐

46、标转换矩阵坐标转换矩阵 T单元单元1、2 00 IT1000000100000010000001000000100000011000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos1单元单元3 090 1000000010000100000001000000010000101000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos3T第三章第三章3.6 计算示例计算示例 求各单元在整体坐标下的求各单元在整体坐标下的等效结点载荷等效结点载荷 eP0 1020110101108048080480PPFFT

47、PT 203022020220200800200800PPFFTPT第三章第三章3.6 计算示例计算示例 30204303T30000000000000100000001000010000000100000001000010PPFTPT 求刚架的等效结点载荷求刚架的等效结点载荷 0P 3020100PPPP 00020080012012808048000000000000000020080020080000000000080480804800P第三章第三章3.6 计算示例计算示例 无结点载荷作用时，总结点载荷即为等效结点载荷。无结点载荷作用时，总结点载荷即为等效结点载荷。 T000020080

48、0120128080480 PP(3) 求单元刚度矩阵求单元刚度矩阵由于单元由于单元1、2、3的尺寸相同，材料弹性模量相同，故的尺寸相同，材料弹性模量相同，故 ek 321kkk梁单元的局部坐标下的刚度矩阵表达式梁单元的局部坐标下的刚度矩阵表达式 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAke460260612061200000260460612061200000222323222323第三章第三章3.6 计算示例计算示例 23211035005250175052505251050525105000105000010

49、50017505250350052505251050525105000105000010500kkk（4）求整体坐标系中的）求整体坐标系中的 ek单元单元1 111111T122211211kkkkkIkIk单元单元2 222222233322322kkkkkkk单元单元3 33T33TkTk第三章第三章3.6 计算示例计算示例 33343323222444103500052517500525010500001050005250105525010517500525350005250105000010500052501055250105kkkkk（5）求结构整体刚度矩阵）求结构整体刚度矩阵 K利

50、用刚度集成法利用刚度集成法 344342223242321111000000233223222222211211kkkkkkkkkkkkK第三章第三章3.6 计算示例计算示例（6）建立原始平衡方程式）建立原始平衡方程式43214321344342223242321111000000233223222222211211PPPPkkkkkkkkkkkk第三章第三章3.6 计算示例计算示例（7）引入约束条件解方程组）引入约束条件解方程组 由于由于1、3、4为固定端，为固定端， 修改整体刚度矩阵中的修改整体刚度矩阵中的13，612行与列，行与列， 以及载荷列向量以及载荷列向量中的相应的行，约束处理。中

51、的相应的行，约束处理。 0444333111vuvuvu建立基本平衡方程建立基本平衡方程 22222222Pkkk622210428.1145145.1198465. 2vu得到得到 （8）求各杆的杆端力）求各杆的杆端力 eF 单元单元3结点位移列向量结点位移列向量 3336666010000001000000000100000100000102.8465 10119.5145000100119.5145 102.8465000001114.428 10114.428T第三章第三章3.6 计算示例计算示例单元单元1杆端内力计算杆端内力计算 10111FkF7753.1137526.529888

52、. 22496.662474.439888. 2单元单元2杆端内力计算杆端内力计算 20222FkF2994.2262624.879888. 26757.1537376.729888. 2单元单元3杆端力计算杆端力计算 30333FkF9004.399776. 54902.1258755.199776. 54902.125第三章第三章3.6 计算示例计算示例（9）作内力图）作内力图 （a） 刚架轴力图刚架轴力图（b） 刚架剪力图刚架剪力图（c） 刚架轴弯矩图刚架轴弯矩图第三章第三章3.6 计算示例计算示例3.7 ANSYS桁架结构计算示例桁架结构计算示例三种常用的单元三种常用的单元lLink1

53、-Link1-二维轴向拉伸二维轴向拉伸- -压缩单元，具有两个结点，不计杆件的弯压缩单元，具有两个结点，不计杆件的弯曲和扭转变形。模拟桁架、连杆和弹簧。曲和扭转变形。模拟桁架、连杆和弹簧。lLink8Link8是三维轴向的拉伸是三维轴向的拉伸- -压缩杆，具有两个结点，每个结点有三压缩杆，具有两个结点，每个结点有三个评议自由度，模拟两端铰接的空间杆件，机械系统的连杆、个评议自由度，模拟两端铰接的空间杆件，机械系统的连杆、三维线弹簧等，不考虑弯曲和扭转。三维线弹簧等，不考虑弯曲和扭转。l三维杆单元三维杆单元Link10Link10具有双线性刚度矩阵，只能承受单向手拉活受具有双线性刚度矩阵，只能承

54、受单向手拉活受压。当它是单向受拉选项时，只要受压（与松弛的绳索和链条压。当它是单向受拉选项时，只要受压（与松弛的绳索和链条相似），它的刚度变为相似），它的刚度变为0 0，适用于分析静态的电缆、钢索等问题，适用于分析静态的电缆、钢索等问题，也可用于动态问题的分析中。计入惯性和阻尼的影响也可用于动态问题的分析中。计入惯性和阻尼的影响。第三章第三章3.7 ANSYS桁架结构计算示例桁架结构计算示例101L=1m; 910L=1m; 材料为材料为Q235;（1）选择单元类型选择单元类型 运行运行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete 在结点在结点8上施加竖直向下

55、的集中载荷上施加竖直向下的集中载荷F60000N， 约束为结点约束为结点1处约束处约束X,Y方向自方向自由度，结点由度，结点5处约束处约束Y方向自由度。方向自由度。 桁架结构示意图桁架结构示意图 桁架各单元横截面图桁架各单元横截面图 第三章第三章 单元类型库对话框单元类型库对话框 单元类型库对话框单元类型库对话框 （2）设置材料属性设置材料属性运行运行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models 选择材料属性对话框选择材料属性对话框 设置材料设置材料1属性对话属性对话（3）设置单元截面形式设置单元截面形式 选择菜单选择菜单PreprocessorEleme

56、ntLink8 截面设置对话框截面设置对话框3.7 ANSYS桁架结构计算示例桁架结构计算示例第三章第三章 （4）定义实常数定义实常数运行运行Real ConstantsAdd/Edit/Delete ，定义面积为，定义面积为4.91E-4m2 设置设置LINK1单元的实常数单元的实常数 （5）建立模型建立模型 首先生成结点，运行主菜单首先生成结点，运行主菜单PreprocessorModeling Create Nodes In Active CS; 再生成单元，运行主菜单再生成单元，运行主菜单 PreprocessorModelingCreateElementsAuto NumberedT

57、hru Nodes穿越结点命令。穿越结点命令。 创建结点对话框创建结点对话框 3.7 ANSYS桁架结构计算示例桁架结构计算示例第三章第三章 通过结点建立单元通过结点建立单元 桁架的有限元模型桁架的有限元模型 （6）施加约束施加约束 运行主菜单运行主菜单SolutionDefine Loads ApplyStructuralDisplacementOn Nodes 结点施加约束对话框结点施加约束对话框 3.7 ANSYS桁架结构计算示例桁架结构计算示例第三章第三章 （7）施加载荷施加载荷 运行主菜单运行主菜单SolutionDefine LoadsApplyStructuralForce/Mo

58、mentOn Nodes。 结点施加载荷对话框结点施加载荷对话框 （8）求解求解 运行主菜单运行主菜单 SolutionSolveCurrent LS，分析当前的负载步骤，分析当前的负载步骤命令，命令， 弹出如图弹出如图3-28所示对话框，所示对话框，单击单击OK，开始运行分析。分析完，开始运行分析。分析完毕后，毕后， 在信息窗口中提示计算完在信息窗口中提示计算完成，成， 单击单击Close将其关闭。将其关闭。 （9）后处理后处理 运行主菜单运行主菜单 General PostprocPlot ResultsContour PlotNodal Solu命令，运行命令，运行DOF Solutio

59、nDisplacement vector sum，出现，出现桁架轴向应力云图。桁架轴向应力云图。 云图显示对话框云图显示对话框 求解对话框求解对话框 3.7 ANSYS桁架结构计算示例桁架结构计算示例第三章第三章 位移云图位移云图 选择选择Stressvon Mises stress，则，则出现桁架位移云图出现桁架位移云图 云图显示对话框云图显示对话框 轴向应力云图轴向应力云图 桁架的位移云图可知，桁架的位移云图可知，最大最大位移发生在桁架的中部位移发生在桁架的中部，最大位，最大位移为移为 m。 桁架的轴向应力云图可知，桁架的轴向应力云图可知，最大应力发生在最大应力发生在2单元单元。最大应。最

60、大应力力45.9MPa。 3103 . 13.7 ANSYS桁架结构计算示例桁架结构计算示例第三章第三章3.7 ANSYS刚架结构计算示例刚架结构计算示例常用的梁单元常用的梁单元lBeam3-Beam3-可承受拉、压、弯曲作用的单轴单元，可承受拉、压、弯曲作用的单轴单元，每个结点有三个自由度，即沿每个结点有三个自由度，即沿x x，y y的线位移和绕的线位移和绕z z轴的角位移。轴的角位移。lBeam44Beam44是应具有拉、压、扭、弯曲能力的单轴是应具有拉、压、扭、弯曲能力的单轴梁，每个结点有梁，每个结点有6 6个自由度，即个自由度，即x x，y y，z z方向的平方向的平移和移和x x，y