圆锥曲线对偶的性质100条

1、椭圆与双曲线的对偶性质100条杨志明湖北省黄石二中4350031. IPF1I IPF2I2xa2 标准方程:2a2詁1IPF113.- ed14 .点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的外角5. PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点6 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离 7 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切8.设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则厶PF1F2在边PF2 (或PF1)上的旁切圆，必与A1A2 A2 (或 A1).2 当 1 (a b 0)的两个顶点为b2所在的直线切于2 x9

2、 .椭圆aA(a,0) , A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P仆P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是10.11.切点弦12.2 x 右(xo, yo)在椭圆2 a x2 若P)(xo, yo)在椭圆 aXoX 2 ay2P1P2的直线方程是b2yoyb2AB是椭圆2 x 2 akOM kABa213 .若XoXyoy2 ab214 .若1上，则过Po的椭圆的切线方程是XoX2ayoy1b21外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则1.1的不平行于对称轴且过原点的弦,2XPo(xo, yo)在椭圆一2a2xoyo2 ab22XFo (Xo, yo)在椭圆 一2aM为AB的中点

3、，则2 y b22 y b21内，则被Po所平分的中点弦的方程是1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2 x2 a2yxxyyb2a2 b223 / 172x若PQ是椭圆a b 0 )上对中心张直角的弦，则1 1 (22 (r1a b2x16 .若椭圆飞a|OP|,r2|OQ|).上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax By 1 (AB 0),则(1)B2;(2) L 22血a2A2 b2B217.给定椭圆G : b2x2a2y2a2b2 ( a b0) , C2: b2x2a2y22,2zab 2(22ab),a bC2上一定点则(i)对G上任意给定的点F0(x。，y。)，它的任一直角弦必须经过2

4、 ,2 2 ,2ababM( (2x0,2 2 y0).abab(ii)对C2上任一点P0(X0,y)在G上存在唯一的点M,使得M 的任一直角弦都经过占八、-Po1&设F0(Xo,y)为椭圆(或圆)动弦，且弦P0P1 , P0P2斜率存在，记为1 m b2 . m a充要条件是k1 k22x19.过椭圆a12y椭圆于B,C两点,则直线20椭圆2X2 aF1PF2S F1PF221 .若PF1F22xC： -2ak1, k 2,2y21 (a 0,. b 0)上一点，P1P2 为曲线b则直线P1P2通过定点M (mx, my) (m1)的1 (a 0, b 0)上任一点A(x0, y0)任意作两

5、条倾斜角互补的直线交BC有定向且kBC 学(常数).2a y$71 (a b 0)的左右焦点分别为F1, F 2,点P为椭圆上任意一点b，则椭圆的焦点角形的面积为b2 ta n , P(ajc2b2 ta n2-,ta n ).- c2c 2与 1 ( a b 0)上异于长轴端点的任一点，F1, F 2是焦点，b2a c，贝ytan cot .a c 222x2为椭圆aPF2F12x22椭圆a(a b 0)的焦半径公式:| MF1 | a ex0,| MF21 a egF, c,0) , F2(c,0) M (x, y).2 223. 若椭圆令 y 1 (a b 0)的左、右焦点分别为 F1、

6、F2，左准线为L,则当a b0b 0) 上任一点，F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则a b2a IAF2I |PA| |PFi| 2a |AFi|,当且仅当A, F2,P三点共线时，等号成立 x2 y225.椭圆 2 1 (ab 0)上存在两点关于直线 l : y k(x x0)对称的充要条a b2 2 2件是x2 (a b )件是X02 2 2a b k6.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 半径互相垂直.则该点与焦点的连线必与焦28.件是e2xP是椭圆y12.1 sina

7、 cos(a b 0)上一点，则点bsi nP对椭圆两焦点张直角的充要条2xa交于P,Q,则AP BQ.22在椭圆a b2右)-,其中29.30 .设A,B为椭圆2x2a2. 2cossinb22x31 .设S为椭圆 a|AB|= I(X。) maxa232 .2 2 2, 2A a B b33 椭圆A2a2 B2b22 y b2tank(k 0,k1)上两点,定长为2m ( o v.2 2b x_ 2,当 y0 时,a y2y_ b2M(X0,y)是(a b 0)2x其直线AB与椭圆a2y21相b2m b 0)的两个焦点为F1、ab1与直线Ax ByC 0有公共点的充要条件是F2,P (异于

8、长轴端点)为椭圆上任意一点，在 PF1F2中，since.sin sin a2 235.经过椭圆b x圆上任一点的切线相交于2x36 .已知椭圆a记 F1PF2PF1F2F1F2P,2 2a b ( a b 0)的长轴的两端点 A1和A2的切线,22 2a yP1 和 P2,则 | PA| | | PA2 | b2.与椭2占 1( a b 0),0为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPbOQ .1 1(1)22|OP| |OQ|2-2值是ab 2.a2 b237. MN是经过椭圆|OP2+|OQ|2的最大值为 二些 ;(3) S opq的最小a bb2x圆中心O且平行于MN的弦，则2 238

9、. MN是经过椭圆b x2的半弦OPMN ,22 2a y2 | AB|2 2a y12|OP|a2b2 (ab 0)过焦点的任一弦，若 AB是经过椭2a |MN |.2b2 (a b 0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O1 12 2 .a b则a|MN |2y_b2任一点，过M引一条直线与椭圆相交于 I2两顶点)的交点N在直线I : x (或ym40. 设过椭圆焦点 F作直线与椭圆相交AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.41. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和A2Q交于点 M , A2P和A1Q交于点N

10、，贝U MF丄NF.2y_b22x39设椭圆a2x42.设椭圆方程a轭直线y kx上，而且kk1 (a b 0) ,M(m,o)或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的P、Q两点，则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的 b2)上.mP、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结1,则斜率为k(k丰0)的平行弦的中点必在直线l : y kx的共43 .设A、B、C、D为椭圆b2 .a2x2a2 y b21上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为直线AB与CD相交于P且P不在椭圆上.222 2b cosa sin72222b cosa sin2x44 .已知椭圆 a 的外(内)角平分线为 的

11、轨迹方程是x2 y22y71 (a b 0)，点P为其上一点b2l，作F1、F2分别垂直I于R、S,当2 2 2 2 2 a (b y (a ce)(x c) (xF1, F 2为椭圆的焦点,F1PF245.设厶ABC内接于椭圆 别交直线AC、BC于E和F, 的中点R、S形成c)2).，且AB为 的直径，I为AB的共轭直径所在的直线， 又D为|上一点，则CD与椭圆 相切的充要条件是P跑遍整个椭圆时，2 2y cx) ce(xl分D为EF2x46.过椭圆a(ab0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则2 x47 .设 A (X1 ,y1)是椭圆2a的直线L

12、,又设d是原点到直线|PF| MN |2 丄 b2b2xi2a y1的距离，rbr2分别是 A至U椭圆两焦点的距离，贝U(a b0)上任一点，过A作一条斜率为. rr2dab.X248.已知椭圆2再1(a b 0)2才x和一22y2(0abab它们相交于A、B、C、D四点，则1 AB | =|CD | .1 ), 一直线顺次与,A、B、是椭圆上的两点，线段2 ,2a bXo.aAB的垂直平2 2x y49.已知椭圆 不1 ( a b 0)a ba2 b2分线与x轴相交于点P(x0,O)，则a2 250 .设P点是椭圆笃爲 1 a bF1PF2，则(1)|PFi|PF2|(a b 0)上异于长轴

13、端点的任一点,F1、F2为其焦点2b21 cos.(2) S PF1F2b2 tan251. 设过椭圆的长轴上一点B ( m,o)作直线与椭圆相交于 P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结 AP和AQ分别交相应于过 B点的直线 MN : x n于M, N两点，则2MBN 90：a m aa mb2( n a)22 252. L是经过椭圆 笃爲 1 ( a b0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是a b椭圆两个焦点，e是离心率,点P L，若 EPF ，贝U 是锐角且sin e或arc si ne (当且仅当| PH |辿时取等号).c2 253. L是椭圆 笃每 1 ( a b 0)的准线，

14、A、B是椭圆的长轴两顶点，点P L ,a be是离心率， EPF , H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且sine或arc si ne (当且仅当| PH |时取等号).c2 2x y54. L是椭圆二 2a b点，点 P L , EPF1 ( ab 0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交,离心率为e,半焦距为c,则arc si ne2 (当且仅当| PH | b了时取等号).c为锐角且sine2或(a b 0),直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于22x y55.已知椭圆2a b两点，将A、B与椭圆左焦点AB丄x轴时右边不等式取等号,56.PAB(1)|PA|(2a2 b2)2

15、a2A、F1、B三点共线时左边不等式取等号)F1连结起来，则b2 IF1AI IF1BI当且仅当(当且仅当x2 设A、B是椭圆a,PBA ,22ab |cos |2 2 .(2) a c cosx2 设A、B是椭圆一2a古1BPAtantanab0)的长轴两端点， P是椭圆上的一点,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，,22a2b2,1 e .(3) S pab-22 cot .b ay2b2 部的两点，且XA、XB的横坐标Xa57.a b 0 )长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外Xb2a , (1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、点，则PBA58.PBA QBA ; ( 2 )若过B引直线与这

16、椭圆相交于P、Q两点，则 QBA 180：.2 2设A、B是椭圆 笃爲 1 ( ab0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外a b部的两点，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于 P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，贝U P、 Q不关于x轴对称)，且 PBA QBA，则点A、(2)若过B点引直线与这椭圆相交于 P、Q两点，且2横坐标满足Xa Xb a .B的横坐标Xa、Xb满足Xa XbPBA QBA 180：,则点 A、2x59 .设代A是椭圆a2 y b71的长轴的两个端点,QQ是与AA垂直的弦，则直线AQ与AQ的交点P的轨迹是双曲线2 2y_ 12 . 2a b60.过椭圆22x y22a b

17、a b 0 )的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则8ab2a2 b2|AB|CD |2(a2ab2)2Xa点M的轨迹是姊妹圆2x62.到椭圆a61.到椭圆2 y b2 (X2 y_a)2的动点M的轨迹是姊妹圆(Xa ca b 0)两焦点的距离之比等于(c为半焦距)的动b2 .2y b .a b 0)a c的长轴两端点的距离之比等于-b(c为半焦距)|)2 y2()2.e2 2x y63.至U椭圆2a bab 0)的两准线和X轴的交点的距离之比为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆(xa 22-2)y()2 (e为离心率).e2x64.已知P是椭圆pa(a b0)上一个动点， A, A是它长轴的两个

18、端点，2 .2 2 X_丄124a a65椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴 之长的比例中项.2x66.设椭圆ab2x作斜率为1的直线|，过A, A分别作垂直于长轴的直线交I于M , M且AQ AP ,AQ AP，贝U Q点的轨迹方程是22 1 ( a b 0)长轴的端点为 A, A,P(X1,yJ是椭圆上的点过b2a y1(1) | AM | AM2 x 67.已知椭圆 a| b2. (2)四边形MAAM 面积的最小值是2ab.2占 1 ( a b0)的右准线I与x轴相交于点E , b过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于 A、B两点，点C在右准线I上，且BC

19、 X轴，则直线 的中点AC经过线段EF1 ( a0,b0)的两条互相垂直的弦，O为坐标68. OA、OB 是椭圆(X 2a)y2a b原点，则(1)直线AB必经过一个定点个交点Q的轨迹方程是(x身岂)2a b69. P(m, n)是椭圆(x 2a)a的弦，则(1)直线AB必经过一个定点2ab2(,0) .(2)以O A、O B为直径的两圆的另 a baF 2(2)(x 0).a b1 (a b 0)上一个定点,P A、P B是互相垂直(2ab2 m(a2 b2) n(b2 a2)a2 b222).(2)以 P A、P Ba2 b2为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是/ ab a m 2 /

20、b n 2(x 2)(y 2)a ba b70.如果一个椭圆短半轴长为2 b ,且F1、F2在L同侧d1d224a b/ 2 -2、2(a b )b,焦点F1、F2到直线直线L和椭圆相切.n 2(a22m且 y n).L的距离分别为d1、d2，那么(1)2(2) dg2 b，且 F1、F2在 L 同2直线L和椭圆相交直线L和椭圆相离，(3) d1d2 b，或F1、F2在l异侧2 271. AB是椭圆 笃 珞 1 (a b0)的长轴，N是椭圆上的动点，过 N的切线与 a b过A、B的切线交于C、D两点，则梯形 ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是2 2 2x 4a y 1(y0).2 2x y7

21、2 设点P(x,y。)为椭圆 2 1 ( a b 0 )的内部一定点，AB是椭圆a b2 2笃 与 1过定点P(x,y)的任一弦，当弦 AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时a b(| PA| | PB |)max(| PA| | PB |)mina2b2 (a2y。2 b2x。2)b2a2b2 (a2y。2 b2x。2)AB垂直于长轴所在直线时73. 椭圆焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切74. 椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点75. 椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76 椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值

22、a-c.77.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78椭圆焦三角形中79椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项80.椭圆焦三角形中 到同侧焦点的距离成比例,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点81椭圆焦三角形中 与同侧焦点连线段成比例,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点82.椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 线必与另一焦半径所在直线平行.,则椭圆中心与垂足连

23、83.椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 距离为椭圆长半轴的长.,则椭圆中心与垂足的84椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点85. 椭圆焦三角形中，非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的 比为定值e.86. 椭圆焦三角形中，非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线87. 椭圆焦三角形中，非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线88 椭圆焦三角形中，过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交，则以两交点为直径的圆必过两焦点.2 289.已知椭圆笃為 1（a 0,b 0）（包括圆在内）上有

24、一点 P,过点P分别作直线 a by -x及yx的平行线，与直线 OP分别交于R,Q ,O为原点，则:aa2 2 2 2 2(1) |OM | |ON | a ; (2) |OQ | |OR|b “l1 : yx 及 l2: ya90.过平面上的 P点作直线b2.Kx的平行线,a分别交 x轴于M,N ,2xa2 xaR,Q .2 2)若 |OM | |ON |的轨迹方程2y2yb21(a1(a0,b0,b91点P为椭圆0) .(2)0).2y_1(a|OQ|2 |OR|2 b20,b0）（包括圆在内轨迹方程）在第一象限的弧上任意一点,P引x轴、y轴的平行线,交y轴、x轴于M , N，交直线by

25、 - x于 Q, R，记 OMQ a与ONR的面积为S1,S2，则：SS292.点P为第一象限内一点，过b交直线y -x于Q, R，记 OMQ与 a2的轨迹方程是笃aab2 .x轴、y轴的平行线，交 y轴、ONR的面积为3,S2,已知Sx轴于M , N ,ab 小f ，则P2S22与 1(a 0,b 0). b双曲线2yb22x2 a2 x 10.若P)(x0, y0)在双曲线一2 a(a 0,b 0)上,则过P。的双曲线的切线方程是xx yy2 a11.若F0(x0, y)在双曲线切点为P1、P2,则切点弦P1P22 212.AB是双曲线2 冷a b的中点,则k kbikOM kAB2 a1

26、3.若R(x0, y)在双曲线2 2千口曰 x0xyy沧ya2bab14.若R(X0, y)在双曲线b21.的直线方程是2x2a2x2a(a 0,b 0)xxyya2b2外，则过Po作双曲线的两条切线1.(a0,b0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB2Lb22Lb21 (a0,b0)内，则被Po所平分的中点弦的方1 (a0,b0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程1. IIPFj IPF2II 2a2x2 .标准方程：a|PFi|di4 .点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的内角.5. PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长

27、轴的两个端点 6 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交 .7 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切8 .设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则PF1F2在边PF2 (或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2 (或A1).2 29.双曲线 笃 与 1 (a0,b0)的两个顶点为 A( a,0),A2(a,0)，与y轴平行的 a b直线交双曲线于 P仆P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是152 y_ b2Xoxyya2 b22xPQ是双曲线2a2y21( b a 0 )上对中心张直角的弦，则b2丄丄(r2,21a bx216 .若双曲线一2a|OP|2g).2 y

28、a 0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax By 1 (AB 0),则(1)A2b2；(2) L 2FA2b4B2|a2A2b2B2 |17.给定双曲线C1: b2x22 22222a b (a b 0) , C2: b x a y2,2a b 2(2 fab), a bC2上一定点则(i)对G上任意给定的点F0(x。，y。)，它的任一直角弦必须经过2 . 2 2 . 2 abab、m( 22X0,22 y。).abab(ii)对C2上任一点P0(X0,y)在C1上存在唯一的点M,使得M的任一直角弦都经过P占八、-2218.设F0(X0,y)为双曲线笃与 1 a bk1, k 2,则直线(a

29、0,b0)上一点，P1P2为曲线 C的动弦，且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为2件是k1 k2b_.1 m a2 219.过双曲线一2a2 b21 (a 0,b o)线交双曲线于B,C两点,2x20双曲线a2y_b2P1P2通过定点M (mxo, myo) (m 1)的充要条上任一点则直线BC有定向且kBCA(Xo, yo)任意作两条倾斜角互补的直聖(常数).a y。1 (a 0,b o)的左右焦点分别为F1, F2,点P为双曲线上任意占八、F1PF2则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2b2cot-2P(：,.c2 2b tan ，221.若P为双曲线b2cot ). c -2 x_2

30、a(a 0,b 0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点,PF1F2PF2F1c a，则一c atan cot (或a tan cot).22 c a 222X22.双曲线ab2当M (x, y)在右支上时,当M (x,y。)在左支上时,(a0,bo)的焦半径公式：(F ( c,0) , F2(c,0)| MF1 | eX) a ,| MF2 | exj a .| MF1 | ex0 a , | MF2 |a .23.10,b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为L,则当a b、2 1时，可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中24.P为双曲线

31、点，则 等号成立|AF2|2a2 2x y1 (a 0,b 0) 上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定a b| PA| |PF1 |,当且仅当A, F2,P三点共线且P和代F2在y轴同侧时，25.双曲线条件是x022xa2a2y2 1 (a 0,b0)上存在两点关于直线I : y k(x x)对称的充要 ba2 b2k226. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直28. P是双曲线x asec充要条件是y bta n11 ta

32、 n2(a 0, b 0)上一点，则点 P对双曲线两焦点张直角的29.设A,B为双曲线(a0,b0, k0,k1 )上两点，其直线 AB与2x 双曲线笃a2 y b21相交于P,Q ,则 APBQ.2y_b22x在双曲线一2a222 230 .定长为2m (m) 0 )的弦中点轨迹方程为cossin2 -r2a b,其中tan.2 2b x t-22，当 ya y90 .线上移2x31 .设S为双曲线a记 |AB|=(x0) min2y_b21 ,(a 0,bo)M(X。，y)是的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲AB 中点，则当I S时，有32.双曲线2 2 2, 2A a B bI ,

33、22(c a 2e2 x_2 aC2.(xb2,e-);当 IaS 时，有(x0 ) min2y_b21 (a 0,b 0)与直线Ax By C0有公共点的充要条件是x。)22 a 的充要条件是 A2a2 B2b22 234.设双曲线2a b33.双曲线(y y。)2 1 b2(Ax By(a 0,b 0)与直线Ax By C 0有公共点C)2.1 (a 0,b 0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在 PF1F2中，记F1 PF2sin(sin sin )PF1F2F1F2P,则有c e.a2 x35.经过双曲线一2a2爲 1 (a0,b0)的实轴的两端点 A1

34、和A2的切线，与双曲线 b2上任一点的切线相交于 P1和P2,则I PA| I | PA21 b2.2x36 .已知双曲线一2a I且 OP OQ. (1) 厶|OP |22厲2S OPQ的最小值是 弓2 .b a2b2 1 (ba0)O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，2 21； (2) |OP|2+|OQ|2 的最小值为 fa b 2 ； (3)bb a2 y_ b2是经过双曲线中心 O且平行于 MN的弦,2r 1 b21237. MN是经过双曲线38. MN是经过双曲线中心O的半弦OPMN ,2x39.设双曲线a则a| MN |(a 0,b 0)过焦点的任一弦(交于两支)，若 AB则

35、| AB |2 2a| MN |.(a b 0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线1|OP|211a7 b2.2y_b2一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点,2交点N在直线I : x 上.m40. 设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交1 ( a0,b0) ,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任则直线 AiP、A2Q(Ai ,A2为两顶点)的P、连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于41. 过双曲线一个焦点点，A1P和A2Q交于点M ,2x42. 设双曲线方程一aQ两点，A为双曲线长轴上一个顶点，M、N两点，贝U MF丄NF.P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶共

36、轭直线y k x上，而且kkF的直线与双曲线交于两点A2P和A1Q交于点 N，贝U MF丄NF.2每 1,则斜率为k(k丰0)的平行弦的中点必在直线l : y kx的bb22 .a43.C、|PA| |PB| |PC|PD|2cos.22b cos2 x44.已知双曲线一2a2占 1 ( a0,b 0)上四点 b直线 AB 与 CD 相交于P,且 P2 2a sin2 . 2.一 sin为双曲线2 x2 a,AB、CD所在直线的不在双曲线上，则a2丄b2F1PF2的外(内)角平分线为R、S形成的轨迹方程是x2 y2 a2(a3b(x c)(a2 b2)x b2c2 a4c2(x c)y21 (

37、a0,b0)，点 P 为其上一点F1,l，作F1、F2分别垂直I于R、S,当F 2为双曲线的焦点,P跑遍整个双曲线时,3 222、(ab c y ).45 .设 ABC三顶点分别在双曲线 上，且AB为 的直径，I为AB的共轭直径所在 的直线，|分别交直线AC、BC于E和F,又D为|上一点，贝U CD与双曲线 相切的充要 条件是D为EF的中点.2 246.过双曲线 笃 爲 1 (a 0,b 0)的右焦点 F作直线交该双曲线的右支于M,Na b两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P1旦| MN |22 x 47 .设A ( X1 ,y1)是双曲线一2 a是原点到直线的直线L,又设db2x1 a2% r

38、,r2分别是 A到双曲线两焦点的距离，则2爲 1( a 0,b 0)上任一点，过A作一条斜率为b2L的距离，.rr2d ab.48.已知双曲线次与它们相交于A、49.已知双曲线2 2xy2,2abB、C、D2 2xy2,2ab(a 0,b0)四点，则|AB |1 (a 0,b 0)平分线与x轴相交于点P(x0,O)，则x050.2x设P点是双曲线a点记 F1PF2，则(1)|PF1|PF2|22知x y 禾廿2 2a2 b2 =|CD | .(01 ), 一条直线顺,A、B是双曲线上的两点，线段 AB的垂直2,2a b卡 或X。aa2 b2(a0,b0)上异于实轴端点的任一点，F1、F2为其焦

39、51.设过双曲线的实轴上一点BAQ分别交相应于过2aT22 .b (n a)2y21 (a 0,b 0)b2线实轴的左顶点，连结 AP和则 MBN 90 乞卫52. L是经过双曲线a m2xa双曲线实轴的两个焦点,1arc sin (当且仅当e53. L是经过双曲线2b2-.(2) S pf1f2b COt 二.1 cos1 22(m,o)作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲两点,B点的直线MN : x n于M , N焦点F且与实轴垂直的直线,e是离心率，点P L,若EPF，贝U 是锐角且sinab +| PH | 时取等号)c2 2x y2 .2a b1 (a 0,b 0)的实轴顶点A且

40、与x轴垂直的直线,F是双曲线的准线与 x轴交点，点PL , e是离心率，EPF , H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且sin11ab或arcs in(当且仅当|PA|时取等号).ec,则为锐角且sin g或e(当且仅当2 2x y54. L 是双曲线-22 1 (a0,b0)a b线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点.1 arc sin 2 e焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲EPF，离心率为e,半焦距为b /22|PF1 |y c时取等号).c2 2xy55.已知双曲线 丄y1 (a 0,b 0),直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交ab于A、B两点，将A、B与双曲线左焦

41、点2 人 22F1连结起来，则|RA | |F1B| ( 2 (当a且仅当AB丄x轴时取等号)56.设A、 B是双曲线PAB2yBPA(a0,b0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点,|PA|57., PBA22ab | cos |,222. tan| a c cos |2 2设A、B是双曲线2 爲a btanc、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有彳 2c2a b 丄1 e .(3) S pab 2 cot .b a(a 0,b 0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)、外部的两点，且 xA、xB的横坐标xA xB这一支相交于P、Q两点，则 PBA QBA ； (2)2a , (1)若过A

42、点引直线与双曲线 若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q 两点，贝U PBA QBA 180，.2 2x y58. 设 A、B 是双曲线一22 1 (a 0,b 0)a b实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)，外部的两点， 交双曲线这一支于两点，则 坐标Xa、Xb满足Xa XbPBAP、(1)若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q不关于x轴对称)，且 PBA QBA ,2a ; (2)Q两点，(若B P则点A、B的横QBA 180,则点 A、B2 2 x y59. 设代A是双曲线一22a b若过B点引直线与双曲线这一支相交于2a .的横坐标满足Xa Xb1的实轴的两个端点,P、Q两点，

43、且qq是与AA垂直的弦，则直线AQ与AQ的交点P的轨迹是双曲线60.过双曲线2 2xy2,2ab(a 0,b 0)的右焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD,则讣 2 IAB| |a2 b2|CD|.2xa动点M的轨迹是姊妹圆2x62.到双曲线a61.到双曲线2y_b(xy2b2c a(a 0,b 0)两焦点的距离之比等于 -bec)2 y2 (eb)2.1 ( a 0,b 0)的实轴两端点的距离之比等于距)的动点M的轨迹是姊妹圆(x a)2 y22 263.到双曲线与芯 1a b(a 0,b 0)(c为半焦距)的(c为半焦为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆(xa)2b2.的两准线和x轴的交点的距离之比为y2(b)2 (e为离心率)e2 x64.已知P是双曲线a(a0,b0)上一个动点，A, A是它实轴的两个端(I PA|29 / 17 x2 b2y2点，且AQ AP, AQ AP，则Q点的轨迹方程是 卜 1.a a65. 双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实 轴之长的比例中项.2 2x y66. 设双曲线 一22 1 (a 0,b 0)实轴的端点为 A, A ,P(X1,yJ是双曲线上的点a bb2x2a