数学基础——微积分基础

1、补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/1611、函数、函数)(xfy 23 xxfy)(自变量、因变量、常量、自变量、因变量、常量、一元函数、多元函数一元函数、多元函数),(tzyxfF 补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/1622、导数、导数2.1 极限极限axfxx)(lim01232xxxxfy)(例：例：231123xxxx)(5123211xxxxfxxlim)(lim补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/1632.2 函数的变化率函数的变化率导数导数)(xfy xy静态静态动态动态yx ,增量，可正、可负增量，可正、可负xxfxxfxy)

2、()(00平均变化率平均变化率补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/164xxfxxfxyxfyxx)()(limlim)( 0000y对对x的微商或导数的微商或导数)(,xfdxddxdfdxdy其他表示：其他表示：二阶导的表示：二阶导的表示：)( )()( xfdxddxdydxddxydxfy22高阶导以此类推高阶导以此类推补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/1652.3导数的几何意义导数的几何意义曲线的切线曲线的切线:P1P0时，时，0 xyMPMP 01tan 10PP割线割线 的斜率的斜率P1P0时时割线斜率的极限割线斜率的极限)( limtanlim

3、tanxfxyxPP 0001 导数的几何意义是切线的斜率导数的几何意义是切线的斜率补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/1663、导数的运算、导数的运算3.1 基本函数的导数运算基本函数的导数运算0lim)()(lim()()1(00 xCCxxfxxfyCxfyxx常量）常量）1)( )()2( xfyxxfyxxfyxxfy2)( )()3(2 233)( )()4(xxfyxxfy 补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/167211)()5(xyxxfy xxfyxxfy21)( )()6( 为任何数为任何数nnxdxdxyxynnn1 结论结论其它常用其它

4、常用求导公式求导公式xxexfexfxxfxxfxxfxxfxxfxxf )( )(1)( ln)(sin)( cos)(cos)( sin)(补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/1683.2 导数运算的几个定理导数运算的几个定理定理一定理一 dxdvdxduxvxudxd )()(定理二定理二 dxdvxudxduxvxvxudxd)()()()( 定理三定理三2)()()()()(xvdxdvxudxduxvxvxudxd 定理四定理四dxdvdvduxvudxd )(补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/169例题例题为为常常数数）的的导导数数、求求aaxy

5、(122 为常数）的导数。为常数）的导数。、求、求aaxy(ln2 为为常常数数）的的导导数数。、求求aaxy(32 的的导导数数、求求xexy24 的导数。的导数。、求、求152352 xxy补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/1610为常数）的导数。为常数）的导数。、（、求、求babaxy)cos(6的导数。的导数。、求、求172xy为为常常量量）的的导导数数。（、求求aexyax228补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/16114 4、微分、微分4.1 4.1 自变量的微分自变量的微分自变量的无限小增量自变量的无限小增量dxx 4.2 4.2 函数的微分函

6、数的微分函数的导数乘以自变量的微分函数的导数乘以自变量的微分dxxfdy)( dxdyxf )( 补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/16125 5、积分、积分5.1.1 5.1.1 变速直线运动的路程计算变速直线运动的路程计算质点走的路程质点走的路程batt ttvttvttvttvsnab )()()()(321).()(),(),(,nbnaabtvtvtvtvtntttttttt 321321个个时时刻刻的的速速度度分分别别为为段段，每每段段间间隔隔分分成成被被间间隔隔 1iittv)()(tvtOatbtt 几何意义：几何意义：以以 为高的各小矩形面积之和。为高的各小

7、矩形面积之和。iv5.1 5.1 两个例子两个例子补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/1613 niintabttvs10)(lim)(tvtOatbtt 几何意义：几何意义：曲线下的面积。曲线下的面积。区间内区间内)(tvttab 补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/16145.1.2 5.1.2 变力做功变力做功设力与物体运动方向一致，力与位置函数关系如设力与物体运动方向一致，力与位置函数关系如图，求物体从图，求物体从处处力力对对其其所所做做的的功功。到到bassasbss)(sFO.)(:)(,ssFAsFsnssiiab 隔内力做功为隔内力做功为为恒量，

8、在每个小间为恒量，在每个小间间隔中视间隔中视在每个小在每个小等分，间隔为等分，间隔为将将 niissFA1)(之之间间所所做做功功为为：到到力力从从bass niinsssFA10)(lim补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/16155.2 5.2 定积分定积分)(xfy 来来表表示示。即即：可可用用符符号号则则当当间间隔隔为为等等分分，每每小小段段将将其其取取自自变变量量区区间间 baniinxdxxfxxfxnba)(,)(lim,10 niinxbaxxfdxxf10)(lim)(被积函数被积函数上下限上下限)(xfba,补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6

9、/1616 babassttdssFAdttvs)()(例：例：补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/1617积分定理积分定理( )( )( )( ),( )( )( )( )( )baf xxf xxxaxbf xxxf x dxba 如果被积函数是某个函数的导数，即则在到区间内对 的定积分等于在这个区间内的增量，即补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/16185.3 5.3 不定积分及其运算不定积分及其运算函数逆导数不唯一函数逆导数不唯一逆导数或原函数逆导数或原函数的的称为称为，则，则若若)()()( )(xfxxxf 函数逆导数的通式称为函数的不定积分函数逆导

10、数的通式称为函数的不定积分 Cxdxxf)()(补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/1619基本不定积分公式基本不定积分公式函数函数 不定积分不定积分 )(xf dxxf)()(1 nxnCnxn 11xsinCx cosxcosCx sinx1Cx |lnxeCex 补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/1620积分运算定理积分运算定理 dxxuadxxfaxauxf)()()()(为为常常数数），则则（一一、如如果果 dxxvdxxudxxfxvxuxf)()()(),()()(则则二二、如如果果 dvvudxxvvudxxfxvvuxf)()( )()(),( )()(则则三三、如如果果补充知识补充知识 微积分初步微积分初步2021/6/16215.4 5.4 通过不定积分计算定积分通过不定积分计算定积分)()()()()(abdxxfCxdxxfba 减减即即得得到到定定积积分分的的值值将将上上下下限限的的数数