华南理工大学高等数学级下第16次课CH课件

1、华南理工大学高等数学级下第16次课CH第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、问题的提出一、问题的提出二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算四、几何与物理意义四、几何与物理意义五、小结五、小结第九章第九章 曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分上一页下一页返回华南理工大学高等数学级下第16次课CH一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 匀质之质量匀质之质量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求

2、和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精确值精确值上一页下一页返回华南理工大学高等数学级下第16次课CH二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和并作和作乘积作乘积点点个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为设第设第个小段个小段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为设设1.定义定义oxyAB1 nMiM1 iM2M1

3、M),(ii L上一页下一页返回华南理工大学高等数学级下第16次课CH.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( LdsyxM 上一页下一页返回华南理工大学高等数学级下第16次课CH2.存在条件：存在条件：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分

4、对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 LdsyxfLyxf3.推广推广曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 上一页下一页返回华南理工大学高等数学级下第16次课CH注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲线积分记为曲线积分记为上对弧长的上对弧长的在闭曲线在闭曲线函数函数上一页下一页返回华南理工大学高等数学级下第16次课CH4.

5、性质性质 .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为为常常数数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 上一页下一页返回华南理工大学高等数学级下第16次课CH三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在其中其中的参数方程为的参数方程为上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设上一页

6、下一页返回华南理工大学高等数学级下第16次课CH注意注意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定积积分分的的下下限限.,),(. 2而而是是相相互互有有关关的的不不彼彼此此独独立立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba 上一页下一页返回华南理工大学高等数学级下第16次课CH推广推广:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 上一页下一页返回华南理

7、工大学高等数学级下第16次课CH例例1).(,sin,cos:,象限象限第第椭圆椭圆求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 上一页下一页返回华南理工大学高等数学级下第16次课CH例例2.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到从从其中其中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例3)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzayaxxy

8、zdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I上一页下一页返回华南理工大学高等数学级下第16次课CH例例4 . 0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解 由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa上一页下一页返回华南理工大学高等数学级下第16次课CH四、几何与物理意义四、几何与物理意义,),()1(的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧长长时时当当,),(),()3(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的的表表示示立立于于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面积积sL),(yxfz 上一页下一页返回华南理工大学高等数学级下第16次课CH,)4(轴轴的的转转动动惯惯量量轴轴及及曲曲线线弧弧对对yx.,22 LyLxdsxIdsyI 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5(., LLLLdsdsyydsdsxx 上一页下一页返回华南理工大学高等数学级下第16次课CH五、小结五、小结1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长